controlli 1 Flashcards by Chiara Inzerillo

Il sistema nonlineare a controreazione visto nel par. 1 si dice asintotico di grado α nel controllo se per ogni condizione iniziale si ha:

eαtc(t) ∈ L2(0, inf.)

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Il verificarsi di un punto sul piano complesso che soddisfa l’equazione pseudocaratteristica corrisponde, per il relativo sistema canonico, a un’oscillazione permanente asintoticamente stabile se il prodotto scalare (t, n), con n normale alla tangente del diagramma polare di L(jω) e t tangente al tracciato di Λ(Ε), è:

negativo

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A fronte di un ingresso u(t) a gradino, si potrebbe desiderare di trasmettere all’entrata del nodo sommatore un segnale uf(t)con una dinamica meno veloce, così da ridurre le sollecitazioni sulla variabile di controllo c(t); questo può essere ottenutoassegnando a T(s) :

un polo reale negativo

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Abbiamo definito la funzione di sensitività come:

S(s)=1/(1+L(s))

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Abbiamo definito la funzione di sensitività del controllo come:

M(s)=G1(S)/(1+L(s))

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Abbiamo visto che L(s)=k/((s+1)3), con k>0, è asintoticamente stabile per k<8; se allora poniamo k=2, il margine di guadagno risulta pari a:

kL=4

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Affinché G(jω) rimanga fuori dal cerchio critico occorre che G ̂(jω) rimanga sulla destra, per ω=1, della tangente al cerchio critico nel punto:

(-1/b, 0)

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Affinché il sistema canonico sia compatibile con l’esistenza di oscillazioni permanenti, deve essere soddisfatta l’equazione di congruenza che, tenendo conto della compensazione delle fasi lungo il ciclo, equivale a:

1+L(jω)D(E)=0

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Affinché la pulsazione ωb possa costituire l’estremo superiore della banda passante Ibp, e cioè che il diagramma polare di L(jω) non sia prima entrato in C2, si vede che è necessario che per i margini di guadagno kL e di fase αL risulti:

kL ≥ (xQ)-1 e αL ≥ Φa

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Affinché le radici del polinomio caratteristico abbiano tutte parte reale negativa, va considerata la condizione necessaria che:

tutti i coefficienti del polinomio abbiano lo stesso segno

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Aggiungendo alle ipotesi del criterio di Bode anche che L(s) sia a fase minima, se l’andamento asintotico del diagramma del modulo all’atto dell’attraversamento dell’asse orizzontale con ordinata 0 dB ha una pendenza pari a -k, allora l’andamento asintotico del diagramma della fase, in coincidenza del suddetto attraversamento, assume il valore di:

-k90°

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Al crescere del grado del polinomio caratteristico, è più efficiente utilizzare:

il criterio di Routh

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Al fine di sostituire le operazioni di convoluzione (necessarie per rappresentare, nel dominio del tempo, le risposte dei sistemi lineari) con operazioni di prodotto, le grandezze che figurano negli schemi a blocchi sono da considerare mediante:

la loro trasformata di Laplace

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Al giorno d’oggi l’informazione

è una delle merci più preziose in circolazione

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Al variare dei coefficienti del polinomio caratteristico all’interno degli intervalli stabiliti, tutte le radici del polinomio stesso hanno parte reale negativa se e solo se i polinomi p1(λ), p2(λ), p3(λ). p4(λ) hanno:

tutte le radici con parte reale negativa

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All’inverso kd della funzione di controreazione istantanea viene attribuito il significato di costante di proporzionalità tra:

l’ingresso e l’uscita desiderata

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Applicando la tecnica dello spostamento degli zeri alla funzione G(s)=(s-4)/(s+2), con b=1, otteniamo:

Gb(s) = - 6/(s+2)

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Applicando la tecnica dello spostamento dei poli alla funzione G(s)=1/((s-1)(s+3)(s+4)) si ottiene:

Ga(s)=1/(s(s2+6s+5)+a-12)

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Attraverso il metodo di Krasowskii abbiamo visto che, per un sistema x͘(t)=f(x(t)) con x appartenente a Rn, una valida funzione di Ljapunov, per cui l’origine del sistema è globalmente asintoticamente stabile è:

V(x)=f^T(x)f(x)

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Attraverso lo stato il sistema può essere rappresentato mediante
una funzione φ di transizione dello stato e

una funzione η di uscita

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Comunicazione e controllo sono:

strettamente legate tra loro

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Con PROCESSO viene indicato:

l’impianto oggetto del controllo

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Condizione necessaria (ma non sufficiente) affinché tutte le radici dell’equazione caratteristica abbiano parte reale negativa, è che i coefficienti del polinomio caratteristico siano:

tutti strettamente positivi o strettamente negativi

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Condizione necessaria e sufficiente affinché tutte le radici dell’equazione caratteristica abbiano parte reale negativa è che:

tutti i determinanti di Hurwitz siano positivi

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Condizione necessaria e sufficiente per la stabilità asintotica del sistema a controreazione W(s)=L(s)/(1+L(s)) è che nL sia ben definito e che sia:

nL=pL

Condizione necessaria e sufficiente per la stabilità del sistema a retroazione positiva W(s)=L(s)/(1-L(s)) è che nL' sia ben definito e che sia:

nL'=pL

Condizione sufficiente affinché un sistema a controreazione unitaria, con funzione di trasferimento a catena diretta L(s) asintoticamente stabile, risulti asintoticamente stabile è che sia:

|L(jω)|<1 per ogni ω

Considerando la funzione di trasferimento a ciclo chiuso W(s)=L(s)/(1+L(s)), la sua stabilità asintotica si realizza se tutte le radici dell'equazione caratteristica del sistema 1+L(s) hanno:

parte reale negativa

Considerando nell'insieme i Teor. 2.1 e 2.2, si deduce che i casi sui quali non si può decidere nulla riguardo all'assoluta stabilità di un sistema canonico nonlineare, con riferimento ad un dato intervallo [k1, k2], sono quelli nei quali:

c'è un'intersezione tra il diagramma polare di L(jω) e il "cerchio" σ[k1, k2]

Consideriamo G1(s)=1/(s-a) e G2(s)=(s-a)/(s+1) con a≠-1, dove G1(s) è stabile per a<0, mentre G2(s) è stabile per ogni a. Eseguendo un collegamento in serie, si ha G(s)=1/(s+1), che è asintoticamente stabile:

se e solo se a<0

Consideriamo il blocco lineare G(s)=1/(s(s 2 +6s+5)) controreazionato da un guadagno statico con a=12 e applichiamo il teorema 4.1; la tangente al suo diagramma in (-1/30, 0) e con q=1,2 garantisce:

l'asintotica stabilità del sistema per una nonlinearità invariante nel tempo e a un solo valore nel settore (0, 30)

Consideriamo il sistema di controllo elastico a catena aperta. Nel caso in cui (h2/4m)<(k/m) gli autovalori saranno:

complessi

Consideriamo il sistema x͘(t)=Ax(t) e una funzione di Ljapunov V(x)=xTQx con Q simmetrica e definita positiva; posto ATQ+QA= -C si ha che se anche C è definita positiva, allora, per il teorema di Barbashin-Krasowskii, il sistema risulta:

globalmente asintoticamente stabile

Consideriamo il sistema x͘1(t)=ax12(t)+bx23(t) e x͘2(t)= -cx2(t)+dx13(t) con a, b, c, d>0 e la funzione di Ljapunov V(x)=x1-(1/2)x22; la funzione V(x) sarà positiva:

solo all'interno della parabola descritta da x1=(1/2)x2^2

Consideriamo la funzione di trasferimento W(s)=k/(s+(k-p)) e supponiamo k<0 e p<0; la funzione sarà asintoticamente stabile se e solo se:

k>p

Consideriamo la risposta armonica con un solo polo nell'origine W(ω)=1/jω il suo diagramma polare sarà il semiasse immaginario inferiore che al crescere di ω (da 0 a +inf.) viene percorso:

da -inf. a 0

Consideriamo la trasformata razionale F(s)=N(s)/D(s). Si dicono poli le radici dell'equazione:

D(s)=0

Consideriamo un pendolo che oscilla in un piano verticale. Se l'ingresso assume un valore costante u(t)=ū=Mgl, possiamo avere un equilibrio in:

x1=π/2, x2=0, y=0

Consideriamo un pendolo che oscilla in un piano verticale. Se l'ingresso è pari a u(t)=ū=0, all'equilibrio e con n pari, il pendolo si troverà in:

posizione verticale con la massa in basso

Consideriamo un regolatore descritto dalla funzione di trasferimento R(s)=NR(s)/DR(s) con DR(0)=0 per via dell'azione integrale; nello schema a blocchi di desaturazione visto nel par. 3, il polinomio Γ(s) deve essere scelto in modo che sia:

