controlli 1 Flashcards
Il sistema nonlineare a controreazione visto nel par. 1 si dice asintotico di grado α nel controllo se per ogni condizione iniziale si ha:
eαtc(t) ∈ L2(0, inf.)
Il verificarsi di un punto sul piano complesso che soddisfa l’equazione pseudocaratteristica corrisponde, per il relativo sistema canonico, a un’oscillazione permanente asintoticamente stabile se il prodotto scalare (t, n), con n normale alla tangente del diagramma polare di L(jω) e t tangente al tracciato di Λ(Ε), è:
negativo
A fronte di un ingresso u(t) a gradino, si potrebbe desiderare di trasmettere all’entrata del nodo sommatore un segnale uf(t)con una dinamica meno veloce, così da ridurre le sollecitazioni sulla variabile di controllo c(t); questo può essere ottenutoassegnando a T(s) :
un polo reale negativo
Abbiamo definito la funzione di sensitività come:
S(s)=1/(1+L(s))
Abbiamo definito la funzione di sensitività del controllo come:
M(s)=G1(S)/(1+L(s))
Abbiamo visto che L(s)=k/((s+1)3), con k>0, è asintoticamente stabile per k<8; se allora poniamo k=2, il margine di guadagno risulta pari a:
kL=4
Affinché G(jω) rimanga fuori dal cerchio critico occorre che G ̂(jω) rimanga sulla destra, per ω=1, della tangente al cerchio critico nel punto:
(-1/b, 0)
Affinché il sistema canonico sia compatibile con l’esistenza di oscillazioni permanenti, deve essere soddisfatta l’equazione di congruenza che, tenendo conto della compensazione delle fasi lungo il ciclo, equivale a:
1+L(jω)D(E)=0
Affinché la pulsazione ωb possa costituire l’estremo superiore della banda passante Ibp, e cioè che il diagramma polare di L(jω) non sia prima entrato in C2, si vede che è necessario che per i margini di guadagno kL e di fase αL risulti:
kL ≥ (xQ)-1 e αL ≥ Φa
Affinché le radici del polinomio caratteristico abbiano tutte parte reale negativa, va considerata la condizione necessaria che:
tutti i coefficienti del polinomio abbiano lo stesso segno
Aggiungendo alle ipotesi del criterio di Bode anche che L(s) sia a fase minima, se l’andamento asintotico del diagramma del modulo all’atto dell’attraversamento dell’asse orizzontale con ordinata 0 dB ha una pendenza pari a -k, allora l’andamento asintotico del diagramma della fase, in coincidenza del suddetto attraversamento, assume il valore di:
-k90°
Al crescere del grado del polinomio caratteristico, è più efficiente utilizzare:
il criterio di Routh
Al fine di sostituire le operazioni di convoluzione (necessarie per rappresentare, nel dominio del tempo, le risposte dei sistemi lineari) con operazioni di prodotto, le grandezze che figurano negli schemi a blocchi sono da considerare mediante:
la loro trasformata di Laplace
Al giorno d’oggi l’informazione
è una delle merci più preziose in circolazione
Al variare dei coefficienti del polinomio caratteristico all’interno degli intervalli stabiliti, tutte le radici del polinomio stesso hanno parte reale negativa se e solo se i polinomi p1(λ), p2(λ), p3(λ). p4(λ) hanno:
tutte le radici con parte reale negativa
All’inverso kd della funzione di controreazione istantanea viene attribuito il significato di costante di proporzionalità tra:
l’ingresso e l’uscita desiderata
Applicando la tecnica dello spostamento degli zeri alla funzione G(s)=(s-4)/(s+2), con b=1, otteniamo:
Gb(s) = - 6/(s+2)
Applicando la tecnica dello spostamento dei poli alla funzione G(s)=1/((s-1)(s+3)(s+4)) si ottiene:
Ga(s)=1/(s(s2+6s+5)+a-12)
Attraverso il metodo di Krasowskii abbiamo visto che, per un sistema x͘(t)=f(x(t)) con x appartenente a Rn, una valida funzione di Ljapunov, per cui l’origine del sistema è globalmente asintoticamente stabile è:
V(x)=f^T(x)f(x)
Attraverso lo stato il sistema può essere rappresentato mediante
una funzione φ di transizione dello stato e
una funzione η di uscita
Comunicazione e controllo sono:
strettamente legate tra loro
Con PROCESSO viene indicato:
l’impianto oggetto del controllo
