Fiche 4 Courbure

Question 1

Longueur d’une courbe L[Y]

Answer 1

L[Y]= intégrale dlambda racine (g_ij dxi/dlambda dxj/dlambda)

Question 2

Courbe auto parallèlement transportée
Soit V le vecteur tangent à la courbe en p
Signification du vecteur tangent et condition pour que la courbe soit auto// transportée

Answer 2

Vecteur tangent en un point = vitesse de la courbe en ce point
Dérivée covariante de V dans la direction de V =0

Question 3

Transport parallèle d’un vecteur u
Expression

Answer 3

Dérivée covariante de u dans la direction de v = 0
Dv u = dui/dlambda + gamma i jk dxj/dlambda vk

Question 4

Équation des géodésiques
1) expression avec la dérivée covariante
2) expression en fonction de la fonctionnelle
3) expressions compatibles si :

Answer 4

1) Dv v = dvi/dlambda + gamma i jk dxj/dlambda dxk/dlambda =0
2) delta L[Y]=0
3) dérivée covariante de la métrique =0

Question 5

Tenseur de courbure de Riemann expression

Answer 5

Rabcd= g_ak Rk _bcd

Question 6

Symétries du tenseur de courbure de Riemann et identité de Bianchi
Rbacd =
Rabdc =
Rcdab =

Answer 6

•Rbacd = - Rabcd
Rabdc = - Rabcd
Rcdab = - Rabcd
• Rabcd+Racdb+Radbc=0

Question 7

Tenseur de Ricci : expression et symétrie

Answer 7

• Contraction du tenseur de Riemann
• R_ab = Rz_azb
• R_ab=R_ba

Question 8

Courbure scalaire de Ricci : expression

Answer 8

• Contraction du tenseur de Ricci
• R= g ab R_ab

Question 9

Tenseur d’Einstein G_ab

Answer 9

G_ab= R_ab - 1/2 R

Question 10

Action de Hilbert-Einstein : expression et utilisation

Answer 10

• S he = intégrale (racine du déterminant de la métrique) × R d4x
• permet de retrouver le tenseur d’Einstein