Espace euclidiens Flashcards
c’est quoi un produit scalaire
c’est une forme bilineaire definie (si f(x,x)=0 alors x=0) et positive (pour tout x positif f(x,x)>0).
Quelle est la différence entre espace préhilbertien et espace euclidien?
un espace euclidien est un espace préhilbertien(muni d’un produit scalaire) de dimension finie.
c’est quoi une norme X sur E ev
c’est la racine du produit scalaire entre x et x
que dit l’inégalité de cauchy swart
la valeur absolu du produit scalaire entre x et y est inferieure ou égale au produit de leurs normes respectives .
que dit l’inégalité de Minkowsvki
la norme de (x+y) est inferieure ou égale a la somme de leur norme respectives
dans un espace euclidien , comment définit on l’orthogonalité deux vecteurs ?
par le fait que leur produit scalaire soit nul
Quel est le vecteur orthogonal à tous les éléments de E?
c’est l’élément neutre de l’espace E
Soit E un espace préhilbertien réel.
Si une famille de vecteurs de E est orthogonale et formée de vecteurs non
nuls, que peut on déduire:
la famille est libre
Est ce toute famille libre de E espace euclidien est une famille de vecteur orthogonaux tous non nuls?
non
Que dit le théoreme de pythagore
pour une famille orthogonale le carrée de la norme d’une somme de vecteurs est égale à la somme des carrées de chacun deux.
comment définit on l’orthogonale à une partie d’un espace préhilbertien
c’est l’ensemble des vecteurs
orthogonaux à tous les éléments de cette partie
si x est une partie quelconque de E que peut on dire de son orthogonal
c’est un sous espace vectoriel de E
Quelles sont les coordonnées d’un vecteur de E espace euclidien dans un base orthonormale.
c’est le produit scalaire des éléments de ce vecteur avec les éléments de base
comment faire le produit scalaire de deux vecteurs dans un espace euclidien?
< x, y >=somme sur i allant de 1 ,n
de < x, ei >< y, ei >
soit u un endomorphisme d’un E espace Eucludien , comment s’écrit sa matrice dans une base orthonormale de E?
aij =< u(ej ), ei > . i et j de 1 , n
à quoi sert le procédé d’orthogonalisation de Gram Schmidt ?
à construire une base orthogonale à partir d’une base quelconque.
Comment fonctionne le procédé de Gram smitch
Soit {v1, v2, …, vd} une famille libre d’un espace préhilbertien
réel E. On définit par récurrence une famille {e1, e2, …, ed}
comme suit :
on pose e1=v1;
e2=v2-projection de v2 sur e1
e3=v3-projection de v3 sur e1-projection de v3 sur e2
et ainsi de suite
c’est quoi une projection
p : E = F somme directe G vers E
x = x1 + x2 on associe p(x) = x1
Quelles sont les particularités d’une projection orthogonale?
p2 = p, c’est à dire p est un projecteur de E.
Im(p) = { pour tout x de E : p(x) = x} = F;
ker(p) = G.
Quelles sont les propriétés d’un projecteur
Soient E un K-espace vectoriel et u un projecteur de E, alors
on a pour tout x de E:
1- u(x)-x est un element de ker(u)
2-Im(u) est l’ensemble tel que u(x)=x
3-E est une somme directe de Im(u) et Ker(u)
4-u est la projection sur Im(u)
parallèlement à ker(u).
c’est quoi une projection orthogonale
c’est une projection mais sur un espace sous espace vectoriel de E
comment trouver la distance d’un point a une partie A de E(espace normé)
d(x, A) =inf de la norme de x-y
avec x de E et y de A
Quelle est la distance d’un point de E à un sous espace vectoriel de E
d(x, F) = ||x − pF (x)||
x de E
Quel est l’unique vecteur minimisant la quantité || AX-b||
A de Mn,p(R) b de Mn,1(R)
c’est le vecteur X verifiant l’équation
tAAX = tAb.
X de Mp,1(R)
Soit E un espace vectoriel F et G deux parties supplémentaires de E, c’est quoi la symétrie par rapport à F parallèlement à G
s : E = F somme directe G vers E
x = x1 +x2 associe sF (x) = x1 − x2
Soit E un espace vectoriel F et G deux espaces supplémentaire de E ,Quelles sont les particularités d’une symétrie par rapport à F parallèlement à G?
s est un endomorphisme de E et s^2= Id ;
F = ker (s − Id ) et G = ker (s + Id) ;
s = 2pF − Id où p est la projection sur F parallèlement à
G.
c’est quoi une isometrie ou endomorphisme orthogonal
c’est une application conservant la norme et le produit scalaire,elle transforme egalement une base orthonormale en une autre.
quel est le spectre d’une isométrie
1 et -1
quels sont les ensembles engendrés par les valeurs propres 1 et -1
se sont respectivement ker(u-Id) et ker(u+Id)
si F ev est stable par l’isometrie u que peut on dire de son orthogonal
il l’est aussi
comment s’appelle la matrice d’une isometrie dans une base orthonormale
une matrice orthogonale
quelles sont les proprietes d’une matrice orthogonale ?
si U est une matrice orthogonale alors sont inverse est sa transposee
ses colonnes et ses lignes formes des bases orthonormales
Quand dit on que deux bases de E sont de meme sens
det(B’) par rapport a la base B> 0
Qu’appelle t on produit mixte?
Il est défini à partir du déterminant de la matrice formée par les coordonnées des vecteurs
u et v dans une base de référence
B
Ce déterminant permet de mesurer l’aire orientée du parallélogramme formé par ces deux vecteurs.
A quoi sert un produit mixte
Ce déterminant permet de mesurer l’aire orientée du parallélogramme formé par ces deux vecteurs.
pour le cas ou la dim(E)=2 comment s’ecrit la matrice d’une isometrie directe dans une base orthonormale de E
R=[cos(a) sin(a) ;-sin(a) cos(a)] il sagit d’une rotation d’angle a
La matrice d’une isometrie depend elle de la base orthonormale choisie
Pour le cas d’une rotation non
toujours pour un plan vectoriel(E),qu’appelle t on reflexion et quelle est sa matrice?
il sagit d’une symetrie orthogonale par rapport a un hyperplan de E qui dans notre cas est une droite vectorielle
sa matrice est de la forme
R=[cos(a), sin(a) ;sin(a), -cos(a)]
pour un plan vectoriel ,quels sont les elements de l’ensemble des isometries indirectes
se sont des reflexion par rapport a une droite vectorielle