Condizione necessaria (ma non sufficiente) affinché tutte le radici dell’equazione caratteristica abbiano parte reale negativa, è che i coefficienti del polinomio caratteristico siano:
tutti strettamente positivi o strettamente negativi
Condizione necessaria e sufficiente affinché tutte le radici dell’equazione caratteristica abbiano parte reale negativa è che:
tutti i determinanti di Hurwitz siano positivi
Condizione necessaria e sufficiente per la stabilità asintotica del sistema a controreazione W(s)=L(s)/(1+L(s)) è che nL sia ben definito e che sia:
nL=pL
Condizione necessaria e sufficiente per la stabilità del sistema a retroazione positiva W(s)=L(s)/(1-L(s)) è che nL’ sia ben definito e che sia:
nL’=pL
Condizione sufficiente affinché un sistema a controreazione unitaria, con funzione di trasferimento a catena diretta L(s) asintoticamente stabile, risulti asintoticamente stabile è che sia:
|L(jω)|<1 per ogni ω
Considerando la funzione di trasferimento a ciclo chiuso W(s)=L(s)/(1+L(s)), la sua stabilità asintotica si realizza se tutte le radici dell’equazione caratteristica del sistema 1+L(s) hanno:
parte reale negativa
Considerando nell’insieme i Teor. 2.1 e 2.2, si deduce che i casi sui quali non si può decidere nulla riguardo all’assoluta stabilità di un sistema canonico nonlineare, con riferimento ad un dato intervallo [k1, k2], sono quelli nei quali:
c’è un’intersezione tra il diagramma polare di L(jω) e il “cerchio” σ[k1, k2]
Consideriamo G1(s)=1/(s-a) e G2(s)=(s-a)/(s+1) con a≠-1, dove G1(s) è stabile per a<0, mentre G2(s) è stabile per ogni a. Eseguendo un collegamento in serie, si ha G(s)=1/(s+1), che è asintoticamente stabile:
se e solo se a<0
Consideriamo il blocco lineare G(s)=1/(s(s 2 +6s+5)) controreazionato da un guadagno statico con a=12 e applichiamo il teorema 4.1; la tangente al suo diagramma in (-1/30, 0) e con q=1,2 garantisce:
l’asintotica stabilità del sistema per una nonlinearità invariante nel tempo e a un solo valore nel settore (0, 30)
Consideriamo il sistema di controllo elastico a catena aperta. Nel caso in cui (h2/4m)<(k/m) gli autovalori saranno:
complessi
Consideriamo il sistema x͘(t)=Ax(t) e una funzione di Ljapunov V(x)=xTQx con Q simmetrica e definita positiva; posto ATQ+QA= -C si ha che se anche C è definita positiva, allora, per il teorema di Barbashin-Krasowskii, il sistema risulta:
globalmente asintoticamente stabile
Consideriamo il sistema x͘1(t)=ax12(t)+bx23(t) e x͘2(t)= -cx2(t)+dx13(t) con a, b, c, d>0 e la funzione di Ljapunov V(x)=x1-(1/2)x22; la funzione V(x) sarà positiva:
solo all’interno della parabola descritta da x1=(1/2)x2^2
Consideriamo la funzione di trasferimento W(s)=k/(s+(k-p)) e supponiamo k<0 e p<0; la funzione sarà asintoticamente stabile se e solo se:
k>p
Consideriamo la risposta armonica con un solo polo nell’origine W(ω)=1/jω il suo diagramma polare sarà il semiasse immaginario inferiore che al crescere di ω (da 0 a +inf.) viene percorso:
da -inf. a 0
Consideriamo la trasformata razionale F(s)=N(s)/D(s). Si dicono poli le radici dell’equazione:
D(s)=0
Consideriamo un pendolo che oscilla in un piano verticale. Se l’ingresso assume un valore costante u(t)=ū=Mgl, possiamo avere un equilibrio in:
x1=π/2, x2=0, y=0
Consideriamo un pendolo che oscilla in un piano verticale. Se l’ingresso è pari a u(t)=ū=0, all’equilibrio e con n pari, il pendolo si troverà in:
posizione verticale con la massa in basso
Consideriamo un regolatore descritto dalla funzione di trasferimento R(s)=NR(s)/DR(s) con DR(0)=0 per via dell’azione integrale; nello schema a blocchi di desaturazione visto nel par. 3, il polinomio Γ(s) deve essere scelto in modo che sia:
(NR(s)/Γ(s)) > 0
Consideriamo un sistema canonico nonlineare indiretto. Supponiamo di voler determinare la matrice Q partendo dalla matrice C e supponiamo inoltre che la matrice A sia stabile e C definita positiva; in questo caso si ha che Q è:
definita positiva
Consideriamo un sistema lineare G(s) descritto come nel teorema 3.1 del par. 3 e che presenta tre poli p1=0, p2=-1, p3=-2; una volta collocato un tale G(s), dall’assoluta asintoticità nel controllo e nell’uscita dello schema:
