EDHEC (Algèbre) Flashcards
Famille libre en dimension finie
Si la dimension de l’espace et le nombre de vecteurs de la famille sont égaux alors la famille libre est une base.
f € L(E,F), dimE=dimF=n
alors f injective ⇔ f surjective ⇔ f bij ⇔ rg f = n
définition dimE (E ev dim finie)
nombre d’élements d’une base de E
Isomorphisme
Endomorphisme
Automorphisme
Iso : Morphisme bijectif
Endo :Morphisme d’un ensemble dans lui même
Auto : Iso et Endo
Def val propre, vecteur propre, sous espace propre, carac dim finie
Le scalaire λ est une valeur propre de l’endomorphisme u de E s’il existe un vecteur x≠0E tq f(x)=λx
x est alors appelé vecteur propre associé à la valeur propre λ
Le sous espace propre associé à la valeur propre λ est :
Eλ(u)=Ker(u-λIdE)
En dimension finie, λ est valeur propre de u ssi u-λIdE n’est pas bijectif
det(u-λIdE)=0
caractérisation u bijectif dim finie (vap)
u bijectif ssi 0 n’est pas valeur propre de u
ssi A inversible
dimE=n, Si f a n valeurs propres distinctes alors
la concaténation d’un vecteur propre associé `a chaque valeur propre
forme une base de vecteurs propres de E et f est donc diagonalisable
une matrice symétrique réelle est
diagonalisable (en dimension finie)
f injectif
dim(kerf)=0 (pratique pour montrer non bijectif en utilisant le th du rang..)
Im(f)=
Vect(vecteurs colonne)
puis réduire si possible pour obtenir une famille libre donc une base en dimension finie
caractérisation matricielle des isomorphismes
Soient E et F des ev de même dimension n, et a€L(E,F), A sa matrice, alors a est un isomorphisme de E sur F ssi A est inversible
A est inversible ssi
Det A ≠ 0
pour une matrice d’ordre n rg(A)=n
0 n’est pas vap de A
l’endomorphisme associé est injbijsurj
u€ker(f)
M*(u)=0 (système)
théorème de la base incomplète
dans un espace vectoriel E,
toute famille libre de vecteurs peut être complétée en une famille libre et génératrice de E (c’est-à-dire une base de E) ;
de toute famille génératrice de E peut être extraite une sous-famille libre et génératrice
F est un sev de E ssi
FcE ;
F≠∅ ;
pt u,v€ F; pt λ,μ € K, λu+μv €F
intersection finie de sev
Une intersection finie de sous-espaces vectoriels d’un espace E est un sous-espace vectoriel de E.
somme finie de sev (attention différent de l’union, qui n’est généralement pas un sev)
la somme de deux sev de E est un sev de E
sev supplémentaires
F et G sont supplémentaires ssi E = F + G (tout les vecteurs de E peuvent s’exprimer comme somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de G) et F ∩ G = { 0 },
ssi pt pt v€E, il existe (x,y)€E² unique tq v=x+y x€F y€G
sev supplémentaires dim finie
Si E est de dimension finie alors F et G sont supplémentaires si et seulement si F ∩ G = { 0 } et dim(F) + dim(G) = dim(E).
somme directe de sev
On dit que la somme (E1 + … + En) est directe si et seulement si l’intersection de chaque Ei
avec la
somme de tous les autres est réduite à {0}, soit :
∀ 1 ≤ i ≤ n, Ei ∩ (E1 + … + Ei-1 + Ei+1 + … + En) = {0}.
u surjective ssi
∀ y €F; ∃x € E tel que y = u(x)
Im f, carac
f:E->F
Im(f)={f(x)|x€E}={y€F|∃x€E;f(x)=y}
f surjective ssi im(f)=E
Ker f, carac
f:E->F
ker(f)={x€E|f(x)=0}
f injective ssi ker(f)={0}
GL(E)
Groupe linéaire : ensemble des automorphismes de E