(NR(s)/Γ(s)) > 0

Consideriamo un sistema canonico nonlineare indiretto. Supponiamo di voler determinare la matrice Q partendo dalla matrice C e supponiamo inoltre che la matrice A sia stabile e C definita positiva; in questo caso si ha che Q è:

definita positiva

Consideriamo un sistema lineare G(s) descritto come nel teorema 3.1 del par. 3 e che presenta tre poli p1=0, p2=-1, p3=-2; una volta collocato un tale G(s), dall'assoluta asintoticità nel controllo e nell'uscita dello schema:

non possiamo dedurre la stabilità asintotica dell'origine

Consideriamo un sistema nonlineare a controreazione con il blocco lineare stabile nell'uscita; se esiste un q∈ R tale che, per ogni ω∈ R+ sia R[(1+jωq)G(jω)] +(1/k)≥δ>0 per δ arbitrariamente piccolo, allora il sistema sarà

assolutamente asintotico, nel controllo e nell'uscita, nell'intervallo [0, k]

Consideriamo una f(t) nulla per t<0. L'esistenza della trasformata di Laplace implica l'esistenza di quella di Fourier, che può essere ottenuta da quella di Laplace ponendo s=jω, se l'ascissa di convergenza della prima è pari a:

σ < 0

Consideriamo una generica funzione di trasferimento G(s); analizzando i contributi al diagramma di Nichols dei singoli fattori, si ha che il diagramma del monomio G(jω)=(jω)q è:

una retta parallela all'asse delle ordinate con ascissa pari a -q(π/2)

Consideriamo una L(s) definita da L(s)=k/((s+1)(s+2)); applicando la formula di arg(DL(s)), abbiamo che un punto appartiene al luogo diretto delle radici di L(s), per qualche ν intero, se e solo se:

-η1-η2=(2ν+1)180°

Consideriamo uno schema a blocchi come quello visto nel par. 3, con un disturbo, accessibile alle misure, che vi entra avalle del processo da controllare; per annullare l'effetto del disturbo dovremmo avere:

M(s) = -H(s)G(s)-1

Costituisce oggetto della teoria dei sistemi

lo studio di specifiche proprietà dei sistemi quali, ad esempio, la stabilità, la controllabilità e l'osservabilità

Dai diagrammi di Bode della rete anticipatrice si vede che questa provoca un anticipo di fase, che raggiunge il massimo quando ω è pari a:

1/((√ε)θ)

Dal teorema 2.2, per costruire la matrice tr selezioniamo nr colonne indipendenti da Mr e poi altre n-nr colonne scelte in modo arbitrario, ma tali che:

det(tr^-1)≠0

Dalla definizione di "cerchio" vista nel par. 2, si ha che se [k1, k2]-1 è un'intervallo finito, allora la porzione del piano complesso σ[k1, k2] delimitata dalla circonferenza con centro sull'asse reale e passante per i punti (-1/k1, 0), (-1/k2, 0), e che contiene l'insieme [k1, k2]-1, è:

un cerchio con diametro coincidente con [k1, k2]-1

Data una C-1 definita positiva, la condizione che Lefschetz ha introdotto affinché la funzione V(x,ε) vista nel par. 3 sia una funzione di Ljapunov per il sistema nonlineare indiretto è:

h > (1/β)g^TC^-1g

Data una funzione di trasferimento con q=0, si ha y(0)=0 se:

m'+2m''

Data una funzione di trasferimento L(s), il suo diagramma di Nyquist è definito come la curva tracciata da L(s) sul piano complesso, al variare di s lungo un percorso chiuso costituito dall'asse immaginario, da -inf. a +inf., e da:

una circonferenza di raggio infinito, collocata sul semipiano destro che collega il punto (0, j∞) del piano a quello (0, -j∞)

Data una funzione di trasferimento, la somma dei residui W(s)/bm è pari a 1 se:

n=m+1

Data una risposta armonica, la sua fase si ottiene come:

somma, o sottrazione, delle fasi dei suoi fattori

Date due funzioni reali f, g su (0, +inf.), con a, b complessi, si ha L(af(t)+bg(t))=aF(s)+bG(s). Questa proprietà viene detta:

linearità

Date le matrici A, B, e un insieme arbitrario Λ di numeri reali o complessi e coniugati a coppie, esiste una matrice K tale che gli autovalori di F=A+BK coincidono con gli elementi di Λ se e solo se la coppia (A, B) è:

completamente raggiungibile

Date le matrici A, C, e un insieme arbitrario Λ di numeri reali o complessi e coniugati a coppie, esiste una matrice H tale che gli autovalori di N = A+HC coincidano con gli elementi di Λ se e solo se la coppia (A,C) è:

completamente osservabile

Dato un insieme aperto K ⊆ Rkn, con zero appartenente all'insieme K, una funzione V:K→R si dice definita positiva se:

V(0)=0 e V(x)>0, per ogni x appartenente a K𕟀

Dato un intervallo [k1, k2], condizione necessaria per la stabilità assoluta nello stesso intervallo del sistema, con la funzione φ ristretta all'insieme Φl[k1, k2], è che il numero di giri che il diagramma di Nyquist di L(jω) compie in senso antiorario attorno all'insieme [k1, k2]-1 sia ben definito e pari:

al numero di poli con parte reale positiva di L(s)

Dato un sistema del tipo x͘(t)=f(x(t)) con f:Rn→Rn, se esiste una funzione V(x) con V(0)=0, con derivate parziali prime continue in un intorno dell'origine, nel quale la stessa funzione è indefinita negativa, e con la sua derivata lungo il moto definita positiva, allora il sistema è:

instabile

Dato un sistema rappresentato dal modello ingresso-stato-uscita, si definisce risposta armonica, per ω reale non negativa, la funzione:

W(ω)=C(jωI-A)-1B+D

Dato uno spazio di stato bidimensionale nonlineare, si definisce suo ciclo limite asintoticamente stabile una curva chiusa C sullo spazio di stato che rispetta la proprietà:

tutte le traiettorie con stato iniziale arbitrariamente prossimo a C convergono a C per t che tende a infinito

Detta omax la soglia di saturazione dell'attuatore, e supponendo unitario il guadagno dello stesso, avremo che o(t) = c(t) per:

|c(t)| ≤ omax

Dopo aver applicato la tecnica dello spostamento dei poli nel sistema canonico nonlineare, mantenendo lo stesso andamento per l'errore ε(t), la variabile di ingresso u(t) 'vede' il sistema attraverso la funzione di trasferimento:

1/(1+aG(s))

Dopo un tempo sufficientemente maggiore delle costanti di tempo di un sistema, la differenza tra il comportamento desiderato della sua uscita e quello effettivamente riscontrato, può essere assunta come misura:

della fedeltà di risposta del sistema

Dove fosse necessario trasferire il segnale di riferimento u(t) dal suo supporto fisico in un altro supporto, compatibile peressere confrontato con il segnale proveniente dall'uscita y(t), il blocco T(s), visto nella schema del par. 1, può assumere il ruolodi

trasduttore

E' possibile costruire blocchi di Jordan

sia nel caso di autovalori reali sia in quello di autovalori complessi e coniugati

Entrambe le risposte, libera e forzata, sono formate da combinazioni lineari di:

modi

Esplorando il piano complesso, è possibile costruire il luogo delle radici diretto come il luogo dei punti s del piano per i quali la sommatoria (da i=1 a m) di εi meno la sommatoria (da i=1 a m) di ηi è:

un multiplo dispari di 180°

Funzioni di trasferimento che legano i segnali provenienti dall'esterno con quelli dipendenti dal funzionamento del sistema stesso sono dette:

funzioni di sensitività

Gli autovalori che non coincidono con i poli di W(s) sono associati a parti 'nascoste' del sistema che:

non influenzano il legame ingresso-uscita

Gli autovalori che non sono poli della funzione di trasferimento appartengono alla parte

non raggiungibile o non osservabile

Gli autovalori si dicono dominanti quando nell'espressione del transitorio:

il loro contributo risulta più importante rispetto agli altri autovalori

Gli autovettori generalizzati appartenenti alla stessa stringa sono:

indipendenti tra di loro sempre

Gli scalari ζi=-αi/γi e ξi=-σi/δi, in modulo minori di uno, vengono detti:

smorzamenti delle coppie complesse e coniugate di zeri o poli alle quali si riferiscono