non possiamo dedurre la stabilità asintotica dell’origine
Consideriamo un sistema nonlineare a controreazione con il blocco lineare stabile nell’uscita; se esiste un q∈ R tale che, per ogni ω∈ R+ sia R[(1+jωq)G(jω)] +(1/k)≥δ>0 per δ arbitrariamente piccolo, allora il sistema sarà
assolutamente asintotico, nel controllo e nell’uscita, nell’intervallo [0, k]
Consideriamo una f(t) nulla per t<0. L’esistenza della trasformata di Laplace implica l’esistenza di quella di Fourier, che può essere ottenuta da quella di Laplace ponendo s=jω, se l’ascissa di convergenza della prima è pari a:
σ < 0
Consideriamo una generica funzione di trasferimento G(s); analizzando i contributi al diagramma di Nichols dei singoli fattori, si ha che il diagramma del monomio G(jω)=(jω)q è:
una retta parallela all’asse delle ordinate con ascissa pari a -q(π/2)
Consideriamo una L(s) definita da L(s)=k/((s+1)(s+2)); applicando la formula di arg(DL(s)), abbiamo che un punto appartiene al luogo diretto delle radici di L(s), per qualche ν intero, se e solo se:
-η1-η2=(2ν+1)180°
Consideriamo uno schema a blocchi come quello visto nel par. 3, con un disturbo, accessibile alle misure, che vi entra avalle del processo da controllare; per annullare l’effetto del disturbo dovremmo avere:
M(s) = -H(s)G(s)-1
Costituisce oggetto della teoria dei sistemi
lo studio di specifiche proprietà dei sistemi quali, ad esempio, la stabilità, la
controllabilità e l’osservabilità
Dai diagrammi di Bode della rete anticipatrice si vede che questa provoca un anticipo di fase, che raggiunge il massimo quando ω è pari a:
1/((√ε)θ)
Dal teorema 2.2, per costruire la matrice tr selezioniamo nr colonne indipendenti da Mr e poi altre n-nr colonne scelte in modo arbitrario, ma tali che:
det(tr^-1)≠0
Dalla definizione di “cerchio” vista nel par. 2, si ha che se [k1, k2]-1 è un’intervallo finito, allora la porzione del piano complesso σ[k1, k2] delimitata dalla circonferenza con centro sull’asse reale e passante per i punti (-1/k1, 0), (-1/k2, 0), e che contiene l’insieme [k1, k2]-1, è:
un cerchio con diametro coincidente con [k1, k2]-1
Data una C-1 definita positiva, la condizione che Lefschetz ha introdotto affinché la funzione V(x,ε) vista nel par. 3 sia una funzione di Ljapunov per il sistema nonlineare indiretto è:
h > (1/β)g^TC^-1g
Data una funzione di trasferimento con q=0, si ha y(0)=0 se:
m’+2m’’
Data una funzione di trasferimento L(s), il suo diagramma di Nyquist è definito come la curva tracciata da L(s) sul piano complesso, al variare di s lungo un percorso chiuso costituito dall’asse immaginario, da -inf. a +inf., e da:
una circonferenza di raggio infinito, collocata sul semipiano destro che collega il punto (0, j∞) del piano a quello (0, -j∞)
Data una funzione di trasferimento, la somma dei residui W(s)/bm è pari a 1 se:
n=m+1
Data una risposta armonica, la sua fase si ottiene come:
somma, o sottrazione, delle fasi dei suoi fattori
Date due funzioni reali f, g su (0, +inf.), con a, b complessi, si ha L(af(t)+bg(t))=aF(s)+bG(s). Questa proprietà viene detta:
linearità
Date le matrici A, B, e un insieme arbitrario Λ di numeri reali o complessi e coniugati a coppie, esiste una matrice K tale che gli autovalori di F=A+BK coincidono con gli elementi di Λ se e solo se la coppia (A, B) è:
completamente raggiungibile
Date le matrici A, C, e un insieme arbitrario Λ di numeri reali o complessi e coniugati a coppie, esiste una matrice H tale che gli autovalori di N = A+HC coincidano con gli elementi di Λ se e solo se la coppia (A,C) è:
completamente osservabile
Dato un insieme aperto K ⊆ Rkn, con zero appartenente all’insieme K, una funzione V:K→R si dice definita positiva se:
V(0)=0 e V(x)>0, per ogni x appartenente a K
