EDHEC (Analyse) Flashcards

1
Q

Primitive 1/x^n (n ≠ 1)

A

-1/((n-1)x^(n-1))

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Q

Somme termes consécutifs suite arithmétique (Up+…+Un)

A

[(n-p+1)(Un+Up)]/2

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3
Q

Somme de n entiers

A

(n(n+1))/2

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4
Q

Somme des carrés des n premiers entiers

A

[n(n+1)(2n+1)]/6

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5
Q

Somme des cubes

A

(n²(n+1)²)/4

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6
Q

Dérivée d’une réciproque

A

f^(-1)’ = 1/(f’ o f^(-1) )

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7
Q

Dérivée d’une composée

A

(g o f)’ = f ‘ * (g’ o f)

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8
Q

Suite récurrente linéaire d’ordre 2

A
U(n+2)+aU(n+1)+bUn=0
Poser r²+ar+b équation caractéristique
Soit Δ son discriminant
SI Δ>0, soit r1 et r2 les 2 racines,
On a Un=Ar1^n+Br2^n
On évalue en 2 points pour trouver A et B

Si Δ=0 soit r la racine double
Alors Un=(A+Bn)r^n et on trouve A et B

Si Δ<0 Pas de solutions réelles

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9
Q

Soit f:E->E (point fixe)

A

si f fonction continue, et (un) une suite récurrente définie par u0€E et un+1=f(un). Alors si (un) converge, cela ne peut être que vers un point fixe de f.

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10
Q

sinx ~ (0) ?

A

x

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11
Q

cosx ~ (0) ?

A

1-x²/2

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12
Q

tanx ~ (0) ?

A

x

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13
Q

exp(x) ~ (0) ?

A

1+x

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14
Q

ln(1+x) ~ (0) ?

A

x

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15
Q

ln(x) ~ (1) ?

A

x-1

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16
Q

(1+x)^(a) ~ (0) ?

A

1+ax (attention a diff de 0 et a indépendant de x)

17
Q

(1+x)/x ~ (0) ?

A

1/x (utile croissance comparée)

18
Q

Croissances comparées

A

lim(x->∞)exp(x)/x^n=+∞
lim(x->∞)ln(x)/x^n=0
lim(x->-∞)x^nexp(x)=0
lim(x->0)x^n
ln(x)=0

19
Q

image d’un intervalle

A

L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervale

20
Q

toute fonction continue sur un segment

A

est bornée et atteint ses bornes

21
Q

image d’un segment

A

l’image d’un segment par une fonction continue est un segment

22
Q

ROLLE

A

Soit f continue sur [a;b] dérivable sur ]a;b[, tq f(a)=f(b) alors il existe c€]a;b[ tq f ‘(c)=0

23
Q

TAF

A

Soit f continue sur [a;b] dérivable sur ]a;b[, il existe c€]a;b[ tq f ‘ (c)=[f(b)-f(a)]/b-a

24
Q

IAF

A

Soit f continue sur [a;b] dérivable sur ]a;b[ et soit k€R tq pt x€]a;b[ |f ‘ (x)|≤k alors |[f(b)-f(a)]/(b-a)|≤k

25
Q

Binome de newton

A

(x+y)^n=∑(k=0..n)(k parmi n)x^(n-k)y^k

26
Q

Formule de Leibniz

A

(fg)^(n)=∑(k=0..n)(k parmi n)f^(k)g^(n-k)

27
Q

Asymptote verticale

A

si lim(x->xo)f(x)=+ ou - ∞ alors f admet une asymptote verticale d’équation x=xo

28
Q

Asymptote Horiztonale

A

si lim(x->∞)f(x)=yo alors f admet une asymptote horizontale d’équation y=yo

29
Q

Si lim(x->∞)=+∞

A
Si lim(x->∞)f(x)/x=+∞ alors f admet une branche parabolique de DIRECTION Oy
Si lim(x->∞)f(x)/x=0 alors f admet une branche parabolique de DIRECTION Ox
Si lim(x->∞)f(x)/x=a (a≠0) alors 
 => Si lim(x->∞)f(x)-ax=b alors la droite d'équation y=ax+b est asymptote oblique à Cf
=> Si Si lim(x->∞)f(x)-ax=b alors f admet une branche parabolique d'équation y=ax
30
Q

Equation de la tangente en a

A

y=f ‘(a)(x-a) + f(a)

31
Q

La dérivée d’une application de classe Ck

A

don la dérivée ne s’annule pas est de classe Ck

32
Q

primitive u’ * u^n (n≠ -1)

A

u^(n+1)/(n+1)

33
Q

primitive u’/u

A

ln|u|

34
Q

primitive u’ *exp(u)

A

exp(u)

35
Q

exp(x) (série)

A

∑(n=0..∞)x^n/(n!)

36
Q

suite arithmético géo

A
recherche du pt fixe :
si un+1=aUn+B
on cherche x tq x=ax+b
soit α la solution : α=b/(1-a)
Poser Vn=Un-a mq Vn géo ..Vn=Vo*q^n... et comme Un=Vn+A...