Gli stati di equilibrio x ̅, se esistono, devono costituire soluzione costante nel tempo dell'equazione:

0=f(x ̅, ū)

I criteri relativi alla funzione nonlineare φ suppongono che questa non sia necessariamente nota in dettaglio, ma che sia:

limitata superiormente e inferiormente da due rette passanti per l'origine

I diagrammi di Nichols sono caratterizzati da una proprietà che permette di comporre i diagrammi di più sistemi in cascata per analizzare più agevolmente il comportamento del sistema complessivo per piccole variazioni di ω, che viene detta:

sommabilità

I margini di fase e di guadagno di un sistema a controreazione sono dati dalle intercette, rispettivamente sull'asse delle ascisse e sull'asse delle ordinate del diagramma di Nichols per la funzione di trasferimento a catena diretta, collocando l'incrocio di tali assi del piano fase-modulo nel punto:

(-180°, 0)

I modi di un sistema nel caso in cui gli autovalori di A non sono tutti reali e distinti, vengono detti:

pseudoperiodici

I movimenti dello stato costanti ottenuti applicando a un sistema descritto dalle equazioni ingresso-stato-uscita un ingresso costante, sono detti:

stati di equilibrio

I primi addendi sulla formula di Lagrange prendono il nome di:

risposta libera

I rami che tendono all'infinito sono asintotici all'asse reale, o a rette che tagliano l'asse reale nell'ascissa xa, che viene detta:

baricentro del luogo

I rami partono, per k=0, dai poli della funzione di trasferimento a ciclo aperto L(s) e, al divergere di |k|, m per il tracciato diretto e m per il tracciato inverso convergono agli zeri, mentre i restanti (n-m) per ciascun tracciato:

divergono verso l'infinito

I regimi canonici permettono di

calcolare l'uscita corrispondente a una qualsiasi funzione di ingresso

I regolatori lineari più usati in ambito industriale sono i regolatori PID, cioè ad azione:

proporzionale, integrale e derivativa

I regolatori PID sono da considerarsi sistemi lineari:

SISO, stazionari, impropri

I rilevamenti Auditel forniscono:

dati in percentuale sull'ascolto televisivo italiano

I SERVOMECCANISMI sono:

sistemi di controllo automatico di grandezze meccaniche

I sistemi dinamici, nell'elaborazione e trasmissione delle varie componenti in frequenza di un segnale, si comportano come filtri che possono:

innalzare o abbassare le singole componenti armoniche, in modulo e fase

I sistemi dotati di una sola variabile di ingresso e una sola di uscita sono detti:

monovariabili

I sistemi in cui diminuendo il guadagno a catena aperta c'è il rischio di cadere in una situazione di instabilità vengono detti:

a stabilità condizionata

Idealmente, nello schema a blocchi visto nel par. 2, al fine di avere Y(s)=U(s), dovremmo effettuare la scelta:

T~(s) = G(s)-1

Il blocco T(s) consente di modificare la funzione di trasferimento tra u(t) e c(t) per:

ridurre la sollecitazione sulla variabile di controllo

Il coefficiente k, reale, presente nella funzione di trasferimento espressa come rapporto di prodotti di zeri e di prodotti di poli, prende il nome di:

coefficiente di guadagno

Il contributo di Ljapunov alla teoria della stabilità per sistemi nonlineari parte dall'osservazione che in un sistema fisico il suo stato convergerà verso un qualche punto di equilibrio se l'energia totale:

diminuisce monotonicamente

Il contributo di un polo alla risposta forzata scomparirà lentamente se la sua costante di tempo è:

elevata

Il controllo a catena chiusa risulta:

in generale più efficiente di quello a catena aperta

Il controllo della posizione di un timone in una nave deve essere effettuato necessariamente da un dispositivo opportunamente progettato perché:

è necessario disporre di un livello di potenza elevato che soltanto il pilota non può garantire

Il criterio del cerchio visto nel teorema 4.1 ritrova come caso particolare il teorema di Popov se:

a=0 e b=k

Il criterio di Kharitonov riduce la stabilità di un sistema incerto, qualunque sia l'ordine del sistema stesso, a quella di:

4 sistemi perfettamente noti

Il criterio di Michailov si basa su

una rappresentazione grafica del polinomio

Il diagramma del binomio G(jω)=(1+jθω), quando questo si trova a denominatore di G(s), per un polo reale positivo, è lo stesso di quello per un polo reale negativo, ma ribaltato rispetto:

all'asse verticale in 0°

Il diagramma del modulo di Wd3,i(ω), nel caso in cui |ξ|<(1/√2)≈0,707), resenterà un massimo chiamato:

picco di risonanza

Il diagramma della fase di W1(ω) è una retta parallela all'asse delle ascisse ω con ordinata pari a -q90°. Si dice pertanto che poli nell'origine producono:

un ritardo di fase

Il diagramma polare della risposta con un solo polo nell'origine può essere visto come 'limite' di quello che si riferisce alla risposta con un solo polo W(ω)=k/(jω-p) con:

p=-1/k e k che tende a +inf.

Il fatto che la derivata dell'esponenziale coincide con l'esponenziale stessa, fa si che tale funzione sia la soluzione:

del problema differenziale lineare del primo ordine

Il fenomeno per cui, al raggiungimento del limite del segnale di ingresso al processo sotto controllo, anche se e(t) cambia di segno si deve comunque attendere che lo stato c(t) del regolatore torni sotto un certo livello prima che l'attuatore possa riprendere il suo funzionamento in zona non di saturazione, viene detto:

carica integrale

Il gradino, nel senso delle distribuzioni, è:

l'integrale dell'impulso

Il limite di Δε(t), per ε che tende a 0, prende il nome di:

impulso

Il luogo del piano complesso percorso da una delle radici dell'equazione caratteristica, quando k varia da 0 a +inf. per il luogo diretto, o da -inf. a 0 per il luogo inverso, viene detto:

ramo del luogo delle radici

Il luogo inverso è la parte del luogo delle radici per:

k<0

Il margine di fase αL è definito, sulla base della fase critica φL, come:

αL=180°-φL

Il margine di guadagno kG, dove G(s) è il processo da controllare e kG<+inf., coincide con:

il guadagno critico

Il margine di stabilità vettoriale, mediante il quale si può valutare la robustezza della stabilità di un sistema, rappresenta la distanza ΔL tra:

il diagramma di Nyquist di L(s) e il punto (-1, 0)

Il metodo del luogo delle radici ha come obiettivo quello di individuare la posizione:

dei poli del sistema a ciclo chiuso

Il metodo di Ziegler e Nichols prevede di porre il processo in un ciclo chiuso, con un regolatore proporzionale P, e di aumentare il guadagno kp di quest'ultimo fino a quando il sistema risponde ad una variazione a gradino del segnale di riferimento u(t) con:

un'oscillazione permanente

Il modulo |F(ω)| della trasformata di Fourier prende il nome di:

spettro di ampiezza

Il nome di fase minima, per sistemi con guadagno positivo, discende dal fatto che poli con parte reale negativa generano una fase:

minore di quella di poli con parte reale positiva

Il numero di giri nL di un diagramma di Nyquist non è ben definito se quest'ultimo passa per il punto:

(-1,0)

Il paramentro τ=-(1/λ) prende il nome di:

costante di tempo

Il periodo di oscillazione TP è il tempo:

che intercorre tra i primi due massimi dell'uscita

Il polinomio caratteristico di un sistema, quando non ci sono cancellazioni tra numeratore e denominatore della funzione di trasferimento, coincide con:

il denominatore della funzione di trasferimento

Il polinomio caratteristico pA(λ)=λ(λ-1)4 ha due autovalori λ1=0 e λ2=1, con molteplicità algebrica μ1=1 e μ2=4. La molteplicità geometrica del primo autovalore sarà pari a:

Il polinomio caratteristico λ2+λ(h/m)+(k/m)=0 ha due radici reali negative se:

h2 ≥ 4km

Il polinomio p(jω) può essere considerato come il prodotto di n vettori sul piano complesso ciascuno con la base nella sua radice e il vertice in jω, quando:

