EDHEC (Algèbre) Flashcards
Famille libre en dimension finie
Si la dimension de l’espace et le nombre de vecteurs de la famille sont égaux alors la famille libre est une base.
f € L(E,F), dimE=dimF=n
alors f injective ⇔ f surjective ⇔ f bij ⇔ rg f = n
définition dimE (E ev dim finie)
nombre d’élements d’une base de E
Isomorphisme
Endomorphisme
Automorphisme
Iso : Morphisme bijectif
Endo :Morphisme d’un ensemble dans lui même
Auto : Iso et Endo
Def val propre, vecteur propre, sous espace propre, carac dim finie
Le scalaire λ est une valeur propre de l’endomorphisme u de E s’il existe un vecteur x≠0E tq f(x)=λx
x est alors appelé vecteur propre associé à la valeur propre λ
Le sous espace propre associé à la valeur propre λ est :
Eλ(u)=Ker(u-λIdE)
En dimension finie, λ est valeur propre de u ssi u-λIdE n’est pas bijectif
det(u-λIdE)=0
caractérisation u bijectif dim finie (vap)
u bijectif ssi 0 n’est pas valeur propre de u
ssi A inversible
dimE=n, Si f a n valeurs propres distinctes alors
la concaténation d’un vecteur propre associé `a chaque valeur propre
forme une base de vecteurs propres de E et f est donc diagonalisable
une matrice symétrique réelle est
diagonalisable (en dimension finie)
f injectif
dim(kerf)=0 (pratique pour montrer non bijectif en utilisant le th du rang..)
Im(f)=
Vect(vecteurs colonne)
puis réduire si possible pour obtenir une famille libre donc une base en dimension finie
caractérisation matricielle des isomorphismes
Soient E et F des ev de même dimension n, et a€L(E,F), A sa matrice, alors a est un isomorphisme de E sur F ssi A est inversible
A est inversible ssi
Det A ≠ 0
pour une matrice d’ordre n rg(A)=n
0 n’est pas vap de A
l’endomorphisme associé est injbijsurj
u€ker(f)
M*(u)=0 (système)
théorème de la base incomplète
dans un espace vectoriel E,
toute famille libre de vecteurs peut être complétée en une famille libre et génératrice de E (c’est-à-dire une base de E) ;
de toute famille génératrice de E peut être extraite une sous-famille libre et génératrice
F est un sev de E ssi
FcE ;
F≠∅ ;
pt u,v€ F; pt λ,μ € K, λu+μv €F