Fiche 2 Espace Vectoriel Et Changement De Carte

Question 1

Espace vectoriel tangent à M en p
Définition et notation

Answer 1

Ensemble des vecteurs tangents à M au point p
Noté TpM

Question 2

Définition C infini(M)

Answer 2

Espace vectoriel des fonctions lisses de M dans R

Question 3

On se place dans une carte (U,x)
Vecteurs de la base de TpM

Answer 3

(d rond / d rond x i ) indice p

Question 4

Courbe lisse définition

Answer 4

Application Y:R->M telle que
Pour tout point p de la courbe dans la carte (U,x)
Y°x: R-> Rn est C infini

Question 5

Vitesse d’une courbe en un point :
Définition et expression
Soit Y : R -> M
Y(Lambda0)= p

Answer 5

Application de C infini (M) dans R
V _Y,lambda (f)= d/dlambda f°Y | lambda0

Question 6

Changements de cartes
Soit y la nouvelle carte et x l’ancienne
1- vecteur covariant
2- vecteur contravariant
3- métrique
4- tenseur

Answer 6

d rond = d)
1- indices en bas
V_ymu= [d) x_nu / d) y_mu ] V_xnu
2- indices en haut
V_ymu= [d) y_nu / d) x_mu ] V_xnu
3- g_xij= [d) x_a / d) y_i ] [d) x_b / d) y_j ] g_yab
4- T i _jk (x)= [d) y_i / d) x_a ] [d) x_b / d) y_j ][d) x_c / d) y_k ] T a _bc (y) +[d) y_i / d) x_l ] [d)2 x_l / d) y_j * d) y_k]