λ percorre l'asse immaginario

Il polinomio p(λ)=λ(λ+(k/Ml2)) del sistema linearizzato del pendolo presenta una radice nulla e una negativa. Sulla base dei teoremi 3.1 e 3.2, possiamo dire che:

non abbiamo informazioni a sufficienza per stabilire la stabilità dello stato di equilibrio

Il primo passo da fare nella risoluzione del problema dell'identificazione è

restringere la classe alla quale si suppome che il sistema possa appartenere

Il principio per cui il progetto della matrice di guadagno K della legge di controllo, e il progetto della matrice di guadagno dell'osservatore H possono essere condotti in modo indipendente l'uno dall'altro viene detto:

principio di separazione

Il procedimento di disaccoppiamento viene detto "in avanti" se:

procede dalla conoscenza della matrice di trasferimento G(s) all'individuazione del disaccoppiatore Δ(s)

Il procedimento per definire la struttura del regolatore G1(s), che parte da soluzioni semplici e successivamente le complica per soddisfare man mano ulteriori esigenze, viene detto:

sintesi per tentativi

Il requisito fondamentale e più importante richiesto a un sistema di controllo è la:

stabilità

Il segno degli zeri o dei poli di una risposta armonica ha influenza

solo sul diagramma della fase

Il sistema x(t)= Ac x(t) + Bc u(t) y(t)= Cc x(t) + Dc u(t) prende il nome di:

forma compagna di controllore

Il sistema descritto per il circuito elettrico dell'esempio 1 è:

asintoticamente stabile

Il sistema presentato nell'esempio, quando si assume y(t)=x2(t), risulta:

completamente osservabile

Il tempo di assestamento del sistema è il tempo necessario affinchè l'ampiezza dell'uscita rimanga entro il:

5% del valore limite

Il tempo di assestamento della risposta indiciale di un sistema del primo ordine con θ>0 è pari a:

-θln(0.01ε)

Il tempo di ritardo trè il tempo che occorre:

per raggiungere il 50% del valore di regime

Il teorema di Abel-Ruffini afferma che non risulta possibile la soluzione per radicali di un'equazione algebrica di grado:

superiore al quarto

Il termine greco "Kybernetikè" significa:

arte del pilota, del timoniere

Il terorema di Cayley-Hamilton ci dice che:

ogni matrice quadrata soddisfa la propria equazione caratteristica

Il valore di regime della risposta indiciale di un sistema del primo ordine asintoticamente stabile (θ>0) è pari:

al guadagno

Il valore di regime è:

il valore dell'uscita una volta esaurito il transitorio

In alcuni casi più semplici, è possibile ottenere la funzione di trasferimento trasformando direttamente con Laplace le equazioni del sistema ipotizzando:

u(0)=0 e y(0)=0

In generale la risposta forzata di un sistema dipende soltanto dalla sua parte:

raggiungibile e osservabile

In generale, per i sistemi canonici nonlineari, si potrebbero avere blocchi dove l'uscita assume soltanto un numero finito di valori, commutando dall'uno all'altro al passaggio dell'entrata attraverso determinate soglie; questi elementi vengono detti:

elementi non lineari da caratteristica

In presenza di due o più blocchi in serie, essi possono essere sostituiti da un unico blocco con funzione di trasferimento pari:

al prodotto di quelle dei singoli blocchi

In un sistema con controreazione dello stato, sono determinabili a piacimento gli autovalori della matrice F, che possono essere resi coincidenti con gli elementi corrispondenti di Λ, scegliendo in modo opportuno gli elementi della matrice:

In un sistema del secondo ordine con due poli complessi e coniugati, se σ<0, allora la risposta indiciale:

diverge

In un sistema di controllo, un disturbo è:

un ingresso non desiderato e non gestibile prima della sua entrata

In un sistema lineare e stazionario, l'effetto di una singola sinusoide può essere calcolato indipendentemente dalla presenza delle altre componenti, grazie:

al principio di sovrapposizione degli effetti

In un sistema puramente lineare le oscillazioni permanenti si realizzano soltanto se il sistema stesso ha:

poli con parte reale nulla

In un sistema SISO completamente raggiungibile, ma non in forma canonica, al fine di poter utilizzare la tecnica di assegnazione degli autovalori, è necessario individuare la trasformazione T sullo spazio di stato tale che le matrici:

A~=TAT-1 e B~=BT formino una coppia nella forma canonica di raggiungibilità

In uno schema a blocchi nonlineare canonico si parla di isteresi passiva se, per ε(t) (che rappresenta il blocco lineare) che si allontana dall'origine, la nonlinearità n(ε,t) è:

non superiore al valore assunto quando ε(t) si avvicina all'origine

In uno schema a blocchi, un cerchio con indicazione dei segnali in entrata e in uscita, è definito come:

nodo sommatore

In uno schema canonico nonlineare 'indiretto', a differenza di uno 'diretto', la nonlinearità viene inclusa in uno schema a controreazione che può svolgere anche funzioni di:

attuatore

Ingressi decomponibili in spettri di armoniche sinusoidali generano, in sistemi asintoticamente stabili, uscite:

con spettri di armoniche sinusoidali della stessa frequenza, ma con ampiezza e fase differenti

L'acronimo ARMA sta per

AutoRegressive Moving Average

L'algebra degli schemi a blocchi tiene conto:

solo del flusso di informazione tra blocchi

L'ampiezza di ingresso, in un sistema fisico che desideriamo identificare nella risposta armonica, deve:

essere di valore costante al variare di ω0 per tutta la durata della misura

L'analisi in frequenza dei modelli matematici e interpretativi di un sistema, consiste nell'esame del suo comportamento in presenza di ingressi di tipo:

sinusoidale

L'analogia di Firestone è utile per:

ricondurre la rappresentazione di sistemi meccanici a sistemi elettrici

L'andamento del diagramma di Bode di |S(jω)|, supponendo che risultino verificate su L(s) le condizioni di applicabilità del criterio di Bode, mostra l'aspetto tipico di:

un filtro passa-alto

L'applicazione del criterio di Liénard-Chipart comporta la verifica del segno di un numero di determinanti pari a circa:

la metà di quelli richiesti per il criterio di Hurwitz

L'eliminazione di una coppia polo-zero con valori delle costanti di tempo prossimi tra loro, o addirittura coincidenti, può causare problemi:

di stabilità, raggiungibilità e/o osservabilità

L'equazione caratteristica pA(λ)=λn+αn-1λn-1+…+α0 ammetterà n radici che prendono il nome di

autovalori

L'equazione vr(t)=R*ir(t) descrive

il comportamento di un resistore

L'errore a regime er di un sistema, per un dato ingresso, è l'errore che:

permane una volta esaurito il transitorio

L'errore a regime, quando il numero q di poli nell'origine in G(s) è maggiore dell'indice i che identifica l'ingresso canonico, è pari a:

zero

L'estremo superiore dei coefficienti con i quali moltiplicare il guadagno di L(s) senza perdere l'asintotica stabilità per il modello W(s)=L(s)/(1+L(s)) a controreazione viene detto:

margine di guadagno

L'evoluzione di una dinamica libera associata ad un autovalore λi è forzata a rimanere nell'autospazio generato dal corrispettivo autovettore νi'. Questa espressione definisce:

la proprietà di invarianza degli autospazi

L'impiego di un regolatore puramente proporzionale nel metodo di Ziegler e Nichols non annulla l'errore a regime, ma lo riduce soltanto in funzione di:

1/kp

L'ingresso a parabola, per t ≥ 0, sarà pari a:

δ-3=(t2/2)

L'ingresso canonico a gradino è definito come:

δ-1(t)=0 per t < 0 δ-1(t)=1 per t ≥ 0

L'insieme [k1, k2]-1=(h ∈ R:(1/h) ∈ [k1, k2] -(0)) è costituito da una semiretta se:

k1=0 o k2=0

L'insieme dei coefficienti complessi Un presenti nella serie di Fourier costituisce:

lo spettro del segnale

L'ipotesi alla base del metodo della funzione descrittiva per accertare esistenza e parametri delle oscillazioni permanenti nel sistema canonico in esame è detta:

ipotesi dell'azione filtrante

L'obiettivo della tecnica di assegnazione degli autovalori è quello di progettare un regolatore in grado di:

ottenere che gli autovalori del sistema controreazionato abbiano valori prestabiliti

L'organo posto a valle del regolatore, con il compito di tradurre il segnale e(t) in uscita al regolatore stesso in uno, detto o(t), di caratteristiche fisiche e potenza adeguate al controllo del blocco successivo costituito dal processo, viene detto:

attuatore

L'origine del sistema x͘(t)=f(x(t)) con x(t0)=x0 è globalmente asintoticamente stabile se esiste una funzione di Ljapunov V(x) definita in Rn tale che:

V͘(x) sia definita negativa e V(x)→+inf. se |x|→+inf.