Dato un intervallo [k1, k2], condizione necessaria per la stabilità assoluta nello stesso intervallo del sistema, con la funzione φ ristretta all’insieme Φl[k1, k2], è che il numero di giri che il diagramma di Nyquist di L(jω) compie in senso antiorario attorno all’insieme [k1, k2]-1 sia ben definito e pari:
al numero di poli con parte reale positiva di L(s)
Dato un sistema del tipo x͘(t)=f(x(t)) con f:Rn→Rn, se esiste una funzione V(x) con V(0)=0, con derivate parziali prime continue in un intorno dell’origine, nel quale la stessa funzione è indefinita negativa, e con la sua derivata lungo il moto definita positiva, allora il sistema è:
instabile
Dato un sistema rappresentato dal modello ingresso-stato-uscita, si definisce risposta armonica, per ω reale non negativa, la funzione:
W(ω)=C(jωI-A)-1B+D
Dato uno spazio di stato bidimensionale nonlineare, si definisce suo ciclo limite asintoticamente stabile una curva chiusa C sullo spazio di stato che rispetta la proprietà:
tutte le traiettorie con stato iniziale arbitrariamente prossimo a C convergono a C per t che tende a infinito
Detta omax la soglia di saturazione dell’attuatore, e supponendo unitario il guadagno dello stesso, avremo che o(t) = c(t) per:
|c(t)| ≤ omax
Dopo aver applicato la tecnica dello spostamento dei poli nel sistema canonico nonlineare, mantenendo lo stesso andamento per l’errore ε(t), la variabile di ingresso u(t) ‘vede’ il sistema attraverso la funzione di trasferimento:
1/(1+aG(s))
Dopo un tempo sufficientemente maggiore delle costanti di tempo di un sistema, la differenza tra il comportamento desiderato della sua uscita e quello effettivamente riscontrato, può essere assunta come misura:
della fedeltà di risposta del sistema
Dove fosse necessario trasferire il segnale di riferimento u(t) dal suo supporto fisico in un altro supporto, compatibile peressere confrontato con il segnale proveniente dall’uscita y(t), il blocco T(s), visto nella schema del par. 1, può assumere il ruolodi
trasduttore
E’ possibile costruire blocchi di Jordan
sia nel caso di autovalori reali sia in quello di autovalori complessi e coniugati
Entrambe le risposte, libera e forzata, sono formate da
combinazioni lineari di:
modi
Esplorando il piano complesso, è possibile costruire il luogo delle radici diretto come il luogo dei punti s del piano per i quali la sommatoria (da i=1 a m) di εi meno la sommatoria (da i=1 a m) di ηi è:
un multiplo dispari di 180°
Funzioni di trasferimento che legano i segnali provenienti dall’esterno con quelli dipendenti dal funzionamento del sistema stesso sono dette:
funzioni di sensitività
Gli autovalori che non coincidono con i poli di W(s) sono associati a parti ‘nascoste’ del sistema che:
non influenzano il legame ingresso-uscita
Gli autovalori che non sono poli della funzione di trasferimento appartengono alla parte
non raggiungibile o non osservabile
Gli autovalori si dicono dominanti quando nell’espressione del transitorio:
il loro contributo risulta più importante rispetto agli altri autovalori
Gli autovettori generalizzati appartenenti alla stessa stringa sono:
indipendenti tra di loro sempre
Gli scalari ζi=-αi/γi e ξi=-σi/δi, in modulo minori di uno, vengono detti:
smorzamenti delle coppie complesse e coniugate di zeri o poli alle quali si riferiscono
Gli stati di equilibrio x ̅, se esistono, devono costituire soluzione costante nel tempo dell’equazione:
0=f(x ̅, ū)
I criteri relativi alla funzione nonlineare φ suppongono che questa non sia necessariamente nota in dettaglio, ma che sia:
limitata superiormente e inferiormente da due rette passanti per l’origine
I diagrammi di Nichols sono caratterizzati da una proprietà che permette di comporre i diagrammi di più sistemi in cascata per analizzare più agevolmente il comportamento del sistema complessivo per piccole variazioni di ω, che viene detta:
sommabilità
I margini di fase e di guadagno di un sistema a controreazione sono dati dalle intercette, rispettivamente sull’asse delle ascisse e sull’asse delle ordinate del diagramma di Nichols per la funzione di trasferimento a catena diretta, collocando l’incrocio di tali assi del piano fase-modulo nel punto:
