Determinantes

Question 1

Quando um determinante será nulo?

Answer 1

• Quando tiver duas filas paralelas iguais
• Duas filas paralelas proporcionais
• Contém uma (ou mais) fila nula.
• Uma fila é a combinação linear de duas outras.

*Nota: A condição filas paralelas proporcionais abrange uma fila nula e duas filas paralelas iguais.

Question 2

Quando um determinante não se altera?

Answer 2

• Teorema de Jacobi

- Quando trocam-se ordenadamente suas linhas por colunas (transposta).

Question 3

O que diz o teorema de Jacobi?

Answer 3

Um determinante não se altera quando se soma a uma fila combinações lineares de filas paralelas.

Question 4

Quando um determinante é alterado?

Answer 4

• Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os elementos de uma fila por um número, o determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número
• Um determinante muda de sinal quando se troca a posição de duas filas paralelas.

Question 5

O que diz o teorema de Binet?

Answer 5

|A.B| = |A|.|B|.

* Lembrando que não é verdade se trocar os sinais de multiplicação pelo de adição.

Question 6

Pelo teorema de Binet, o que se conclui sobre o determinante da matriz inversa?

Answer 6

|A^(-1)| = 1 / |A|.

* Daí pode-se concluir o por que de ,para uma matriz ser inversível, ter o determinante diferente de zero.

Question 7

Como se calcula o determinante de uma matriz triangular?

Answer 7

Pelo produtório da diagonal principal.

Question 8

Qual é a propriedade da adição de determinantes?

Answer 8

Filas iguais, mantém; diferentes, soma.

Para funcionar, precisa não ter todas as filas diferentes ou iguais.

Question 9

O que é o menor complementar?

Answer 9

Dada a matriz A, o menor conplementar Dij é o determinante da matriz obtida retirando-se da matriz A a linha i e a coluna j.

Question 10

Como também pode ser chamado o menor complementar?

Answer 10

De menor determinante.

Question 11

O que é o complemento algébrico?

Answer 11

É o produto:

Aij = (-1)^(i + j).Dij.

Question 12

Como também pode ser chamado o complemento algébrico?

Answer 12

De cofator ou de adjunto.

Question 13

Como pode ser chamado o fator (-1)^(i + j), no cálculo do cofator a partir do menor complementar?

Answer 13

De fator de correção.

Question 14

Qual é a condição para que se possa aplicar o teorema de Gauss para se obter um determinante?

Answer 14

Seja a matriz A = (aij)m, a11 deve ser diferente de zero.

Question 15

Qual é o fator que vem na fórmula do teorema de Gauss para determinantes além do método em que se separa a matriz em pequenas matrizes de ordem dois?

Answer 15

1 / ((a11)^(n - 2))

Onde n é a ordem da matriz.

Question 16

O que diz o teorema de Laplace?

Answer 16

O determinante de qualquer matriz quadrada de ordem n (n >= 2) é igual a soma dos produtos dos elementos de qualquer fila pelos seus respectivos cofatores.

Question 17

Como se denota a matriz dos cofatores?

Answer 17

Com um apóstrofo: A’.

Question 18

Como é uma matriz de Vandermonde o como se calcula seu determinante pelo seu teorema?

Answer 18

A primeira fila é composta de uns (potências na zero), a segunda é composta pelas primeiras potências dos números, a terceira pela terceira potência deles, e assim por diante.
Os elementos característicos do determinante são os que estão na primeira potência.
O determinante é dado pelo produto das diferenças de cada elemento característico pelos das filas anteriores.
|1 1. 1 |
|7. 8. 9 | = (8 - 7).(9 - 7).(9 - 8) = 1.2.1 = 2.
|49 64 81|

Question 19

Como se calcula um determinante pelo teorema de Chió?

Answer 19

Escolhe-se um pivô (que precisa ser o número 1) e a partir dele se exclui sua linha e coluna.
Subtraia de cada elemento da nova matriz o produto dos elementos que pertenciam a sua linha e a coluna que foram retirados.
Multiplique o determinante da nova matriz por (-1)^(i + j), sendo i e j a posição do elemento pivô (1).
O determinante a ser calculado possui o mesmo valor da matriz inicial e uma ordem a menos.