L'ultima riga della tabella di Routh ha un solo elemento β0, e si ha sempre:

β0= α0

L'unità di misura decibel (dB) è definita come:

|W(ω)|dB=20log(|W(ω)|)

La "metainformazione" è

l'informazione contenuta nel fatto che un dato messaggio viene trasmesso

La banda passante può essere definita come l'intervallo Ibp di pulsazioni individuato dalla relazione (nella quale si assume per F(s) un guadagno unitario):

(1/√(2))≤|F(jω)|≤(√(2)) per ogni ω appartenente a Ibp

La carta di Nichols:

consente sempre il passaggio inverso da W(ω) a L(ω)

La componente Qi della matrice di trasformazione Q che porta il sistema complesso in forma canonica di Jordan ha la seguente struttura:

Qi=[qr+jqi qr-jqi]

La condizione del teorema 1.1 è necessaria e sufficiente solo quando:

n=1 e n=2

La condizione fondamentale di equilibrio per sistemi termici è che il flusso termico di calore entrante sia pari:

alla somma algebrica del flusso uscente e del flusso accumulato

La condizione necessaria e sufficiente del lemma di Kalman visto nel par. 1, scegliendo δ=(1/2)βATc e γ=(1/k)+βcTb e considerando solo la diseguaglianza stretta, equivale:

alla condizione di Popov

La congettura di Aizerman, riformulata con riferimento all'assoluta asintoticità nel controllo e nell'uscita, e a funzioni n a un solo valore e invarianti nel tempo, implica che il settore di Hurwitz:

coincida con il settore di Popov

La controreazione consente di raggiungere la stabilità asintotica del sistema complessivo controreazionato:

anche se alcuni singoli blocchi nello schema sono instabili

La controreazione di un sistema di controllo può essere spostata dall'uscita allo stato se e solo se quest'ultimo è:

misurabile

La coppia (A, C) è completamente osservabile se il rango della matrice di osservabilità M0 è pari a:

La distribuzione di Dirac è nulla ovunque tranne che in

La durata del transitorio di un sistema SISO, a cui viene applicato un ingresso sinusoidale, dipende dalla dinamica propria del sistema e può essere valutata mediante:

il tempo di assestamento

La fase φ della funzione di trasferimento W(s), espressa in forma polare, può essere calcolata come:

arctan(Im(W(s))/Re(W(s)))

La forma canonica di Jordan risulta fondamentale quando:

La molteplicità algebrica degli autovalori della matrice A non è pari alla molteplicità geometrica dei loro autovettori indipendenti

La forma compagna di controllore e quella di osservatore sono

due rappresentazioni duali

La formula di trasformazione e quella di antitrasformazione stabiliscono una relazione biunivoca tra:

f in (0, inf.) e F

La formula M(s)=-H(s)G(s)-1 per essere realizzabile richiederebbe che:

H(s)G(s)-1 fosse propria e che G(s) avesse zeri a parte reale positiva o nulla

La forza controelettromotrice in un motore a corrente continua è proporzionale:

al prodotto tra il flusso magnetico indotto dallo statore e la velocità angolare del rotore

La funzione di sensitività complementare è definita come:

F(s)=L(s)/(1+L(s))

La funzione di sensitività del controllo, a parte i cambiamenti di segno, esprime l'effetto dei vari ingressi:

sulla variabile di controllo

La funzione di sensitività del controllo|M(jω)| dipende solo dalla dinamica del processo da controllare quando:

ω è minore o uguale alla pulsazione critica

La funzione di sensitività può rappresentare, nel caso dello schema a blocchi con intervento di disturbi visto, la funzione di trasferimento tra:

il disturbo D2(s) e l'uscita Y(s)

La funzione di trasferimento del sistema in presenza di condizioni iniziali nulle è descritta dalla formula matriciale:

W(s)=C(sI-A)-1B+D

La funzione di trasferimento mette in relazione tra loro le trasformate di Laplace:

delle variabili di ingresso e di uscita

La funzione w(t)=CeAtB prende il nome di:

nucleo risolvente

La legge di controllo è il legame tra:

l'errore e e la variabile di controllo c all'ingresso del processo

La linearizzazione dei sistemi non lineari è valida:

per sistemi SISO e MIMO

La matrice di trasformazione Q in grado di portare la matrice A nella forma canonica di Jordan sarà tale per cui:

J=Q-1AQ

La matrice H, presente nel sistema che definisce l'osservatore asintotico, prende il nome di:

matrice di guadagno dell'osservatore

La matrice K=(k0 k1 … kn-1) viene detta:

matrice di guadagno

La parte reale di F(ω) è una funzione pari, mentre quella immaginaria è una funzione dispari se:

f(t) è reale

La pendenza assunta dal diagramma asintotico del modulo per ω che tende a +inf., è sempre pari al grado relativo con il segno cambiato. Quindi la suddetta pendenza è nulla per sistemi:

propri

La presenza di parti non raggiungibili e/o non osservabili viene denunciata dal fatto che nel sistema complessivo il grado del denominatore della funzione di trasferimento è:

inferiore all'ordine del sistema stesso

La prima massima sovraelongazione della risposta indiciale di un sistema del secondo ordine con autovalori complessi e coniugati si ha per:

ts=(π/ω)

La proprietà di linearità fa si che la trasformata della funzione a1f1(t)+a2f2(t) sia:

a1F1(ω)+a2F2(ω)

La proprietà di osservabilità dipende integralmente dalla coppia di matrici:

(A, C)

La proprietà per cui 'piccole' variazioni delle condizioni iniziali hanno come conseguenze 'piccole' perturbazioni del movimento dello stato vene detta:

stabilità

La pulsazione critica è la pulsazione corrispondente all'attraversamento da parte del diagramma di Nyquist:

della circonferenza unitaria

La quasi-diagonalizzazione può essere utilizzata quando gli autovalori della matrice A:

non sono tutti reali

La rappresentazione come somma di rapporti di residui e poli consente di ottenere facilmente l'antitrasformata della funzione di trasferimento, che sappiamo essere:

la riposta impulsiva

La rappresentazione polare di un numero complesso s è:

ρejφ

La rete a sella è la struttura di un regolatore ad azione:

proporzionale, integrale e derivativa

La retta di Popov è definita dalla relazione:

R(l(ω)) = -(1/k)+ωqI(l(ω))

La ricerca per F(jω) di una pulsazione critica più alta della banda passante del processo, con lo scopo di migliori prestazioni dinamiche per il sistema di controllo complessivo, comporta:

una forte sollecitazione sulla variabile di controllo

La richiesta di informazioni

permette di influenzare e tentare di controllare l'ambiente al quale ci si rivolge

La risposta armonica coincide con la funzione di trasferimento W(s) ristretta:

al semiasse immaginario non negativo

La risposta armonica W(ω) viene rappresentata come la traiettoria sul piano complesso di un punto al variare di ω in [0, +inf.] nei:

diagrammi polari

La risposta di un qualsiasi sistema può essere ottenuta come combinazione lineare di:

sistemi elementari del primo e secondo ordine

La risposta forzata del sistema si ricava imponendo nelle formule di Lagrange:

x(t0)=0

La risposta impulsiva coincide con:

il nucleo risolvente

La risposta impulsiva di un sistema dinamico lineare stazionario coincide con la risposta impulsiva della sola sua parte:

raggiungibile e osservabile

La risposta impulsiva, per t che tende a infinito, di un sistema del primo ordine con λ<0:

decresce in modo monotono

La risposta indiciale di un sistema del secondo ordine con autovalori complessi e coniugati e con σ=0 presenta:

oscillazioni permanenti

La risposta indiciale è:

l'andamento temporale dell'uscita in corrispondenza di una brusca variazione in ingresso

