Formler Och Regler Flashcards
Konstantregel
Om f(x) = c, där c är en konstant, så är f’(x) = 0.
Potensregel
Om f(x) = x^n, där n är en konstant, så är f’(x) = n * x^(n-1).
Summa- och differensregel:
Om f(x) = u(x) + v(x) eller f(x) = u(x) - v(x), så är f’(x) = u’(x) + v’(x) eller f’(x) = u’(x) - v’(x), respektive.
Produktregel
Om f(x) = u(x) * v(x), så är f’(x) = u’(x) * v(x) + u(x) * v’(x).
Kvotregel
Om f(x) = u(x) / v(x), så är f’(x) = (u’(x) * v(x) - u(x) * v’(x)) / [v(x)]^2
Kedjeregel
Om f(x) = g(h(x)), så är f’(x) = g’(h(x)) * h’(x)
Exponentialregel
Om f(x) = e^x, så är f’(x) = e^x. För f(x) = a^x, där a är en konstant, så är f’(x) = a^x * ln(a).
Logarithmregel
Om f(x) = ln(x), så är f’(x) = 1 / x. För f(x) = log_a(x), där a är en konstant, så är f’(x) = 1 / (x * ln(a))
Derivatan av sinus
Om y = sin x så är y’ = cos x
Derivatan av cosinus
Om y = cos x så är y’ = -sin x
Lodräta asymptoter definition
En funktion f(x) har en lodrät asymptot vid x = a om f(x) går mot ±∞ när x närmar sig a från höger eller vänster, dvs. lim_(x→a⁺) f(x) = ±∞ eller lim_(x→a⁻) f(x) = ±∞
Lodräta asymptoter fall
Finns en lodrät asymptot vid x = a om f(x) är odefinierad vid x = a och nämnaren v(x) i en kvot f(x) = u(x) / v(x) är 0 vid x = a (och täljaren u(x) är inte 0 vid x = a).
Vågräta asymptoter definition
En funktion f(x) har en vågrät asymptot vid y = c om f(x) närmar sig c när x går mot ±∞, dvs. lim_(x→∞) f(x) = c eller lim_(x→-∞) f(x) = c
Vågräta asymptoter definition
En funktion f(x) har en vågrät asymptot vid y = c om f(x) närmar sig c när x går mot ±∞, dvs. lim_(x→∞) f(x) = c eller lim_(x→-∞) f(x) = c
Vågräta asymptoter fall för rationella funktioner f(x) = u(x) / v(x)
Om graden av u(x) är mindre än graden av v(x), så är den vågräta asymptoten y = 0.
Om graden av u(x) är lika med graden av v(x), så är den vågräta asymptoten y = a / b, där a och b är koefficienterna för de högsta termerna i u(x) och v(x), respektive.
Om graden av u(x) är större än graden av v(x), så finns det ingen vågrät asymptot, men det kan finnas en sned asymptot.
Vågräta asymptoter fall för rationella funktioner f(x) = u(x) / v(x)
Om graden av u(x) är mindre än graden av v(x), så är den vågräta asymptoten y = 0.
Om graden av u(x) är lika med graden av v(x), så är den vågräta asymptoten y = a / b, där a och b är koefficienterna för de högsta termerna i u(x) och v(x), respektive.
Om graden av u(x) är större än graden av v(x), så finns det ingen vågrät asymptot, men det kan finnas en sned asymptot.
Sneda asymptoter definition
En funktion f(x) har en sned asymptot om f(x) närmar sig en linje y = mx + c när x går mot ±∞
Sneda asymptoter regel
Om graden av täljaren är exakt en enhet högre än graden av nämnaren i en rationell funktion f(x) = u(x) / v(x), så har funktionen en sned asymptot.
Sneda asymptoter beräkning
För att hitta den sneda asymptoten, gör lång division av u(x) med v(x). Om kvoten är mx + c och resten är r(x), så är den sneda asymptoten y = mx + c och r(x) har ingen inverkan vid x → ±∞
Asymptot vid inflexionspunkt definition
En funktion kan ha en asymptot vid en inflexionspunkt där krökningen förändras. Detta är inte en standardtyp av asymptot men kan vara relevant i vissa fall.
Asymptot vid inflexionspunkt beräkning
Analysera den andra derivatan f’‘(x). Om f’‘(x) = 0 vid en punkt och ändrar tecken, kan det vara en indikation på en inflexionspunkt.
Lodräta asymptoter uteslutning
Om en funktion har en lodrät asymptot vid x = a, kan det innebära att funktionen är odefinierad vid x = a och att nämnaren i en rationell funktion är 0 vid x = a. Om även täljaren är 0 vid x = a, kan det vara en definitionell brist snarare än en klassisk lodrät asymptot, och en granskning av gränsvärden och faktorisering är nödvändig.
Vågräta asymptoter uteslutning
Om en funktion har en sned asymptot, innebär det att graden av täljaren är högre än graden av nämnaren. Därmed utesluts förekomsten av en vågrät asymptot.
Sneda asymptoter uteslutning
Om en funktion har en sned asymptot, har den inte en vågrät asymptot.
Kombinerade asymptoter uteslutning
Om en funktion har en vågrät asymptot y = c och också en sned asymptot, kan det indikera att det finns ett misstag i analysen, eftersom en sned asymptot i allmänhet utesluter en vågrät asymptot. Det kan vara bra att kontrollera om det verkligen finns en sned asymptot och om graden på täljaren och nämnaren är korrekt beaktad.
Skissa grafer metod
Börja med att ta reda på definitionsmängd, eventuella extrem eller terrasspunkter, eventuella asymptoter samt koordinater för ytterligare punkter
Extrem- och terasspunkter till en funktion ges av
Derivatans nollställen, karaktären på punkten bestämmer man med teckentabell eller andraderivata
