Autovalores e Autovetores

Question 1

O que significa dizer que λ é um autovalor associado a um autovetor x de uma matriz A?

Answer 1

Um par (λ, x) : λ ∈ C, x ∈ Cn, x != 0n é um autopar (autovalor + autovetor) para A se e somente se Ax = λx.

Question 2

Qual a relação entre os autovalores/autovetores de uma matriz A e os de sua inversa A^-1?

Answer 2

Se x é um autovetor de A associado a um autovalor λ, x também será um autovetor de A^-1 associado a um autovalor 1/λ.

Question 3

Qual a relação entre os autovalores/autovetores de uma matriz A e os de sua potência A^k?

Answer 3

Se x é um autovetor de A associado a um autovalor λ, x também será um autovetor de A^k associado a um autovalor λ^k.

Question 4

Como obter o determinante de uma matriz a partir de seus autovalores?

Answer 4

Basta multiplicar todos os autovalores da matriz.

Question 5

Como encontrar os autovetores válidos de uma matriz A a partir dos seus autovalores usando os quatro espaços fundamentais (os quatro subespaços fundamentais são o espaço coluna, espaço linha, espaço nulo e espaço nulo de A^T)?

Answer 5

Para cada autovalor λ de A, calcule S = A - λI. Os autovalores possíveis para λ correspondem ao espaço nulo de S.

Question 6

Sabendo que A é uma matriz quadrada n x n e possui n autovalores diferentes, o que podemos afirmar sobre seus respectivos autovetores? Qual espaço eles geram?

Answer 6

Se todos os autovalores são diferentes, A terá n autovetores linearmente independentes que gerarão o espaço R^n.

Question 7

Suponha uma matriz A de dimensão n x n com n autovalores diferentes. O que podemos afirmar sobre o limite quando k vai para infinito de (A^k * v) /
∥A ^ k * v∥² ?

Answer 7

Se A tem n autovalores diferentes, podemos afirmar que esse limite no infinito converge para um vetor pertencente ao span de x1, sendo x1 o autovetor associado ao autovalor de maior módulo de A.

Question 8

O que o número de autovalores não-nulos de uma matriz nos diz sobre seu rank?

Answer 8

Rank(A) = número de autovalores não nulos, contando suas multiplicidades.

Question 9

Todo autovalor de uma matriz quadrada é uma solução da equação característica da matriz. Verdadeiro ou falso? Justifique

Answer 9

Verdadeiro.
Justificativa: Os autovalores de uma matriz quadrada são os valores de λ que satisfazem a equação característica det(A−λI)=0.

Question 10

Se v é um autovetor de uma matriz A, então qualquer múltiplo escalar de v também é um autovetor associado ao mesmo autovalor. Verdadeiro ou falso? Justifique.

Answer 10

Verdadeiro.
Justificativa: A definição de autovetor permite escalares, pois A(cv)=cAv=cλv.

Question 11

Autovalores de uma matriz quadrada podem ser números complexos, mesmo que os elementos da matriz sejam todos reais. Verdadeiro ou falso? Justifique.

Answer 11

Verdadeiro.
Justificativa: A equação característica pode ter raízes complexas, mesmo que a matriz tenha entradas reais.

Question 12

Qual das opções descreve corretamente um autovetor de uma matriz A?
a) Um vetor que é sempre ortogonal a todos os outros vetores da matriz
b) Um vetor que não é alterado em direção quando A é aplicada a ele
c) Um vetor que pertence ao espaço nulo de A
d) Um vetor cuja norma é preservada por A

Answer 12

b) Um vetor que não é alterado em direção quando A é aplicada a ele.
Justificativa: Por definição, um autovetor v satisfaz Av=λv, indicando que a aplicação de A apenas escala o vetor, sem alterar sua direção.

Question 13

O que ocorre com os autovalores de uma matriz A se multiplicarmos todos os elementos de A por 2?
a) Os autovalores são dobrados
b) Os autovalores permanecem os mesmos
c) Os autovalores são multiplicados por 4
d) Não é possível determinar sem mais informações

Answer 13

a) Os autovalores são dobrados.
Justificativa: Multiplicar a matriz por 2 equivale a multiplicar todos os termos da equação característica por 2, resultando em autovalores multiplicados por 2.

Question 14

Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre os autovalores de uma matriz simétrica real?
a) Todos os autovalores são complexos
b) Todos os autovalores são reais
c) Todos os autovalores têm módulo 1
d) Não é possível determinar sem resolver a equação característica

Answer 14

b) Todos os autovalores são reais.
Justificativa: Uma propriedade importante de matrizes simétricas reais é que seus autovalores são sempre reais.

Question 15

O que significa dizer que um número λ é um autovalor de uma matriz A?

Answer 15

Significa que existe um vetor não-nulo v tal que Av=λv. Nesse caso, o vetor v é chamado de autovetor associado ao autovalor λ.

Question 16

Por que o vetor nulo não pode ser um autovetor?

Answer 16

O vetor nulo não pode ser um autovetor porque, pela definição, um autovetor deve satisfazer Av=λv com v ≠ 0. O vetor nulo não possui uma direção definida e trivialmente satisfaz essa equação para qualquer matriz e qualquer λ.

Question 17

Explique a relação entre o traço de uma matriz quadrada A e seus autovalores.

Answer 17

O traço de uma matriz A (a soma dos elementos da diagonal principal) é igual à soma de seus autovalores, considerando suas multiplicidades algébricas.

Question 18

Como você verificaria se um vetor dado é um autovetor de uma matriz?

Answer 18

Para verificar se um vetor v é um autovetor de uma matriz A, multiplica-se A pelo vetor v. Se o resultado for um múltiplo escalar de v, ou seja, Av=λv, então v é um autovetor e λ é o autovalor associado.