La scelta delle variabili da comunicare al centro decisionale di controllo è legata

al tipo di controllo che si intende effettuare sul processo

La soluzione dell'equazione L(jω)=Λ(E) si trova nell'intersezione, sul piano complesso, del diagramma polare di L(jω), al variare di ω, con il tracciato di Λ(E)=-1/D(E), al variare di E, detto:

luogo dei punti critici

La somma dei poli a ciclo chiuso divisa per n non dipende da k ed è data dalla formula del baricentro del sistema a ciclo chiuso solo nel caso in cui:

n>m+1

La somma del numero delle righe dei νi blocchi di Jordan associati a un autovalore λi deve:

essere pari alla sua molteplicità algebrica

La statistica consente l'afflusso di informazione al centro di controllo:

in modo aggregato e solo nelle forme predisposte dal centro stesso

La struttura di un regolatore PID risponde a un'esigenza empirica, secondo la quale è opportuno che la variabile di controllo sia costituita dalla somma di tre contributi, uno dei quali proporzionale all'integrale dell'errore e, che ha lo scopo di:

annullare asintoticamente l'errore dovuto a segnali di riferimento, o di disturbo, costanti nel tempo

La tabella di Routh del polinomio pA(λ)=λ4+λ3+2λ2+2λ+5 sarà pari a:

4 1 2 5 3 1 2 2 0 5

La tecnica dello spostamento dei poli equivale all'attuazione di una controreazione locale, con guadagno a, al blocco lineare G(s) e consiste nel sostituire l'elemento nonlineare n(ε(t)) con:

na(ε(t))=c(t)-aε(t)

La trasformata di Fourier consente di interpretare le funzioni di una vasta classe come costituite da:

una somma di un'infinità non numerabile di armoniche

La trasformata di Fourier della funzione esponenziale f(t)=eσtδ-1(t) con σ>0:

non esiste

La trasformata di Fourier di f(t)=sen(ω0t) è pari a:

jπ(δ(ω+ω0)-δ(ω-ω0))

La trasformata di Laplace del gradino unitario δ-1 è pari a:

1/s

La trasformata di Laplace è definita mediante integrazione sull'intervallo temporale (0, +inf.), mentre quella di Fourier è definita sempre mediante integrazione, ma sull'intervallo temporale:

(-inf., +inf.)

Le equazioni utilizzate per scrivere il modello matematico relativo ad un sistema meccanico traslazionale fanno riferimento:

al principio dell'equilibrio di tutte le forze in gioco

Le formule che definiscono i parametri del regolatore PID, che assicura le specifiche desiderate sul margine di fase, sono ωG'Td-(1/(ωG'Ti))=tan(αL), Ti=4Td e:

kP=k¯Pcos(αL)

Le matrici A di due sistemi ottenuti mediante una trasformazione di coordinate sono legate dalla relazione

A'=T-1AT

Le proprietà di stabilità di uno schema a blocchi a controreazione dipendono soltanto:

dalla posizione, sul piano complesso, delle radici dell'equazione caratteristica della funzione di trasferimento a ciclo chiuso

Le proprietà di unicità, causalità e consistenza garantiscono che

valori dell'ingresso antecedenti alla rivelazione dello stato iniziale, o posteriori allo stato corrente, non influiscono sullo stato stesso

Le radici del polinomio caratteristico hanno tutte parte reale negativa se, quando ω varia da - a + infinito, il vettore corrispondente a p(jω) non passa con il suo vertice nell'origine e ha una variazione di fase pari a:

nπ

Le tecniche di sintesi nello spazio di stato, come ad esempio la tecnica di assegnazione degli autovalori, sono basate su modelli:

nel dominio del tempo

Le tematiche e le metodologie tradizionali dei sistemi di controllo possono:

essere applicate a diversi tipi di processi, come biologici, monetari e urbanistici

Linearizzando il sistema unidimensionale x͘(t)=kxm, con m=2, 3, …, attorno a un qualsiasi punto dell'asse reale si ottiene δx͘(t)=0, così che esso risulta un punto di equilibrio; si vede che il sistema è asintoticamente stabile per:

m dispari e k<0

Lo spostamento degli zeri per un sistema non lineare canonico è definito da εb(t)=ε(t)+bc(t), e la nuova funzione di trasferimento Gb(s) del blocco lineare risulta:

Gb(s)=G(s)-b

Lo stato di un sistema ci permette di:

determinare univocamente l'uscita del sistema rispetto all'ingresso in un determinato istante

Lo studio a regime di un sistema SISO a cui viene applicato un ingresso sinusoidale, è riconducibile allo studio di coppie di radici situate:

sull'asse immaginario

Mediante l'utilizzo di un controllore dinamico, si può dimostrare che, con i parametri in condizioni nominali, l'errore:

tende a zero sempre

Moltiplicare per s nel dominio della variabile complessa equivale a:

derivare nel dominio del tempo

Negli schemi di connessione a controreazione, i poli della funzione di trasferimento complessiva possono dipendere:

sia dai poli che dagli zeri dei blocchi connessi

Nei sistemi lineari è possibile calcolare la risposta generata da più cause come combinazione lineare delle risposte alle singole cause. Questa affermazione descrive:

il principio di sovrapposizione degli effetti

Nel calcolo di una funzione di trasferimento W(s) di un sistema dinamico, l'eventuale cancellazione di radici in comune tra numeratore e denominatore fa si che il numero dei poli sia:

inferiore a quello degli autovalori

Nel caso del pendolo con ingresso u(t)=ū=0, è nulla la variazione prima dell'energia totale del sistema, rispetto a perturbazioni delle altre variabili, perché:

C=0 e D=0

Nel caso di autovalori complessi e coniugati, i modi avranno andamenti temporali:

sinusoidali

Nel caso di autovalori multipli e complessi della matrice A, i movimenti liberi dello stato e dell'uscita saranno combinazioni lineari dei termini:

tkeσtsen(ωt+φ)

Nel caso di diagrammi di Nyquist più articolati, nei quali ad esempio vengono intersecati più volte il semiasse reale negativo o la circonferenza unitaria, per la valutazione dei margini di guadagno o di fase, andranno considerate:

le intersezioni meno favorevoli alla stabilità

Nel caso di evoluzione libera, lo stato

evolve a partire dal suo valore iniziale

Nel caso di osservatore asintotico con stato non misurabile, gli autovalori del sistema complessivo possono essere assegnati in modo arbitrario se il sistema originario è:

completamente raggiungibile e completamente osservabile

Nel caso di risposta indiciale, se poniamo ω=4 e facciamo variare σ,allora gli autovalori di un sistema del secondo ordine:

si muoveranno lungo due rette parallele all'asse reale, con ordinata pari a ± 4

Nel caso di sistemi del secondo ordine (o maggiore), la presenza di una sovraelongazione nella risposta indiciale è segno della presenza di:

uno zero negativo e di modulo minore dei poli

Nel caso di un filtro passa basso, l'intervallo di pulsazioni [0, ωb] viene detto:

banda passante

Nel caso di un sistema che faccia uso di controreazione dello stato anche quando lo stato stesso non è direttamente accessibile, per risolvere il problema dell'assegnazione arbitraria degli autovalori è conveniente scegliere gli autovalori associati alla dinamica dell'osservatore in modo che le loro costanti di tempo siano:

minori di quelle associate agli autovalori del sistema a ciclo chiuso

Nel caso di un sistema del secondo ordine asintoticamente stabile (σ>0) con due poli complessi e coniugati, gli istanti di stazionarietà della risposta indiciale possono essere ricavati ponendone a zero la derivata, e risultano esprimibili come:

tn=n(π/ω)

Nel caso di un sistema del secondo ordine con due poli complessi e coniugati, la sua risposta indiciale sarà data da l'antitrasformata della sua funzione di trasferimento moltiplicata per:

1/s

Nel caso di un sistema del secondo ordine con poli reali e distinti e uno zero tale che θ1>θ2>τ>0, se lo zero si allontana sempre più dall'origine del piano complesso, allora la risposta indiciale:

tende a quella di un sistema con gli stessi poli, ma senza lo zero

Nel caso di una funzione di trasferimento con poli complessi e coniugati, questi si sposteranno in un piano complesso lungo una circonferenza di raggio δial variare di ξi da -1 a 1. In particolare se ξi = 0 allora i poli saranno:

immaginari puri

Nel caso in cui i poli siamo distinti possiamo utilizzare la formula Ri=((s-pi)(NW(s)/DW(s))) per calcolare:

i residui separatamente per ciascun polo

Nel caso in cui non fosse sufficiente valutare la stabilità di un sistema solo attraverso il segno delle radici, ma fosse necessario valutare anche la robustezza della stabilità stessa, possiamo ricorrere:

al criterio di Nyquist

Nel caso in cui un sistema presenta gli autovalori di A tutti reali e distinti, il movimento libero dello stato e dell'uscita sarà caratterizzato dall'equazione:

x(t)=eΛ(t-t0)V-1x(t0)

