Cours 9 : test t et estimation Flashcards
Estimation
Meilleur estimé veut dire que l’erreur entre la “vraie” valeur et la statistique est minimisée (jamais exacte correspondance)
Le meilleur estimé de μ est la moyenne de l’échantillon
Comment rendre l’estimation plus précise ?
En prenant en compte la
variabilité dans l’échantillonnage → estimation d’intervalle ou intervalle de confiance (synonymes)
Intervalle de confiance
Spécifie un intervalle de valeurs entre lesquelles la valeur réelle de μ inconnue serait comprise avec un niveau de certitude connu
Trois faits mathématiques de l’intervalle de confiance (pourquoi ça marche)
- La moyenne de la distribution d’échantillonage est égale à la moyenne de la population (𝜇𝑋ത = 𝜇)
- L’erreur standard de la distribution d’échantillonage est égale à l’écart-type de la population divisé par la racine carrée de la taille de l’échantillon
- La forme de la distribution d’échantillonnage est connue
Formule de l’intervalle de confiance
𝑋ത ± (𝑍𝑐𝑜𝑛𝑓)(𝜎𝑋ത )
𝜎𝑋ത : l’erreur type (écart type/racine carrée de N)
Niveau de confiance
La proportion ou pourcentage du temps que le paramètre inconnu en question (μ) sera compris à l’intérieur de l’intervalle
Pourquoi est-ce qu’on choisit 95 % par défaut pour l’intervalle de confiance ?
90% quand ne pas avoir d’intervalle précis pourrait avoir de sérieuses consequences.
99% quand un intervalle faux pourrait avoir de sérieuses consequences
Taille optimale pour l’intervalle de confiance
La taille de l’échantillon utilisé
pour construire un intervalle de confiance ne peut jamais être trop grand
Fourchette de valeurs entre lesquelles nos valeurs de Xbarre peuvent se retrouver
Si 𝑋ത n’est pas dans l’intervalle, on rejette l’hypothèse nulle
𝐼𝐶1−𝛼 = 𝜇 ± 𝑍𝛼/2 × 𝜎x
Par quoi sont déterminées les bornes de l’intervalle de confiance ?
La valeur critique associée au seuil alpha choisi (Alpha plus petit élargit l’intervalle de confiance (et vice versa))
L’erreur type de la moyenne
William Gosset (1876-1937)
Il était employé à Guinness (la bière), et a travaillé dans le laboratoire de Karl Pearson
Concerné par le problème des petits échantillons en inference statistique à cause des considerations de contrôle qualité à Guinness
On lui reconnaît d’avoir développé la distribution de Student – t
Distribution d’échantillonnage de t
La distribution obtenue si une
valeur de t était calculée pour chaque moyenne d’échantillonnage de tous les échantillons aléatoires possible d’une taille donnée tirés d’une
population;
Unimodale, symmétrique, et en
forme de cloche (comme
la distribution normale.) dès dl=4; extrémités plus larges
Pourquoi les extrémités de la distribution t sont plus larges ?
À cause de la variabilité plus grande qui vient de l’estimation de σ par s;
Normale lorsque dl -> infini
Notion de degrés de liberté
Quantité d’information (valeurs, scores, statistiques, etc.) qui est
“libre” de varier lorsque nous estimons un paramètre;
Chaque distribution-t est associée à un degré de liberté (df ou dl)
*Lorsque les n écarts autour de la moyenne sont utilisés pour
estimer la variance de la population, seulement n-1 sont libres de varier parce
que la somme des écarts doit être égale à zéro (restriction mathématique);
𝒅𝒇 = 𝒏 − 1
Mode d’emploi du test t
- Déterminer direction de l’hypothèse.
