Cônicas

Question 1

Qual é a definição de elipse?

Answer 1

E = {P/ 2a >2c = FF’ e PF + PF’ = 2a}

Question 2

Qual é a definição da hipérbole?

Answer 2

H = {P/ 2a < 2c = FF’ e |PF + PF’| = 2a}

Question 3

Qual é a definição da parábola?

Answer 3

P = {Q/ d(Q, d) = QF}

Question 4

Identifique as variáveis na elipse e dê seus nomes.

Answer 4

F e F’: focos.

a: semi-eixo maior.
b: semi-eixo menor.
c: semi-distância focal.

Question 5

Identifique as variáveis na parábola e dê seus nomes.

Answer 5

F: foco.

d: diretriz.
p: parâmetro

Question 6

Identifique os elementos na hipérbole e dê seus nomes.

Answer 6

F e F’: focos.

a: semi-eixo real ou transverso.
b: semi-eixo imaginário ou não transverso.
c: semi-distância focal.

Question 7

Dê as excentricidades das cônicas.

Answer 7

• Elipse: e = c / a.
• Hipérbole: e = c / a.
• Parábola: e = 1.

Question 8

Dê as relações fundamentais da elipse e da hipérbole.

Answer 8

• Elipse: a² = b² + c².
• Hipérbole: c² = a² + b².

Question 9

Dê a equação canônica da elipse com eixo maior paralelo ao eixo x.

Answer 9

Question 10

De a equação canônica de uma elipse com eixo maior paralelo ao eixo y.

Answer 10

Question 11

Dê a equação canônica de uma hipérbole com eixo real paralelo ao eixo x.

Answer 11

Question 12

Dê a equação canônica de uma hipérbole com eixo real paralelo ao eixo y.

Answer 12

Question 13

Dê a equação canônica da parábola com diretriz paralela ao eixo y e concavidade para a direita.

Answer 13

(y - y₀)² = 2*(p)*(x - x₀)²

Question 14

Dê a equação canônica de uma parábola com diretriz paralela ao eixo y e concavidade para a esquerda.

Answer 14

(y - y₀)² = 2*(-p)*(x - x₀)²

Question 15

Dê a equação canônica de uma parábola com diretriz paralela ao eixo x e concavidade para cima.

Answer 15

(x - x₀)² = 2*(p)*(y - y₀)²

Question 16

Dê a equação canônica de uma parábola com diretriz paralela ao eixo x e concavidade para baixo.

Answer 16

(x - x₀)² = 2*(-p)*(y - y₀)²

Question 17

Dê as fórmulas dos raios vetores em função da abscissa do ponto para uma elipse de focos no eixo x e centro na origem.

Answer 17

PF = a - e*x

PF’ = a + e*x

Question 18

De as fórmulas dos raios vetores em função da abscissa do ponto para uma hipérbole de focos sobre o eixo x e centro na origem.

Answer 18

• Ramo direito:

PF = e*x - a

PF’ = e*x + a

• Ramo esquerdo:

PF = -e*x + a

PF’ = -e*x - a

Question 19

Dê a fórmula do raio vetor em função da abscissa do ponto para uma parábola.

Answer 19

A distância do ponto ao foco é a mesma da distância do ponto a diretriz. Logo basta usar a fórmula da distância entre ponto e reta.

Question 20

O que é o parâmetro de uma elipse?

Answer 20

É a metade da corda focal perpendicular ao eixo maior.

p = b²/a

Definimos como parâmetro da hipérbole o valor p = b²/a para que as equações polares dos raios vetores se assemelhem aos da elipse.

Question 21

O que é o latus retum?

Answer 21

É o dobro do parêmetro da elipse, o que equivale a dizer que é a corda focal máxima.

Question 22

Discorra sobre as assíntotas da hipérbole.

Answer 22

Basta isolar o y na equação da hipérbole e teremos que o coeficiente angular é igual ao y tendendo ao infinito dividido pelo x

Logo os coeficientes angulares das assíntotas são dados por +b/a ou -b/a.

As assíntotas são as diagonais do retângulo fundamental da hipérbole.

Quando a = b, a hipérbole é dita equilátera e o seu retângulo fundamental é um quadrado.

Question 23

O que é a circunferência principal?

Answer 23

Definição válida para elipses e hipérboles: é a circunferencia cujo centro coincide com o da elipse / hipérbole e o raio vale a.

Question 24

O que são as circunferências diretoras?

Answer 24

Conceito válido para elipses e hiperboles: são as de centro em F e F’ e raio 2a.

Question 25

O que se sabe sobre a tangente da figura?

Que outros resultados importantes se obtém na demonstração desse teorema?

Answer 25

• A bissetriz externa é a tangente.
• O simétrico de um foco em relação a uma tangente está na circunferência diretora relativa ao outro foco.
• A projeção ortogonal de um foco em relação a uma tangente está na circunferência principal (teorema de La Hire).
• A normal no ponto de tangência é bissetriz interna do triângulo.

Question 26

O que se sabe sobre a tangente da figura? Que outros resultados se obtém da demonstração desse teorema?

Answer 26

• A bissetriz interna do triangulo é tangente à hipérbole.
• O simétrico de um foco em relação a uma tangente está na circunferência diretora relativa ao outro foco.
• A projeção ortogonal de um foco em relação a uma tangente está na circunferência principal.
• A normal no ponto de tangência é bissetriz externa do triângulo.

Question 27

O que se sabe da tangente da figura? Que outros resultados se obtém da demonstração desse teorema?

Answer 27

• A bissetriz interna do triângulo é tangente à parábola.
• O simétrico do foco em relação a tangente pertence à diretriz.
• A projeção ortogonal do foco em relação à tangente pertence à tangente do vértice da parábola.
• Propriedade refletora, todo ângulo que incide paralelamente, reflete sobre o foco e vice-versa.