EDHEC (Algèbre) Flashcards

1
Q

Famille libre en dimension finie

A

Si la dimension de l’espace et le nombre de vecteurs de la famille sont égaux alors la famille libre est une base.

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2
Q

f € L(E,F), dimE=dimF=n

A

alors f injective ⇔ f surjective ⇔ f bij ⇔ rg f = n

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3
Q

définition dimE (E ev dim finie)

A

nombre d’élements d’une base de E

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4
Q

Isomorphisme
Endomorphisme
Automorphisme

A

Iso : Morphisme bijectif
Endo :Morphisme d’un ensemble dans lui même
Auto : Iso et Endo

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5
Q

Def val propre, vecteur propre, sous espace propre, carac dim finie

A

Le scalaire λ est une valeur propre de l’endomorphisme u de E s’il existe un vecteur x≠0E tq f(x)=λx
x est alors appelé vecteur propre associé à la valeur propre λ

Le sous espace propre associé à la valeur propre λ est :
Eλ(u)=Ker(u-λIdE)

En dimension finie, λ est valeur propre de u ssi u-λIdE n’est pas bijectif
det(u-λIdE)=0

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6
Q

caractérisation u bijectif dim finie (vap)

A

u bijectif ssi 0 n’est pas valeur propre de u

ssi A inversible

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7
Q

dimE=n, Si f a n valeurs propres distinctes alors

A

la concaténation d’un vecteur propre associé `a chaque valeur propre
forme une base de vecteurs propres de E et f est donc diagonalisable

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8
Q

une matrice symétrique réelle est

A

diagonalisable (en dimension finie)

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9
Q

f injectif

A

dim(kerf)=0 (pratique pour montrer non bijectif en utilisant le th du rang..)

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10
Q

Im(f)=

A

Vect(vecteurs colonne)

puis réduire si possible pour obtenir une famille libre donc une base en dimension finie

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11
Q

caractérisation matricielle des isomorphismes

A

Soient E et F des ev de même dimension n, et a€L(E,F), A sa matrice, alors a est un isomorphisme de E sur F ssi A est inversible

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12
Q

A est inversible ssi

A

Det A ≠ 0
pour une matrice d’ordre n rg(A)=n
0 n’est pas vap de A
l’endomorphisme associé est injbijsurj

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13
Q

u€ker(f)

A

M*(u)=0 (système)

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14
Q

théorème de la base incomplète

A

dans un espace vectoriel E,
toute famille libre de vecteurs peut être complétée en une famille libre et génératrice de E (c’est-à-dire une base de E) ;
de toute famille génératrice de E peut être extraite une sous-famille libre et génératrice

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15
Q

F est un sev de E ssi

A

FcE ;
F≠∅ ;
pt u,v€ F; pt λ,μ € K, λu+μv €F

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16
Q

intersection finie de sev

A

Une intersection finie de sous-espaces vectoriels d’un espace E est un sous-espace vectoriel de E.

17
Q

somme finie de sev (attention différent de l’union, qui n’est généralement pas un sev)

A

la somme de deux sev de E est un sev de E

18
Q

sev supplémentaires

A

F et G sont supplémentaires ssi E = F + G (tout les vecteurs de E peuvent s’exprimer comme somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de G) et F ∩ G = { 0 },
ssi pt pt v€E, il existe (x,y)€E² unique tq v=x+y x€F y€G

19
Q

sev supplémentaires dim finie

A

Si E est de dimension finie alors F et G sont supplémentaires si et seulement si F ∩ G = { 0 } et dim(F) + dim(G) = dim(E).

20
Q

somme directe de sev

A

On dit que la somme (E1 + … + En) est directe si et seulement si l’intersection de chaque Ei
avec la
somme de tous les autres est réduite à {0}, soit :
∀ 1 ≤ i ≤ n, Ei ∩ (E1 + … + Ei-1 + Ei+1 + … + En) = {0}.

21
Q

u surjective ssi

A

∀ y €F; ∃x € E tel que y = u(x)

22
Q

Im f, carac

A

f:E->F
Im(f)={f(x)|x€E}={y€F|∃x€E;f(x)=y}
f surjective ssi im(f)=E

23
Q

Ker f, carac

A

f:E->F
ker(f)={x€E|f(x)=0}
f injective ssi ker(f)={0}

24
Q

GL(E)

A

Groupe linéaire : ensemble des automorphismes de E

25
Q

si f €L(E,F) est un isomorphisme en dimension finie alors

A

dimE=dimF

26
Q

isomorphisme noyau et image :

A

Soit f€L(E,F), Imf est isomorphe à tout supplémentaire de kerf

27
Q

ev L(E) ?

A

ensemble des endomorphismes de E

28
Q

GLn(R)

A

groupe linéaire de degré n : ensemble des matrices n*n inversibles

29
Q

une matrice triangulaire est inversible ssi

A

ses coefficients diagonaux sont non nuls

30
Q

Matrice d’un endomorphisme

A

Calculer u(vecteurs de la base) et les exprimer en combinaison linéaire puis mettre en colonne