- Déterminer niveau de confiance
- Regarder la bonne colonne
- Choisir le numéro → c’est le tcritique
*Si notre dl n’est pas disponible, on prend la valeur correspondante au dl
immédiatement inférieur
Remarques sur le tcritique
La valeur de tcritique est plus variable que le zcritique;
Les statistiques observées (moyenne, écart-type habituellement) sont converties en statistique test, qui est en quelque sorte une valeur étalon de la distribution d’échantillonnage appropriée;
En fait, lorsqu’on teste des hypothèses ou construit des intervalles de confiance pour des moyennes de population, on doit utiliser le test t au lieu de z lorsque l’écart-type de la population (σ) est inconnu, ce qui est presque toujours le cas
STATISTIQUE-t POUR LA MOYENNE D’UNE POPULATION (UN ÉCHANTILLON)
𝒕 = 𝒎𝒐𝒚𝒆𝒏𝒏𝒆 𝒅𝒆 𝒍 ′é𝒄𝒉𝒂𝒏𝒕𝒊𝒍𝒍𝒐𝒏 −𝒎𝒐𝒚𝒆𝒏𝒏𝒆 𝒉𝒚𝒑𝒐𝒕𝒉é𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 / 𝐞𝐫𝐫𝐞𝐮𝐫 𝐬𝐭𝐚𝐧𝐝𝐚𝐫𝐝 𝐞𝐬𝐭𝐢𝐦é (sxbarre)
INTERVALLE DE CONFIANCE DE μ BASÉ SUR t
𝑿barre ± (𝒕𝒄𝒐𝒏𝒇 )(𝒔𝑿barre)
𝑡𝑐𝑜𝑛𝑓: valeur trouvée dans la table des valeurs critiques
Deux échantillons
indépendants
Test statistique fréquemment
utilisé pour comparer un groupe contrôle avec un groupe de traitement;
Permet de tirer des conclusions claires à propos d’une
relation cause à effet;
On se questionne si les statistiques des deux échantillons sont
suffisamment différentes pour conclure qu’ile proviennent de deux populations différentes (rejeter l’hypothèse nulle)
Effet du test t avec deux échantillons indépendants
difference entre les paramètres (μ) de deux populations (μ1 et μ2) différentes
𝜎𝑋ത1−𝑋ത2 = racine carrée (𝜎1
à la deux / 𝑛1 + 𝜎2à la deux/𝑛2
Interprétation du test t avec deux échantillons indépendants
𝜎𝑋ത1−𝑋ത2
est une mesure de la différence moyenne des
différences entre les moyennes de deux échantillons aléatoires et la
différence moyenne entre deux populations
STATISTIQUE-t POUR DEUX MOYENNES DE POPULATION (DEUX ÉCHANTILLONS INDÉPENDANTS)
𝒕 = 𝒅𝒊𝒇𝒇 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒍𝒆𝒔 𝒎𝒐𝒚𝒆𝒏𝒏𝒆𝒔 𝒅′é𝒄𝒉𝒂𝒏𝒕𝒊𝒍𝒍𝒐𝒏 −(𝒅𝒊𝒇𝒇 𝒉𝒚𝒑𝒐𝒕𝒉é𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒍𝒆𝒔 𝒎𝒐𝒚𝒆𝒏𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏) /𝐞𝐫𝐫𝐞𝐮𝐫 𝐬𝐭𝐚𝐧𝐝𝐚𝐫𝐝 𝐞𝐬𝐭𝐢𝐦é
DEGRÉS DE LIBERTÉ (DEUX ÉCHANTILLONS)
𝒅𝒇 = 𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 − 2
Test t: p-value
Probabilité d’obtenir le résultat observé, si on présume que
l’hypothèse nulle est vraie;
Le plus la p-value est petite, le plus H0 est suspecte;
probabilité qui correspond à la zone grise dans le schéma précédent (ou la zone grise totale des deux côtés si
bilatérale)
Comment approximer le p-value
Il faut savoir trois informations (Directionalité de l’hypothèse, Degrés de liberté, t obs)
On trouve la rangée du dl dans le tableau de directionnalité de
l’hypothèse correspondant;
On assigne le p-value correspondant
Problème du p value
Peut poser problème quand les résultats sont limite (exemple: p = 0.06): pas de balises pour decider
De plus, les concepts d’erreur de type I et type II sont moins clairs avec cette approche
α vs p-value
Spécifié avant avoir observé la statistique test, le niveau de signification α déterminé le degré de rareté requis à notre statistique test afin qu’on
rejette H0;
Déterminée après avoir observé la statistique test, le p-value détermine le degré de rareté de notre statistique, si l’hypothèse nulle est conservée
INTERVALLE DE CONFIANCE DE μ1 - μ2 BASÉ SUR t (deux échantillons indépendants)
(𝑿barrie𝟏−𝑿barre2) ± (𝒕𝒄𝒐𝒏𝒇 )(𝒔𝑿barre𝟏−𝑿barre2)
TAILLE D’EFFET STANDARDISÉE, d DE COHEN (DEUX ÉCHANTILLONS
INDÉPENDANTS)
𝒅 = 𝒅𝒊𝒇𝒇é𝒓𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒎𝒐𝒚𝒆𝒏𝒏𝒆 /
é𝒄𝒂𝒓𝒕 𝒕𝒚𝒑𝒆
Avantages de la taille d’effet en comparaison avec l’estimation
Point de référence stable qui n’est pas influencé par la taille de l’échantillon, ce qui permet de comparer des effets adéquatement lorsque la taille de l’échantillon est très différente;
Unités s’annulent – standardise, sans unités
Présuppositions – test t deux
échantillons indépendants
t presuppose que les populations sous-jacentes sont
normalement distribuées avec variances égales
Si on observe un non-respect flagrant de la normalité et de l’égalité des variances pour les données des deux groupes, considérer (pour test t deux échantillons indépendants)
- Augmenter la taille de l’échantillon (réduit impact d’anormalité)
- Échantillons de taille égale pour minimiser l’impact de variances inégales (variance inégale va surestimer l’erreur-type)
- Utiliser un test t moins sensible et plus complexe pour les variances inégales (on ne voit pas dans ce cours.)
- Utiliser un test statistique non-paramétrique et moins sensible tel que Mann-Whitney U test.