(-180°, 0)
I modi di un sistema nel caso in cui gli autovalori di A non sono tutti reali e distinti, vengono detti:
pseudoperiodici
I movimenti dello stato costanti ottenuti applicando a un sistema descritto dalle equazioni ingresso-stato-uscita un ingresso costante, sono detti:
stati di equilibrio
I primi addendi sulla formula di Lagrange prendono il nome di:
risposta libera
I rami che tendono all’infinito sono asintotici all’asse reale, o a rette che tagliano l’asse reale nell’ascissa xa, che viene detta:
baricentro del luogo
I rami partono, per k=0, dai poli della funzione di trasferimento a ciclo aperto L(s) e, al divergere di |k|, m per il tracciato diretto e m per il tracciato inverso convergono agli zeri, mentre i restanti (n-m) per ciascun tracciato:
divergono verso l’infinito
I regimi canonici permettono di
calcolare l’uscita corrispondente a una qualsiasi funzione di ingresso
I regolatori lineari più usati in ambito industriale sono i regolatori PID, cioè ad azione:
proporzionale, integrale e derivativa
I regolatori PID sono da considerarsi sistemi lineari:
SISO, stazionari, impropri
I rilevamenti Auditel forniscono:
dati in percentuale sull’ascolto televisivo italiano
I SERVOMECCANISMI sono:
sistemi di controllo automatico di grandezze meccaniche
I sistemi dinamici, nell’elaborazione e trasmissione delle varie componenti in frequenza di un segnale, si comportano come filtri che possono:
innalzare o abbassare le singole componenti armoniche, in modulo e fase
I sistemi dotati di una sola variabile di ingresso e una sola di uscita sono detti:
monovariabili
I sistemi in cui diminuendo il guadagno a catena aperta c’è il rischio di cadere in una situazione di instabilità vengono detti:
a stabilità condizionata
Idealmente, nello schema a blocchi visto nel par. 2, al fine di avere Y(s)=U(s), dovremmo effettuare la scelta:
T~(s) = G(s)-1
Il blocco T(s) consente di modificare la funzione di trasferimento tra u(t) e c(t) per:
ridurre la sollecitazione sulla variabile di controllo
Il coefficiente k, reale, presente nella funzione di trasferimento espressa come rapporto di prodotti di zeri e di prodotti di poli, prende il nome di:
coefficiente di guadagno
Il contributo di Ljapunov alla teoria della stabilità per sistemi nonlineari parte dall’osservazione che in un sistema fisico il suo stato convergerà verso un qualche punto di equilibrio se l’energia totale:
diminuisce monotonicamente
Il contributo di un polo alla risposta forzata scomparirà lentamente se la sua costante di tempo è:
elevata
Il controllo a catena chiusa risulta:
in generale più efficiente di quello a catena aperta
Il controllo della posizione di un timone in una nave deve essere effettuato necessariamente da un dispositivo opportunamente progettato perché:
è necessario disporre di un livello di potenza elevato che soltanto il pilota non
può garantire
Il criterio del cerchio visto nel teorema 4.1 ritrova come caso particolare il teorema di Popov se:
a=0 e b=k
Il criterio di Kharitonov riduce la stabilità di un sistema incerto, qualunque sia l’ordine del sistema stesso, a quella di:
4 sistemi perfettamente noti
Il criterio di Michailov si basa su
una rappresentazione grafica del polinomio
Il diagramma del binomio G(jω)=(1+jθω), quando questo si trova a denominatore di G(s), per un polo reale positivo, è lo stesso di quello per un polo reale negativo, ma ribaltato rispetto:
all’asse verticale in 0°
Il diagramma del modulo di Wd3,i(ω), nel caso in cui |ξ|<(1/√2)≈0,707), resenterà un massimo chiamato:
picco di risonanza
Il diagramma della fase di W1(ω) è una retta parallela all’asse delle ascisse ω con ordinata pari a -q90°. Si dice pertanto che poli nell’origine producono:
un ritardo di fase
Il diagramma polare della risposta con un solo polo nell’origine può essere visto come ‘limite’ di quello che si riferisce alla risposta con un solo polo W(ω)=k/(jω-p) con:
p=-1/k e k che tende a +inf.
