ENDOMORPHISMES

Question 1

C’est quoi l’adjoint a un endomorphisme u?

Answer 1

c’est l’endomorphisme u* tel que
<u(x), y>= <x, u*(y)>

Question 2

comment s’ecrit la matrice de l’adjoint d’un endomorphisme u?

Answer 2

c’est la transposee de la matrice de U,avec U la matrice de u

Question 3

quelles sont les proprietes de l’adjoint

Answer 3

1 l’adjoint de l’adjoint de u est u
2 (uov)* = vo u
3(u)−1 = (u−1).
4 ker(u) =l’orthogonale (Im(u)) et Im(u) = l’orthogonal(ker(u)).
5 rg(u*)=rg(u)

Question 4

quel est l’adjoint d’une isometrie u

Answer 4

c’est son inverse u^(-1)

Question 5

un endomorphisme u tel que u*=u est un ?

Answer 5

endomorphisme symetrique ou auto adjoint

Question 6

comment sont les valeurs propres d’une matrice symerique a coefficients reels

Answer 6

ce sont de reels

Question 7

On suppose que n >= 2. Si j, μ sont deux valeurs propres
distinctes de u de S(E)(ensemble des endomorphismes symétriques, alors les espaces propres Ej et Eμ sont comment?

Answer 7

il sont orthogonaux

Question 8

comment sont les sous espaces propres d’une matrice symetriques a coefficients reels

Answer 8

ils sont deux a deux orthogonaux

Question 9

Comment definit on une matrice symetrique positive A

Answer 9

Si il existe une matrice B de même taille que A telle que A=transpos(B)*B

Question 10

Comment définit on la racine carré de d’une matrice symetrique positive A

Answer 10

C’est l’unique Matrice symetrique positive B telle que A=B^2

Question 11

Une matrice de Gram est une

Answer 11

Matrice symetrique définie positive et inversement on a donc équivalence

Question 12

C’est quoi la décomposition polaire d’une matrice symetrique positive A

Answer 12

C’est la décomposition unique de A sous forme de produit d’une matrice orthogonale et d’une matrice symetrique