Nel comportamento a regime di un sistema con controreazione dinamica, se G(s) è di tipo 1, l'errore a regime, per un ingresso a rampa, è pari a:

((kd)2/h)+kd(a1-b1)

Nel diagramma del modulo di Wd3,i(ω), se ξi=0, allora ωr,i=δi e il picco di risonanza sarà:

infinito

Nel diagramma polare della risposta armonica con due poli complessi e coniugati, con ξ=0, quando ω=δ:

il modulo è infinito e la fase passa da 0° a -180°

Nel metodo del luogo delle radici, la condizione di fase (arg(NL(s))-arg(DL(s))), per k>0 e ν intero, sarà pari a:

(2ν+1)180°

Nel modello di un motore a corrente indotta, la variabile Ωr(t) indica:

la variabile controllata

Nel modello di un sistema meccanico rotazionale, la variabile di controllo è

la coppia torsionale z(t)

Nel passaggio dalla funzione di trasferimento a ciclo aperto L(s) a quella a ciclo chiuso W(s), per via analitica si ha W(s)=L(s)/(1+L(s)) e:

L(s)=W(s)/(1-W(s))

Nel procedimento di disaccoppiamento 'in avanti' in un sistema 2x2, al fine di avere Δ 12(s) = -(G12(s)/G11(s)) e Δ 21(s) = -(G21(s)/G22(s)), le altre due incognite vengono fissate pari a:

Δ 11(s)=Δ 22(s)=1

Nel processo di disaccoppiamento "all'indietro", per un'opportuna matrice Γ(s)=(Gd(s))-1(Gd(s)-G(s)) e indicando con I la matrice identità, si impone al disaccoppiatore la struttura:

Δ(s) = (I-Γ(s))-1

Nel progetto di G1(s), al fine di avere una buona precisione dinamica occorre:

una pulsazione critica sufficientemente elevata e un valore non troppo basso per lo smorzamento

Nel progetto di un sistema di controllo complessivo, al fine di mantenere il legame tra U'(s) e Y(s) e allo stesso tempo attenuare il disturbo D1'(s), sarebbe opportuno avere, per il modulo |F(jω)|, valori prossimi a:

1 per le pulsazioni del segnale di riferimento e a 0 per le armoniche più alte

Nel sistema (non lineare) ẋ(t)=x2(t)+x(t)+u(t) ci sono due punti di equilibrio se:

u(t)=ū<(1/4) e u(t)=ū=(1/4)

Nel sistema a controreazione descritto dalla funzione in catena diretta L(s)=k/((s+1)3) con k>0, poiché pL=0, se xL> -1 allora avremo:

nL=0 e il sistema sarà asintoticamente stabile

Nel sistema descritto dall'esempio 2, è possibile determinare lo stato iniziale dall'uscita se assumiamo:

y=x2

Nel sistema elettromeccanico visto nel par.3, assumendo come ingresso Ea(s), la corrente I(s) è generata dall'errore Ea(s)-Em(s), dato dal comparatore a valle dell'ingresso, moltiplicato per un blocco che applica una trasformata pari a:

1/(R+sL)

Nel sistema triangolare 2x2 descritto nel par.2, l'uscita y1(t) dipende:

solo dalla variabile di controllo c1(t)

Nel sistema visto nel Par.2, tramite un controllo a catena chiusa, è possibile ridurre l'errore, rispetto a un controllo a catena aperta, di:

(k/(k+α))

Nel teorema 4.1 abbiamo visto che il cerchio critico varia con ω nel caso in cui q=0 si ha che il centro del cerchio:

rimane fisso

Nel tracciamento asintotico della fase di una risposta armonica, la parte iniziale sarà una semiretta orizzontale di ordinata:

arg(h)-q(90°)

Nell'approssimazione attraverso i poli dominanti, gli zeri che hanno una distanza simile dall'asse immaginario (o addirittura inferiore) ai poli stessi:

sono da tenere in considerazione nel calcolo

Nell'esempio (2.1) abbiamo visto che, dopo aver applicato le approssimazioni, F(s) si comporta come:

filtro passa-basso

Nell'esempio 1 del circuito elettrico si vede che l'ingresso u agisce soltanto su:

x ̂1

Nell'esempio 1.1 abbiamo visto come stabilizzare un sistema e collocare i suoi poli in posizioni arbitrarie su un piano complesso mediante la controreazione dello stato; in particolare per l'anello più interno dello schema abbiamo L(s)=1/(s+p) con p=k2-2 che può essere reso asintoticamente stabile per:

k2>2

Nell'esempio 2.1 si vede che il sistema, a causa della presenza del condensatore, tende:

ad attenuare le sinusoidi a bassa pulsazione

Nell'esempio 3.1 abbiamo visto che la matrice F=A+BK ha come autovalori -3 e -4 se la matrice K è pari a:

K=(-2 -3)

Nell'integrale della trasformata di Laplace l'estremo inferiore va inteso come 0-, nel senso che:

eventuali impulsi nell'origine vanno inclusi

Nell'ipotesi di stabilità asintotica e con q > 0, un sistema viene detto integratore se la sua funzione di trasferimento è

W(s)=1/s

Nell'osservatore asintotico dello stato notiamo che la coppia (A,C) è completamente osservabile se e solo se la coppia:

(CT, AT) è completamente raggiungibile

Nella connessione in controreazione di due sottosistemi in forma minima, G1(s) e G2(s), si può dimostrare che se un polo di G1(s) coincide con uno zero di G2(s), il sistema complessivo rimane:

completamente raggiungibile e osservabile

Nella connessione in parallelo di due sottosistemi in forma minima, G1(s) e G2(s), si può dimostrare che quando G1(s) e G2(s) hanno un polo in comune, si genera nel sistema complessivo una parte:

non raggiungibile e non osservabile

Nella connessione in serie di due sottosistemi in forma minima, G1(s) e G2(s), si può dimostrare che se uno zero di G1(s) cancella un polo di G2(s), si genera nel sistema complessivo una parte:

non raggiungibile e osservabile

Nella definizione di autovettore, affinchè Av=λv, è necessario che λ renda singolare la matrice A-λl, ovvero che

det[A-λl]=0

Nella figura 2.2, il ramo caratterizzato da H(s), la cui grandezza in uscita viene sottratta nel comparatore in ingresso, viene detto:

ramo di controreazione

Nella funzione di trasferimento W(s) di un sistema asintoticamente stabile, una volta cancellate le coppie polo-zero vicine tra loro sul piano complesso, i poli più vicini all'asse immaginario rispetto ad altri, vengono detti:

poli dominanti

Nella prima fase della sintesi per tentativi si prendono in considerazione le caratteristiche richieste per gli aspetti statici, così da scegliere la parte statica del regolatore, definita come:

G1,s(s)=hs/sq

Nella progettazione di un regolatore attraverso l'assegnazione del margine di guadagno viene stabilita una relazione tra ωG' e il prodotto TiTd e di norma si sceglie:

Ti=4Td

Nella progettazione di un regolatore attraverso l'assegnazione del margine di guadagno, avendo scelto Ti=4Td, la pulsazione ωG' si può ricavare dalla relazione:

Ti=2/(ωG')

Nella rappresentazione della funzione di trasferimento, gli scalari γ=√(α2+β2) e δ=√(σ2+ω2) vengono detti:

pulsazioni naturali

Nella risposta indiciale di un sistema del secondo ordine asintoticamente stabile che presenta poli reali e distinti e uno zero, per θ1>θ2>0 e τ<0 si ha:

una sottoelongazione

Nella risposta indiciale di un sistema del secondo ordine asintoticamente stabile con solo poli reali e distinti:

non è presente alcuna sovraelongazione o sottoelongazione

Nella tabella 2.1 vista nel par. 2, il suggerimento per il regolatore PID fa si che Ti = 0,5 T¯ e quindi i due zeri del regolatore:

coincidono in z1 = z2 =-4/T¯

Nella tabella di Hurwitz vanno considerati nulli gli elementi con pedici:

maggiori di n o minori di zero

Nella tabella di Routh il numero di radici a parte reale positiva è pari:

al numero di variazioni di segno lungo la prima colonna

Nella trattazione dei sistemi SISO, l'interesse per la risposta armonica proviene anche dal fatto che essa è:

funzione complessa di variabile reale

Nello schema a blocchi con intervento di disturbi visto nel par. 1, il blocco H(s) rappresenta:

la dinamica di controreazione

Nello schema a blocchi nonlineare canonico indichiamo con N:

il blocco non lineare supposto privo di dinamica

Nello schema a blocchi visto nel par.1, il blocco G1(s) rappresenta:

il regolatore, o rete di correzione, che blocca l'errore e fornisce il controllo all'ingresso dell'impianto

