Espaços e Subespaços Flashcards
Quais são as duas condições necessárias para que um conjunto de vetores V contido em Rn precisa possuir para ser considerado um espaço vetorial?
Mais precisamente, V é um espaço vetorial se e somente se as duas propriedades de fechamento seguintes forem satisfeitas:
1 - Dados quaisquer número real a e vetor v pertencente a V, o produto escalar a*v também pertence a V. Nesse caso, dizemos que V é fechado na multiplicação por escalar.
2 - Dados quaisquer vetores u e v pertencentes a V, a soma vetorial u + v também pertence a V. Nesse caso, dizemos que V é fechado na soma de seus elementos.
Dê dois exemplos de formas de mostrar que um conjunto de vetores definido a partir da teoria dos conjuntos ( por exemplo : {(x, y) : x² + y² = 0, x, y ∈ R} ) ou a partir do span de um vetor (por exemplo: span{[1, 2, 3]^T}) não é um espaço vetorial?
1 - Mostre que o vetor {0} não pertence ao conjunto.
2 - Mostre que o conjunto não é fechado para a adição: encontre dois vetores u e v que se encaixam na definição e então mostre que u + v não pertence ao conjunto.
3 - Mostre que o conjunto não é fechado para multiplicação: encontre um escalar a e vetor u que se encaixa na definição. Então mostre que a * u não pertence ao conjunto.
Dado dois conjuntos de vetores W1 e W2, W1 ∪ W2 será um subespaço se e somente se W1 estiver contido em W2 ou vice-versa. Verdadeiro ou falso? Justifique.
Falso. Isso acontecerá somente se W1 e W2 forem também subespaços. Caso contrário, é possível pegar um subespaço W e dividir ele em dois subconjuntos W1 e W2 de modo que nenhum dos dois seja um subespaço mas sua união (W) ainda seja.
Dê três exemplos de propriedades dos espaços vetoriais
Proriedades no espaço vetorial, para todo u, v,w ∈ X :
- Associatividade da adição: u + (v + w) = (u + v) + w
- Comutabilidade da adição: u + v = v + u
- Existência de um elemento nulo: 0 + v = v + 0 = v
- Existência do inverso aditivo: para todo v ∈ X existe −v ∈ X tal que v + (−v) = (−v) + v = 0
- Propriedades da multiplicação por escalar: α(u + v) = αu + αv, (α + β)u = αu + βu, (αβ)u = α(βu), 1u = u.
Defina a dimensão de um espaço vetorial associado a um conjunto C = {x1, x2, …, xn}
A dimensão de um espaço associado a um conjunto C é a quantidade de elementos (ou seja, a cardinalidade) do maior subconjunto de C formado por elementos linearmente independentes.
O que é o subespaço linear associado a um conjunto de vetores? Como ele é denotado?
O subespaço linear de um conjunto de vetores {x1,…, xn} denotado por span ({x1,…,xn}) é o conjunto de todos os vetores que podem ser formados a partir de combinações lineares de {x1,…, xn}.
Qual condição um conjunto de vetores C precisa possuir para formar uma base para span(C)?
Todos os vetores em C precisam ser linearmente independentes.
Quando podemos afirmar que dois subespaços vetoriais são ortogonais?
Dois subespaços vetoriais U e V são ortogonais se e somente se eles possuem as mesmas dimensões e para quaisquer vetores u ∈ U e v ∈ V, <u * v> = 0.
O que é o complemento ortogonal de um subespaço V?
O complemento ortogonal de V é a coleção de todos os vetores do Rn que são ortogonais a todos os vetores em V. Ou seja, matematicamente temos:
V⊥ = {x ∈ Rn: x^T y = 0, para qualquer y ∈ V}.
Se dois espaços são ortogonais entre si, um é necessariamente o complemento ortogonal do outro. Verdadeiro ou falso? Justifique.
Falso. Dois espaços podem ser ortogonais entre si sem que um seja o complemento ortogonal do outro.
Para que um espaço seja o complemento ortogonal de outro, é preciso que a soma de suas dimensões seja igual à dimensão do espaço vetorial total e que cada vetor de um espaço seja ortogonal a todos os vetores do outro. A ortogonalidade entre dois espaços é uma condição necessária, mas não suficiente para que um seja o complemento ortogonal do outro.
Por exemplo, no espaço R³, os subespaços X = {[1, 0, 0]} e Y = {[0, 1, 0]} são ortogonais, porém não são o complemento ortogonal um do outro visto que nenhum deles inclui o eixo Z.
O que significa dizer que uma soma de subespaços U1 + U2 + … + Um forma uma soma direta? Como essa soma é representada? Cite dois exemplos de consequências dessa definição.
Estamos particularmente interessados em casos em que cada vetor em U1+U2+· · ·+Um pode ser representado na forma acima, de uma única forma (os uj são únicos). Se U1+U2+· · ·+Um ´e uma soma direta, representamos
como U1⊕U2⊕· · ·⊕Um.
Alguns resultados adicionais:
1. U + U⊥ formam uma soma direta de V, se U é subespaço de V .
2. Se U, W são subespaços de V , então U + W é uma soma direta se e somentese U ∩ W = {0}.
3. Se U1, U2, . . . , Um são subespaços de V, então U1 + U2 + · · · + Um é uma soma direta se e somente se a única forma de escrevermos o vetor 0 (zero) como uma soma de u1 + u2 + · · · + um é tomando cada um dos uj ’s como o próprio vetor 0.
Um espaço vetorial deve conter o vetor nulo. Verdadeiro ou Falso? Justifique.
Verdadeiro. Todo espaço vetorial deve ser fechado pela multiplicação por escalar. Para que essa condição seja satisfeita, é necessário que o vetor nulo pertença ao espaço pois é o vetor associado ao escalar 0.
A interseção de dois subespaços vetoriais de um espaço vetorial é sempre um subespaço vetorial. Verdadeiro ou Falso? Justifique.
Verdadeiro. A interseção de dois subespaços contém apenas os vetores que pertencem a ambos os subespaços. Como ela preserva as operações de adição e multiplicação escalar, a interseção é também um subespaço.
Qualquer subconjunto de um espaço vetorial é automaticamente um subespaço vetorial. Verdadeiro ou falso? Justifique.
Falso. É possível, por exemplo, escolher um subconjunto que não contenha o vetor nulo.
Qual das condições abaixo é necessária para um conjunto ser considerado um subespaço vetorial?
a) Contém ao menos dois vetores distintos
b) É fechado sob multiplicação escalar
c) É finito
d) Contém apenas o vetor nulo
b) É fechado sob multiplicação escalar
