Formler Och Regler

Question 1

Konstantregel

Answer 1

Om f(x) = c, där c är en konstant, så är f’(x) = 0.

Question 2

Potensregel

Answer 2

Om f(x) = x^n, där n är en konstant, så är f’(x) = n * x^(n-1).

Question 3

Summa- och differensregel:

Answer 3

Om f(x) = u(x) + v(x) eller f(x) = u(x) - v(x), så är f’(x) = u’(x) + v’(x) eller f’(x) = u’(x) - v’(x), respektive.

Question 4

Produktregel

Answer 4

Om f(x) = u(x) * v(x), så är f’(x) = u’(x) * v(x) + u(x) * v’(x).

Question 5

Kvotregel

Answer 5

Om f(x) = u(x) / v(x), så är f’(x) = (u’(x) * v(x) - u(x) * v’(x)) / [v(x)]^2

Question 6

Kedjeregel

Answer 6

Om f(x) = g(h(x)), så är f’(x) = g’(h(x)) * h’(x)

Question 7

Exponentialregel

Answer 7

Om f(x) = e^x, så är f’(x) = e^x. För f(x) = a^x, där a är en konstant, så är f’(x) = a^x * ln(a).

Question 8

Logarithmregel

Answer 8

Om f(x) = ln(x), så är f’(x) = 1 / x. För f(x) = log_a(x), där a är en konstant, så är f’(x) = 1 / (x * ln(a))

Question 9

Derivatan av sinus

Answer 9

Om y = sin x så är y’ = cos x

Question 10

Derivatan av cosinus

Answer 10

Om y = cos x så är y’ = -sin x

Question 11

Lodräta asymptoter definition

Answer 11

En funktion f(x) har en lodrät asymptot vid x = a om f(x) går mot ±∞ när x närmar sig a från höger eller vänster, dvs. lim_(x→a⁺) f(x) = ±∞ eller lim_(x→a⁻) f(x) = ±∞

Question 12

Lodräta asymptoter fall

Answer 12

Finns en lodrät asymptot vid x = a om f(x) är odefinierad vid x = a och nämnaren v(x) i en kvot f(x) = u(x) / v(x) är 0 vid x = a (och täljaren u(x) är inte 0 vid x = a).

Question 13

Vågräta asymptoter definition

Answer 13

En funktion f(x) har en vågrät asymptot vid y = c om f(x) närmar sig c när x går mot ±∞, dvs. lim_(x→∞) f(x) = c eller lim_(x→-∞) f(x) = c

Question 14

Vågräta asymptoter definition

Answer 14

En funktion f(x) har en vågrät asymptot vid y = c om f(x) närmar sig c när x går mot ±∞, dvs. lim_(x→∞) f(x) = c eller lim_(x→-∞) f(x) = c

Question 15

Vågräta asymptoter fall för rationella funktioner f(x) = u(x) / v(x)

Answer 15

Om graden av u(x) är mindre än graden av v(x), så är den vågräta asymptoten y = 0.

Om graden av u(x) är lika med graden av v(x), så är den vågräta asymptoten y = a / b, där a och b är koefficienterna för de högsta termerna i u(x) och v(x), respektive.

Om graden av u(x) är större än graden av v(x), så finns det ingen vågrät asymptot, men det kan finnas en sned asymptot.

Question 16

Vågräta asymptoter fall för rationella funktioner f(x) = u(x) / v(x)

Answer 16

Om graden av u(x) är mindre än graden av v(x), så är den vågräta asymptoten y = 0.

Om graden av u(x) är lika med graden av v(x), så är den vågräta asymptoten y = a / b, där a och b är koefficienterna för de högsta termerna i u(x) och v(x), respektive.

Om graden av u(x) är större än graden av v(x), så finns det ingen vågrät asymptot, men det kan finnas en sned asymptot.

Question 17

Sneda asymptoter definition

Answer 17

En funktion f(x) har en sned asymptot om f(x) närmar sig en linje y = mx + c när x går mot ±∞

Question 18

Sneda asymptoter regel

Answer 18

Om graden av täljaren är exakt en enhet högre än graden av nämnaren i en rationell funktion f(x) = u(x) / v(x), så har funktionen en sned asymptot.

Question 19

Sneda asymptoter beräkning

Answer 19

För att hitta den sneda asymptoten, gör lång division av u(x) med v(x). Om kvoten är mx + c och resten är r(x), så är den sneda asymptoten y = mx + c och r(x) har ingen inverkan vid x → ±∞

Question 20

Asymptot vid inflexionspunkt definition

Answer 20

En funktion kan ha en asymptot vid en inflexionspunkt där krökningen förändras. Detta är inte en standardtyp av asymptot men kan vara relevant i vissa fall.

Question 21

Asymptot vid inflexionspunkt beräkning

Answer 21

Analysera den andra derivatan f’‘(x). Om f’‘(x) = 0 vid en punkt och ändrar tecken, kan det vara en indikation på en inflexionspunkt.

Question 22

Lodräta asymptoter uteslutning

Answer 22

Om en funktion har en lodrät asymptot vid x = a, kan det innebära att funktionen är odefinierad vid x = a och att nämnaren i en rationell funktion är 0 vid x = a. Om även täljaren är 0 vid x = a, kan det vara en definitionell brist snarare än en klassisk lodrät asymptot, och en granskning av gränsvärden och faktorisering är nödvändig.

Question 23

Vågräta asymptoter uteslutning

Answer 23

Om en funktion har en sned asymptot, innebär det att graden av täljaren är högre än graden av nämnaren. Därmed utesluts förekomsten av en vågrät asymptot.

Question 24

Sneda asymptoter uteslutning

Answer 24

Om en funktion har en sned asymptot, har den inte en vågrät asymptot.

Question 25

Kombinerade asymptoter uteslutning

Answer 25

Om en funktion har en vågrät asymptot y = c och också en sned asymptot, kan det indikera att det finns ett misstag i analysen, eftersom en sned asymptot i allmänhet utesluter en vågrät asymptot. Det kan vara bra att kontrollera om det verkligen finns en sned asymptot och om graden på täljaren och nämnaren är korrekt beaktad.

Question 26

Skissa grafer metod

Answer 26

Börja med att ta reda på definitionsmängd, eventuella extrem eller terrasspunkter, eventuella asymptoter samt koordinater för ytterligare punkter

Question 27

Extrem- och terasspunkter till en funktion ges av

Answer 27

Derivatans nollställen, karaktären på punkten bestämmer man med teckentabell eller andraderivata