EDHEC (Proba) Flashcards
Espérance de X
E(X) =Σ(k∈X(Ω)) k*P(X = k)
E(aX + b)
aE(X) + b
Théorème de transfert
Pour toute fonction f, E(f(X)) =Σ(k∈X(Ω)) f(k)*P(X = k)
Formule de Koenig-Huygens
V (X) = E(X²) − (E(X))²
∀a, b ∈ IR, V(aX + b) =
a²*V (X).
Loi uniforme
U(n)
P(X = k) = 1/n ; 1≤ k≤ n
E(X)=(n+1)/2
V(X)=(n²-1)/12
Loi géométrique
G(p)
P(X = k) = p(1-p)^(k-1) k€N*
E(X)=1/p
V(X)=(1-p)/p²
Loi de poisson
P(λ)
P(X=k)=(λ^(k)*exp(- λ))/k! k∈ℕ
E(X)=V(X)=λ
Loi binomiale
B(n,p)
P(X = k)=(k parmi n)p^(k)(1-p)^(n-k) ; 0≤ k≤ n
E(X)=np
V(x)=np(1-p)
Loi hypergéométrique
H(n,p,N)
P(X=k)=[(k parmi Np)*(n-k parmi N(1-p)]/(n parmi N)
E(X)=np
V(x)=[np(1 − p)(N − n)]/(N − 1)
Bernouilli
B(1,p) P(X=x)=p si x=1 P(X=x)=1-p si x=0 Espérance p Variance pq
Loi uniforme (densité)
Densité : Sur [a,b]
f(x)=1/(b-a) pour a≤x≤b
0 sinon
FR :
FX(x)=0 pour x<a
FX(x)=[(x-a)/(b-a)] pour a≤x≤b
FX(x)=1 si x≥b
E(X)=(a+b)/2
V(X)=(b-a)²/12
Inégalité de Markov
Pour tout a>0, P(X≥a) ≤ E(X)/a (Si l’esperence existe)
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Pour tout ε>0, P( | X-E(X) | ≥ ε) ≤ V(X)/ε² (Si la variance existe)
P(A/B) =
P(A⋂B)/P(B)
Formule de Bayes
P(A/B)=[P(B/A)*P(A)]/P(B)
Formule des Probabilités totales :
Fini : Soit (A1…..An) un système complet d’évènements,
Alors pour tout évènements B,
P(B)=∑(i=1..n)P(B⋂Ai)=∑(i=1..n)P(B/Ai)P(Ai)
Infini Soit (Ai)i un système complet d’évènements,
Alors pour tout évènement B,
P(B)=∑(i=1..∞)P(B⋂Ai)=∑(i=1..∞)P(B/Ai)P(Ai)
Evènements indépendants
Deux évènements A et B sont indépendants si P(A⋂B)=P(A)*P(B)
Evènements 2 à 2 indépendants
Les évènements (A1…An) sont dits 2 à 2 indépendants si pt i≠j P(Ai⋂Aj)=P(Ai)P(Aj)
Evènements mutuellement indépendants
Les évènements (A1….An) sont dits mutuellement indépendants si pt I ⊂ {1…n}
P(⋂(i€I)Ai)=∏(i€I)P(Ai)
Evènements incompatibles
A et B sont incompatibles si P(A⋂B)=0
Dans ce cas P(AUB)=P(A)+P(B)
(Sinon P(AUB)=P(A)+P(B) -P(A⋂B) )
Loi conjointe
Loi conjointe du couple (X1,X2) :
P(X1=xi,X2=yj) xi€X1(Ω) et yj€X2(Ω) (on rpz sous forme de tableau)
Loi marginale
Loi marginale de X1 :
P(X1=xi)=∑(yj€X2(Ω) )P(X1=xi,X2=yj)
id m m pour X2
A partir de la loi conjointe, on peut toujours trouver la loi marginale (somme des lignes/colonnes dans le tableau), pas l’inverse