Il fatto che la derivata dell’esponenziale coincide con l’esponenziale stessa, fa si che tale funzione sia la soluzione:
del problema differenziale lineare del primo ordine
Il fenomeno per cui, al raggiungimento del limite del segnale di ingresso al processo sotto controllo, anche se e(t) cambia di segno si deve comunque attendere che lo stato c(t) del regolatore torni sotto un certo livello prima che l’attuatore possa riprendere il suo funzionamento in zona non di saturazione, viene detto:
carica integrale
Il gradino, nel senso delle distribuzioni, è:
l’integrale dell’impulso
Il limite di Δε(t), per ε che tende a 0, prende il nome di:
impulso
Il luogo del piano complesso percorso da una delle radici dell’equazione caratteristica, quando k varia da 0 a +inf. per il luogo diretto, o da -inf. a 0 per il luogo inverso, viene detto:
ramo del luogo delle radici
Il luogo inverso è la parte del luogo delle radici per:
k<0
Il margine di fase αL è definito, sulla base della fase critica φL, come:
αL=180°-φL
Il margine di guadagno kG, dove G(s) è il processo da controllare e kG<+inf., coincide con:
il guadagno critico
Il margine di stabilità vettoriale, mediante il quale si può valutare la robustezza della stabilità di un sistema, rappresenta la distanza ΔL tra:
il diagramma di Nyquist di L(s) e il punto (-1, 0)
Il metodo del luogo delle radici ha come obiettivo quello di individuare la posizione:
dei poli del sistema a ciclo chiuso
Il metodo di Ziegler e Nichols prevede di porre il processo in un ciclo chiuso, con un regolatore proporzionale P, e di aumentare il guadagno kp di quest’ultimo fino a quando il sistema risponde ad una variazione a gradino del segnale di riferimento u(t) con:
un’oscillazione permanente
Il modulo |F(ω)| della trasformata di Fourier prende il nome di:
spettro di ampiezza
Il nome di fase minima, per sistemi con guadagno positivo, discende dal fatto che poli con parte reale negativa generano una fase:
minore di quella di poli con parte reale positiva
Il numero di giri nL di un diagramma di Nyquist non è ben definito se quest’ultimo passa per il punto:
(-1,0)
Il paramentro τ=-(1/λ) prende il nome di:
costante di tempo
Il periodo di oscillazione TP è il tempo:
che intercorre tra i primi due massimi dell’uscita
Il polinomio caratteristico di un sistema, quando non ci sono cancellazioni tra numeratore e denominatore della funzione di trasferimento, coincide con:
il denominatore della funzione di trasferimento
Il polinomio caratteristico pA(λ)=λ(λ-1)4 ha due autovalori λ1=0 e λ2=1, con molteplicità algebrica μ1=1 e μ2=4. La molteplicità geometrica del primo autovalore sarà pari a:
1
Il polinomio caratteristico λ2+λ(h/m)+(k/m)=0 ha due radici reali negative se:
h2 ≥ 4km
Il polinomio p(jω) può essere considerato come il prodotto di n vettori sul piano complesso ciascuno con la base nella sua radice e il vertice in jω, quando:
λ percorre l’asse immaginario
Il polinomio p(λ)=λ(λ+(k/Ml2)) del sistema linearizzato del pendolo presenta una radice nulla e una negativa. Sulla base dei teoremi 3.1 e 3.2, possiamo dire che:
non abbiamo informazioni a sufficienza per stabilire la stabilità dello stato di equilibrio
Il primo passo da fare nella risoluzione del problema
dell’identificazione è
restringere la classe alla quale si suppome che il sistema possa appartenere
Il principio per cui il progetto della matrice di guadagno K della legge di controllo, e il progetto della matrice di guadagno dell’osservatore H possono essere condotti in modo indipendente l’uno dall’altro viene detto:
principio di separazione
Il procedimento di disaccoppiamento viene detto “in avanti” se:
procede dalla conoscenza della matrice di trasferimento G(s) all’individuazione del disaccoppiatore Δ(s)
Il procedimento per definire la struttura del regolatore G1(s), che parte da soluzioni semplici e successivamente le complica per soddisfare man mano ulteriori esigenze, viene detto:
sintesi per tentativi
Il requisito fondamentale e più importante richiesto a un sistema di controllo è la:
stabilità
Il segno degli zeri o dei poli di una risposta armonica ha influenza
solo sul diagramma della fase
Il sistema
x(t)= Ac x(t) + Bc u(t)
y(t)= Cc x(t) + Dc u(t) prende il nome di:
forma compagna di controllore
Il sistema descritto per il circuito elettrico dell’esempio 1 è:
asintoticamente stabile
