Espace euclidiens

Question 1

c’est quoi un produit scalaire

Answer 1

c’est une forme bilineaire definie (si f(x,x)=0 alors x=0) et positive (pour tout x positif f(x,x)>0).

Question 2

Quelle est la différence entre espace préhilbertien et espace euclidien?

Answer 2

un espace euclidien est un espace préhilbertien(muni d’un produit scalaire) de dimension finie.

Question 3

c’est quoi une norme X sur E ev

Answer 3

c’est la racine du produit scalaire entre x et x

Question 4

que dit l’inégalité de cauchy swart

Answer 4

la valeur absolu du produit scalaire entre x et y est inferieure ou égale au produit de leurs normes respectives .

Question 5

que dit l’inégalité de Minkowsvki

Answer 5

la norme de (x+y) est inferieure ou égale a la somme de leur norme respectives

Question 6

dans un espace euclidien , comment définit on l’orthogonalité deux vecteurs ?

Answer 6

par le fait que leur produit scalaire soit nulle

Question 7

Quel est vecteur orthogonal à tous les éléments de E?

Answer 7

c’est l’élément neutre de l’espace E

Question 8

Soit E un espace préhilbertien réel.
Si une famille de vecteurs de E est orthogonale et formée de vecteurs non
nuls, que peut on déduire:

Answer 8

la famille est libre

Question 9

Est ce toute famille libre de E espace euclidien est une famille de vecteur orthogonaux tous non nuls?

Answer 9

non

Question 10

Que dit le théoreme de pythagore

Answer 10

pour une famille orthogonale le carrée de la norme dune somme de vecteurs est égale à la somme des carrées de chacun deux

Question 11

comment définit on l’orthogonale à une partie d’un espace préhilbertien

Answer 11

c’est l’ensemble des vecteurs
orthogonaux à tous les éléments de de cette partie

Question 12

si x est une partie quelconque de E que peut on dire de son orthogonal

Answer 12

c’est un sous espace vectoriel de E

Question 13

Quelles sont les coordonnées d’un vecteur de E espace euclidien dans un base orthonormale.

Answer 13

c’est le produit scalaire des éléments de ce vecteur avec les éléments de base

Question 14

comment faire le produit scalaire de deux vecteurs dans un espace euclidien?

Answer 14

< x, y >=somme sur i allant de 1 ,n
de < x, ei >< y, ei >

Question 15

soit u un endomorphisme dun E espace Eucludien , comment s’écrit sa matrice dans une base orthonormale de E?

Answer 15

aij =< u(ej ), ei > . i et j de 1 , n

Question 16

à quoi sert le procédé d’orthogonalisation de Gram Schmidt ?

Answer 16

à construire une base orthogonale à partir d’une base quelconque.

Question 17

Comment fonctionne le procédé de Gram smitch

Answer 17

Soit {v1, v2, …, vd} une famille libre d’un espace préhilbertien
réel E. On définit par récurrence une famille {e1, e2, …, ed}
comme suit :
on pose e1=v1;
e2=v2-projection de v2 sur e1
e3=v3-projection de v3 sur e1-projection de v3 sur e2
et ainsi de suite

Question 18

c’est quoi une projection

Answer 18

p : E = F somme directe G vers E
x = x1 + x2 on associe p(x) = x1

Question 19

Quelles sont les particularités d’une projection orthogonale?

Answer 19

p2 = p, c’est à dire p est un projecteur de E.
Im(p) = { pour tout x de E : p(x) = x} = F;
ker(p) = G.

Question 20

Quelles sont les propriétés d’un projecteur

Answer 20

Soient E un K-espace vectoriel et u un projecteur de E, alors
on a pour tout x de E:
1- u(x)-x est un element de ker(u)

2-Im(u) est l’ensemble tel que u(x)=x

3-E est une somme directe de Im(u) et Ker(u)

4-u est la projection sur Im(u)
parallèlement à ker(u).

Question 21

c’est quoi une projection orthogonale

Answer 21

c’est une projection mais sur un espace sous espace vectoriel de E

Question 22

comment trouver la distance d’un point a une partie A de E(espace normé)

Answer 22

d(x, A) =inf de la norme de x-y
avec x de E et y de A

Question 23

Quelle est la distance d’un point de E à un sois espace vectoriel de E

Answer 23

d(x, F) = ||x − pF (x)||
x de E

Question 24

Quel est l’unique vecteur minimisant la quantité || AX-b||
A de Mn,p(R) b de Mn,1(R)

Answer 24

c’est le vecteur X verifiant l’équation
tAAX = tAb.
X de Mp,1(R)

Question 25

Soit E un espace vectoriel F et G deux parties supplémentaires de E, c’est quoi la symétrie par rapport à F parallèlement à G

Answer 25

s : E = F somme directe G vers E
x = x1 +x2 associe sF (x) = x1 − x2

Question 26

Soit E un espace vectoriel F et G deux espaces supplémentaire de E ,Quelles sont les particularités d’une symétrie par rapport à F parallèlement à G?

Answer 26

s est un endomorphisme de E et s^2= Id ;
F = ker (s − Id ) et G = ker (s + Id) ;
s = 2pF − Id où p est la projection sur F parallèlement à
G.

Question 27

c’est quoi une isometrie

Answer 27

c’est une application conservant la norme et le produit scalaire,elle transforme egalement une base orthonormale en une autre.

Question 28

quel est le spectre d’une isométrie

Answer 28

1 et -1

Question 29

quels sont les ensembles engendrees par la valeurs propres 1 et -1

Answer 29

se sont respectivement ker(u-Id) et ker(u+Id)

Question 30

si F ev est stable par l’isometrie u que peut on dire de son orthogonal

Answer 30

il l’est aussi

Question 31

comment s’appelle la matrice d’une isometrie dans une base orthonormale

Answer 31

une matrice orthogonale

Question 32

quelles sont les proprietes d’une matrice orthogonale ?

Answer 32

si U est une matrice orthogonale alors sont inverse est sa transposee
ses colonnes et ses lignes formes des bases orthonormales

Question 33

Quand dit on que deux bases de E sont de meme sens

Answer 33

det(B’) par rapport a la base B> 0

Question 34

Qu’appelle t on produit mixte?

Answer 34

Il est défini à partir du déterminant de la matrice formée par les coordonnées des vecteurs
u et v dans une base de référence
B
Ce déterminant permet de mesurer l’aire orientée du parallélogramme formé par ces deux vecteurs.

Question 35

A quoi sert un produit mixte

Answer 35

Ce déterminant permet de mesurer l’aire orientée du parallélogramme formé par ces deux vecteurs.

Question 36

pour le cas ou la dim(E)=2 comment s’ecrit la matrice d’une isometrie directe dans une base orthonormale de E

Answer 36

R=[cos(a) sin(a) ;-sin(a) cos(a)] il sagit d’une rotation d’angle a

Question 37

La matrice d’une isometrie depend elle de la base orthonormale choisie

Answer 37

non

Question 38

toujours pour un plan vectoriel,qu’appelle t on reflexion et quelle est sa matrice?

Answer 38

il sagit d’une symetrie orthogonale par rapport a un hyperplan,
sa matrice est de la forme
R=[cos(a), sin(a) ;sin(a), -cos(a)]

Question 39

pour un plan vectoriel ,quels sont les elements de l’ensemble des isometries indirectes

Answer 39

se sont des reflexion par rapport a une droite vectorielle