EDHEC (Algèbre) Flashcards
Famille libre en dimension finie
Si la dimension de l’espace et le nombre de vecteurs de la famille sont égaux alors la famille libre est une base.
f € L(E,F), dimE=dimF=n
alors f injective ⇔ f surjective ⇔ f bij ⇔ rg f = n
définition dimE (E ev dim finie)
nombre d’élements d’une base de E
Isomorphisme
Endomorphisme
Automorphisme
Iso : Morphisme bijectif
Endo :Morphisme d’un ensemble dans lui même
Auto : Iso et Endo
Def val propre, vecteur propre, sous espace propre, carac dim finie
Le scalaire λ est une valeur propre de l’endomorphisme u de E s’il existe un vecteur x≠0E tq f(x)=λx
x est alors appelé vecteur propre associé à la valeur propre λ
Le sous espace propre associé à la valeur propre λ est :
Eλ(u)=Ker(u-λIdE)
En dimension finie, λ est valeur propre de u ssi u-λIdE n’est pas bijectif
det(u-λIdE)=0
caractérisation u bijectif dim finie (vap)
u bijectif ssi 0 n’est pas valeur propre de u
ssi A inversible
dimE=n, Si f a n valeurs propres distinctes alors
la concaténation d’un vecteur propre associé `a chaque valeur propre
forme une base de vecteurs propres de E et f est donc diagonalisable
une matrice symétrique réelle est
diagonalisable (en dimension finie)
f injectif
dim(kerf)=0 (pratique pour montrer non bijectif en utilisant le th du rang..)
Im(f)=
Vect(vecteurs colonne)
puis réduire si possible pour obtenir une famille libre donc une base en dimension finie
caractérisation matricielle des isomorphismes
Soient E et F des ev de même dimension n, et a€L(E,F), A sa matrice, alors a est un isomorphisme de E sur F ssi A est inversible
A est inversible ssi
Det A ≠ 0
pour une matrice d’ordre n rg(A)=n
0 n’est pas vap de A
l’endomorphisme associé est injbijsurj
u€ker(f)
M*(u)=0 (système)
théorème de la base incomplète
dans un espace vectoriel E,
toute famille libre de vecteurs peut être complétée en une famille libre et génératrice de E (c’est-à-dire une base de E) ;
de toute famille génératrice de E peut être extraite une sous-famille libre et génératrice
F est un sev de E ssi
FcE ;
F≠∅ ;
pt u,v€ F; pt λ,μ € K, λu+μv €F
intersection finie de sev
Une intersection finie de sous-espaces vectoriels d’un espace E est un sous-espace vectoriel de E.
somme finie de sev (attention différent de l’union, qui n’est généralement pas un sev)
la somme de deux sev de E est un sev de E
sev supplémentaires
F et G sont supplémentaires ssi E = F + G (tout les vecteurs de E peuvent s’exprimer comme somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de G) et F ∩ G = { 0 },
ssi pt pt v€E, il existe (x,y)€E² unique tq v=x+y x€F y€G
sev supplémentaires dim finie
Si E est de dimension finie alors F et G sont supplémentaires si et seulement si F ∩ G = { 0 } et dim(F) + dim(G) = dim(E).
somme directe de sev
On dit que la somme (E1 + … + En) est directe si et seulement si l’intersection de chaque Ei
avec la
somme de tous les autres est réduite à {0}, soit :
∀ 1 ≤ i ≤ n, Ei ∩ (E1 + … + Ei-1 + Ei+1 + … + En) = {0}.
u surjective ssi
∀ y €F; ∃x € E tel que y = u(x)
Im f, carac
f:E->F
Im(f)={f(x)|x€E}={y€F|∃x€E;f(x)=y}
f surjective ssi im(f)=E
Ker f, carac
f:E->F
ker(f)={x€E|f(x)=0}
f injective ssi ker(f)={0}
GL(E)
Groupe linéaire : ensemble des automorphismes de E
si f €L(E,F) est un isomorphisme en dimension finie alors
dimE=dimF
isomorphisme noyau et image :
Soit f€L(E,F), Imf est isomorphe à tout supplémentaire de kerf
ev L(E) ?
ensemble des endomorphismes de E
GLn(R)
groupe linéaire de degré n : ensemble des matrices n*n inversibles
une matrice triangulaire est inversible ssi
ses coefficients diagonaux sont non nuls
Matrice d’un endomorphisme
Calculer u(vecteurs de la base) et les exprimer en combinaison linéaire puis mettre en colonne