Il sistema presentato nell’esempio, quando si assume y(t)=x2(t), risulta:
completamente osservabile
Il tempo di assestamento del sistema è il tempo necessario affinchè l’ampiezza dell’uscita rimanga entro il:
5% del valore limite
Il tempo di assestamento della risposta indiciale di un sistema del primo ordine con θ>0 è pari a:
-θln(0.01ε)
Il tempo di ritardo trè il tempo che occorre:
per raggiungere il 50% del valore di regime
Il teorema di Abel-Ruffini afferma che non risulta possibile la soluzione per radicali di un’equazione algebrica di grado:
superiore al quarto
Il termine greco “Kybernetikè” significa:
arte del pilota, del timoniere
Il terorema di Cayley-Hamilton ci dice che:
ogni matrice quadrata soddisfa la propria equazione caratteristica
Il valore di regime della risposta indiciale di un sistema del primo ordine asintoticamente stabile (θ>0) è pari:
al guadagno
Il valore di regime è:
il valore dell’uscita una volta esaurito il transitorio
In alcuni casi più semplici, è possibile ottenere la funzione di trasferimento trasformando direttamente con Laplace le equazioni del sistema ipotizzando:
u(0)=0 e y(0)=0
In generale la risposta forzata di un sistema dipende soltanto dalla sua parte:
raggiungibile e osservabile
In generale, per i sistemi canonici nonlineari, si potrebbero avere blocchi dove l’uscita assume soltanto un numero finito di valori, commutando dall’uno all’altro al passaggio dell’entrata attraverso determinate soglie; questi elementi vengono detti:
elementi non lineari da caratteristica
In presenza di due o più blocchi in serie, essi possono essere sostituiti da un unico blocco con funzione di trasferimento pari:
al prodotto di quelle dei singoli blocchi
In un sistema con controreazione dello stato, sono determinabili a piacimento gli autovalori della matrice F, che possono essere resi coincidenti con gli elementi corrispondenti di Λ, scegliendo in modo opportuno gli elementi della matrice:
K
In un sistema del secondo ordine con due poli complessi e coniugati, se σ<0, allora la risposta indiciale:
diverge
In un sistema di controllo, un disturbo è:
un ingresso non desiderato e non gestibile prima della sua entrata
In un sistema lineare e stazionario, l’effetto di una singola sinusoide può essere calcolato indipendentemente dalla presenza delle altre componenti, grazie:
al principio di sovrapposizione degli effetti
In un sistema puramente lineare le oscillazioni permanenti si realizzano soltanto se il sistema stesso ha:
poli con parte reale nulla
In un sistema SISO completamente raggiungibile, ma non in forma canonica, al fine di poter utilizzare la tecnica di assegnazione degli autovalori, è necessario individuare la trasformazione T sullo spazio di stato tale che le matrici:
A~=TAT-1 e B~=BT formino una coppia nella forma canonica di raggiungibilità
In uno schema a blocchi nonlineare canonico si parla di isteresi passiva se, per ε(t) (che rappresenta il blocco lineare) che si allontana dall’origine, la nonlinearità n(ε,t) è:
non superiore al valore assunto quando ε(t) si avvicina all’origine
In uno schema a blocchi, un cerchio con indicazione dei segnali in entrata e in uscita, è definito come:
nodo sommatore
In uno schema canonico nonlineare ‘indiretto’, a differenza di uno ‘diretto’, la nonlinearità viene inclusa in uno schema a controreazione che può svolgere anche funzioni di:
attuatore
Ingressi decomponibili in spettri di armoniche sinusoidali generano, in sistemi asintoticamente stabili, uscite:
con spettri di armoniche sinusoidali della stessa frequenza, ma con ampiezza e fase differenti
L’acronimo ARMA sta per
AutoRegressive Moving Average
L’algebra degli schemi a blocchi tiene conto:
solo del flusso di informazione tra blocchi
L’ampiezza di ingresso, in un sistema fisico che desideriamo identificare nella risposta armonica, deve:
essere di valore costante al variare di ω0 per tutta la durata della misura
L’analisi in frequenza dei modelli matematici e interpretativi di un sistema, consiste nell’esame del suo comportamento in presenza di ingressi di tipo:
sinusoidale
L’analogia di Firestone è utile per:
ricondurre la rappresentazione di sistemi meccanici a sistemi elettrici
L’andamento del diagramma di Bode di |S(jω)|, supponendo che risultino verificate su L(s) le condizioni di applicabilità del criterio di Bode, mostra l’aspetto tipico di:
un filtro passa-alto
