EDHEC (Analyse)

Question 1

Primitive 1/x^n (n ≠ 1)

Answer 1

-1/((n-1)x^(n-1))

Question 2

Somme termes consécutifs suite arithmétique (Up+…+Un)

Answer 2

[(n-p+1)(Un+Up)]/2

Question 3

Somme de n entiers

Answer 3

(n(n+1))/2

Question 4

Somme des carrés des n premiers entiers

Answer 4

[n(n+1)(2n+1)]/6

Question 5

Somme des cubes

Answer 5

(n²(n+1)²)/4

Question 6

Dérivée d’une réciproque

Answer 6

f^(-1)’ = 1/(f’ o f^(-1) )

Question 7

Dérivée d’une composée

Answer 7

(g o f)’ = f ‘ * (g’ o f)

Question 8

Suite récurrente linéaire d’ordre 2

Answer 8

U(n+2)+aU(n+1)+bUn=0
Poser r²+ar+b équation caractéristique
Soit Δ son discriminant
SI Δ>0, soit r1 et r2 les 2 racines,
On a Un=Ar1^n+Br2^n
On évalue en 2 points pour trouver A et B

Si Δ=0 soit r la racine double
Alors Un=(A+Bn)r^n et on trouve A et B

Si Δ<0 Pas de solutions réelles

Question 9

Soit f:E->E (point fixe)

Answer 9

si f fonction continue, et (un) une suite récurrente définie par u0€E et un+1=f(un). Alors si (un) converge, cela ne peut être que vers un point fixe de f.

Question 10

sinx ~ (0) ?

Answer 10

x

Question 11

cosx ~ (0) ?

Answer 11

1-x²/2

Question 12

tanx ~ (0) ?

Answer 12

x

Question 13

exp(x) ~ (0) ?

Answer 13

1+x

Question 14

ln(1+x) ~ (0) ?

Answer 14

x

Question 15

ln(x) ~ (1) ?

Answer 15

x-1

Question 16

(1+x)^(a) ~ (0) ?

Answer 16

1+ax (attention a diff de 0 et a indépendant de x)

Question 17

(1+x)/x ~ (0) ?

Answer 17

1/x (utile croissance comparée)

Question 18

Croissances comparées

Answer 18

lim(x->∞)exp(x)/x^n=+∞
lim(x->∞)ln(x)/x^n=0
lim(x->-∞)x^nexp(x)=0
lim(x->0)x^nln(x)=0

Question 19

image d’un intervalle

Answer 19

L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervale

Question 20

toute fonction continue sur un segment

Answer 20

est bornée et atteint ses bornes

Question 21

image d’un segment

Answer 21

l’image d’un segment par une fonction continue est un segment

Question 22

ROLLE

Answer 22

Soit f continue sur [a;b] dérivable sur ]a;b[, tq f(a)=f(b) alors il existe c€]a;b[ tq f ‘(c)=0

Question 23

TAF

Answer 23

Soit f continue sur [a;b] dérivable sur ]a;b[, il existe c€]a;b[ tq f ‘ (c)=[f(b)-f(a)]/b-a

Question 24

IAF

Answer 24

Soit f continue sur [a;b] dérivable sur ]a;b[ et soit k€R tq pt x€]a;b[ |f ‘ (x)|≤k alors |[f(b)-f(a)]/(b-a)|≤k

Question 25

Binome de newton

Answer 25

(x+y)^n=∑(k=0..n)(k parmi n)x^(n-k)y^k

Question 26

Formule de Leibniz

Answer 26

(fg)^(n)=∑(k=0..n)(k parmi n)f^(k)g^(n-k)

Question 27

Asymptote verticale

Answer 27

si lim(x->xo)f(x)=+ ou - ∞ alors f admet une asymptote verticale d'équation x=xo

Question 28

Asymptote Horiztonale

Answer 28

si lim(x->∞)f(x)=yo alors f admet une asymptote horizontale d'équation y=yo

Question 29

Si lim(x->∞)=+∞

Answer 29

``` Si lim(x->∞)f(x)/x=+∞ alors f admet une branche parabolique de DIRECTION Oy Si lim(x->∞)f(x)/x=0 alors f admet une branche parabolique de DIRECTION Ox ``` ``` Si lim(x->∞)f(x)/x=a (a≠0) alors => Si lim(x->∞)f(x)-ax=b alors la droite d'équation y=ax+b est asymptote oblique à Cf => Si Si lim(x->∞)f(x)-ax=b alors f admet une branche parabolique d'équation y=ax ```

Question 30

Equation de la tangente en a

Answer 30

y=f '(a)(x-a) + f(a)

Question 31

La dérivée d'une application de classe Ck

Answer 31

don la dérivée ne s'annule pas est de classe Ck

Question 32

primitive u' * u^n (n≠ -1)

Answer 32

u^(n+1)/(n+1)

Question 33

primitive u'/u

Answer 33

ln|u|

Question 34

primitive u' *exp(u)

Answer 34

exp(u)

Question 35

exp(x) (série)

Answer 35

∑(n=0..∞)x^n/(n!)

Question 36

suite arithmético géo

Answer 36

``` recherche du pt fixe : si un+1=aUn+B on cherche x tq x=ax+b soit α la solution : α=b/(1-a) Poser Vn=Un-a mq Vn géo ..Vn=Vo*q^n... et comme Un=Vn+A... ```