L’applicazione del criterio di Liénard-Chipart comporta la verifica del segno di un numero di determinanti pari a circa:
la metà di quelli richiesti per il criterio di Hurwitz
L’eliminazione di una coppia polo-zero con valori delle costanti di tempo prossimi tra loro, o addirittura coincidenti, può causare problemi:
di stabilità, raggiungibilità e/o osservabilità
L’equazione caratteristica pA(λ)=λn+αn-1λn-1+…+α0 ammetterà
n radici che prendono il nome di
autovalori
L’equazione vr(t)=R*ir(t) descrive
il comportamento di un resistore
L’errore a regime er di un sistema, per un dato ingresso, è l’errore che:
permane una volta esaurito il transitorio
L’errore a regime, quando il numero q di poli nell’origine in G(s) è maggiore dell’indice i che identifica l’ingresso canonico, è pari a:
zero
L’estremo superiore dei coefficienti con i quali moltiplicare il guadagno di L(s) senza perdere l’asintotica stabilità per il modello W(s)=L(s)/(1+L(s)) a controreazione viene detto:
margine di guadagno
L’evoluzione di una dinamica libera associata ad un autovalore λi è forzata a rimanere nell’autospazio generato dal corrispettivo autovettore νi’. Questa espressione definisce:
la proprietà di invarianza degli autospazi
L’impiego di un regolatore puramente proporzionale nel metodo di Ziegler e Nichols non annulla l’errore a regime, ma lo riduce soltanto in funzione di:
1/kp
L’ingresso a parabola, per t ≥ 0, sarà pari a:
δ-3=(t2/2)
L’ingresso canonico a gradino è definito come:
δ-1(t)=0 per t < 0
δ-1(t)=1 per t ≥ 0
L’insieme [k1, k2]-1=(h ∈ R:(1/h) ∈ [k1, k2] -(0)) è costituito da una semiretta se:
k1=0 o k2=0
L’insieme dei coefficienti complessi Un presenti nella serie di Fourier costituisce:
lo spettro del segnale
L’ipotesi alla base del metodo della funzione descrittiva per accertare esistenza e parametri delle oscillazioni permanenti nel sistema canonico in esame è detta:
ipotesi dell’azione filtrante
L’obiettivo della tecnica di assegnazione degli autovalori è quello di progettare un regolatore in grado di:
ottenere che gli autovalori del sistema controreazionato abbiano valori prestabiliti
L’organo posto a valle del regolatore, con il compito di tradurre il segnale e(t) in uscita al regolatore stesso in uno, detto o(t), di caratteristiche fisiche e potenza adeguate al controllo del blocco successivo costituito dal processo, viene detto:
attuatore
L’origine del sistema x͘(t)=f(x(t)) con x(t0)=x0 è globalmente asintoticamente stabile se esiste una funzione di Ljapunov V(x) definita in Rn tale che:
V͘(x) sia definita negativa e V(x)→+inf. se |x|→+inf.
L’ultima riga della tabella di Routh ha un solo elemento β0, e si ha sempre:
β0= α0
L’unità di misura decibel (dB) è definita come:
|W(ω)|dB=20log(|W(ω)|)
La “metainformazione” è
l’informazione contenuta nel fatto che un dato messaggio viene trasmesso
La banda passante può essere definita come l’intervallo Ibp di pulsazioni individuato dalla relazione (nella quale si assume per F(s) un guadagno unitario):
(1/√(2))≤|F(jω)|≤(√(2)) per ogni ω appartenente a Ibp
La carta di Nichols:
consente sempre il passaggio inverso da W(ω) a L(ω)
La componente Qi della matrice di trasformazione Q che porta il sistema complesso in forma canonica di Jordan ha la seguente struttura:
Qi=[qr+jqi qr-jqi]
La condizione del teorema 1.1 è necessaria e sufficiente solo quando:
n=1 e n=2
La condizione fondamentale di equilibrio per sistemi termici è
che il flusso termico di calore entrante sia pari:
alla somma algebrica del flusso uscente e del flusso accumulato
La condizione necessaria e sufficiente del lemma di Kalman visto nel par. 1, scegliendo δ=(1/2)βATc e γ=(1/k)+βcTb e considerando solo la diseguaglianza stretta, equivale:
alla condizione di Popov
La congettura di Aizerman, riformulata con riferimento all’assoluta asintoticità nel controllo e nell’uscita, e a funzioni n a un solo valore e invarianti nel tempo, implica che il settore di Hurwitz:
coincida con il settore di Popov
La controreazione consente di raggiungere la stabilità asintotica del sistema complessivo controreazionato:
anche se alcuni singoli blocchi nello schema sono instabili
La controreazione di un sistema di controllo può essere spostata dall’uscita allo stato se e solo se quest’ultimo è:
misurabile
La coppia (A, C) è completamente osservabile se il rango della matrice di osservabilità M0 è pari a:
n