Nello schema a blocchi visto nel par.4, considerando un gradino unitario nel disturbo D1 e q1<0, l'errore a regime in corrispondenza al disturbo è nullo se:

vi è uno zero nell'origine in G2(s)

Nello schema di controllo con disaccoppiamento rappresentato in forma matriciale, il blocco Δ(s) prende il nome di disaccoppiatore e fa si che la matrice di trasferimento Gd(s)=G(s)Δ(s) sia:

diagonale

Nello schema di controllo del sistema triangolare 2x2 visto nel par.2, sull'uscita y2(t) agiscono le variabili di controllo c2(t) e c1(t), la quale viene considerata come un disturbo per y2(t); possiamo quindi progettare R2'(s) come regolatore per la funzione di trasferimento G22(s) e M(s) come compensatore del disturbo c1(t), ovvero pari a:

M(s) = -G21(s)(G22(s))-1

Nello schema di controllo per il sistema instabile visto nel par.1, il regolatore R1(s) ha il compito di:

stabilizzare l'anello interno

Nello studio del movimento libero dello stato e dell'uscita, per il caso semplice n=1, la matrice A:

si riduce a un reale a

Nello studio di un sistema attraverso la funzione descrittiva della sua nonlinearità, l'aspetto nonlineare è concentrato nel legame tra l'ampiezza E dell'ingresso del blocco N e:

modulo e fase della prima armonica in uscita dal blocco N stesso

Nello sviluppo di un sistema, il momento dell'analisi acquista maggiore importanza rispetto alla sintesi quando:

diminuisce il dettaglio con cui sono noti i legami funzionali tra le grandezze

Non è possibile utilizzare la notazione semplificata Ri,l=Ri nel caso di:

poli multipli

Nonostante il modello linearizzato sia approssimato, esso consente di ottenere risultati esatti poiché le proprietà di stabilità sono:

locali

Occorre scegliere la matrice di guadagno H in modo da avere il valore desiderato degli autovalori della matrice:

N=A+HC

Oltre alle funzioni esponenziali, godono della proprietà di passare invariate attraverso sistemi lineari anche:

le funzioni sinusoidali

Osservando che i contributi degli zeri ai diagrammi di Bode avranno soltanto il segno invertito rispetto a quelli dei poli, sarà sufficiente studiare il comportamento in modulo e fase solo dei termini:

W0, W1(ω), Wd2,i(ω), Wd3,i(ω)

Per "big data" si intende

una quantità di dati molto estesa in termini di volumi e varietà

Per annullare l'errore a regime dovuto a un ingresso a gradino in D1(s) è necessario disporre di:

uno o più poli nell'origine in G1(s)

Per assegnare il margine di fase αL, così da spostare il punto A, identificato con la procedura di Ziegler e Nichols in anello chiuso, nel punto A2, deve risultare:

arg(RPID(jωG')G(jωG'))=((αL/180°)-1)π

Per i sistemi dinamici lineari stazionari, la nozione di non osservabilità coincide con quella di:

non ricostruibilità

Per i sistemi lineari stazionari, la proprietà di raggiungibilità coincide con quella di:

controllabilità

Per il controllo decentralizzato di un sistema MIMO, al fine di avere C(s)=R'(s)E(s) in modo che ogni elemento di E(s) influenzi solo il corrispondente elemento di C(s) attraverso il regolatore Ri'(s), si sceglie il disaccoppiatore Δ(s) pari a:

Δ(s)=I con I matrice d'identità

Per il criterio di Liénard-Chipart, affinché tutte le radici dell'equazione caratteristica abbiano parte reale negativa è necessario che sia soddisfatto almeno uno dei 4 sistemi di disequazioni e che:

D0=αn>0

Per il criterio di Michailov (2), le parti reale e immaginaria di p(jω) devono annullarsi alternativamente, ma:

mai annullarsi contemporaneamente al passaggio di p(jω) per l'origine

Per il criterio di Routh, se gli elementi della prima colonna della tabella di Routh hanno lo stesso segno, allora le radici dell'equazione caratteristica avranno:

parte reale negativa

Per il passaggio dal ciclo aperto al ciclo chiuso utilizzando la rappresentazione implicita in coordinate naturali di Nichols, si sovrappone:

la carta di Nichols al diagramma di Nichols della funzione di trasferimento L(s) a ciclo aperto

Per il sistema x͘(t)=Ax(t), considerando una matrice Q simmetrica e definita positiva, una funzione di Ljapunov V(x) espressa in forma quadratica è:

V(x)=x^TQx

Per il teorema 1.2, l'esame di un qualsiasi transitorio di y consente di determinare:

x ̂a(0)

Per il tracciamento asintotico del diagramma del modulo, in corrispondenza a valori per ω pari alle pulsazioni naturali, la pendenza aumenta o diminuisce, a seconda che si sia incontrata la pulsazione naturale di uno zero o di un polo complesso, per un multiplo di unità pari:

al doppio della molteplicità dello zero o del polo incontrato

Per l'ipotesi dell'azione filtrante vista nel par. 2, dette Y(jnω) le corrispondenti armoniche di ordine n nell'uscita y(t), vale la relazione:

Y(jnω)

Per la dimostrazione del teorema di Chetaev si osserva che le ipotesi impongono ad una traiettoria che inizia in K' di uscire da K' stesso:

solo attraverso la frontiera in comune con la frontiera di K

Per la proprietà di traslazione nel dominio della frequenza, per ogni α, si ha:

L(e^(αt)f(t))=F(s-α)

Per misurare una risposta armonica in condizioni di instabilità si può formare un circuito a controreazione, che impedisce al blocco W(s) di assumere valori non limitati durante il transitorio mediante un opportuno:

compensatore

Per n>1, quando gli autovalori di A, matrice diagonalizzabile, sono tutti reali e distinti, i modi del sistema saranno del tipo:

eλt

Per pulsazioni di valore elevato, il rumore può rendere inutilizzabile i risultati ottenuti a causa dell'attenuazione introdotta dal sistema, infatti, i sistemi fisici per cui è sempre m

passa-basso

Per pulsazioni inferiori a (1/τi), (1/θi), γi, δi, gli unici fattori che influiscono sul tracciato asintotico del diagramma del modulo sono:

h e (jω)^q

Per semplificare le operazioni di sovrapposizione dei vari termini, conviene sostituire i termini nell'espressione del modulo della risposta armonica con:ù

i loro logaritmi in base 10

Per sistemi a fase minima, quando il diagramma asintotico del modulo ha pendenza k, il diagramma asintotico della fase assume il valore:

k90°

Per un dato autovalore λi, definiamo autovettore generalizzato di ordine k quel particolare vettore νi,k reale, per cui vale:

(A-λiI)kνi,k=0 e (A-λiI)k-1νi,k ≠ 0

Per un sistema controreazionato del tipo 1 con un ingresso a rampa, l'errore a regime non è nullo, quindi l'uscita a regime dovrà essere anch'essa a rampa, ma risulterà ritardata rispetto a quella d'ingresso per un tempo pari a:

kd/h

Per un sistema nonlineare canonico, l'esistenza di cicli limite stabili implica, per il sistema stesso, la proprietà di:

instabilità globale

Per un sistema SISO completamente raggiungibile, ma non in forma canonica, la matrice K che assegna arbitrariamente gli autovalori a ciclo chiuso è data da K=(K~M~r(Mr)-1) dove Mr è:

la matrice di raggiungibilità del sistema originario

Per Wiener la comunicazione intesa come raccolta, elaborazione e trasmissione di segnali serve:

per poter effettuare il controllo

Possiamo assegnare a T(s) un comportamento da filtro passa-basso, che faciliti la moderazione della variabile di controlloe riduca eventuali saturazioni e conseguenti nonlinearità nel processo sottoposto a controllo, facendo attenzione, per nonintrodurre un rallentamento nella risposta dell'uscita y(t) al segnale di riferimento u(t), al fatto che:

l'estremo superiore della banda passante di T(s) sia superiore alla pulsazione critica di R(s)G(s)

Possiamo ridurre uno schema che presenta un blocco G1(s) e un anello in controreazione G2(s) ad un solo blocco con la funzione di trasferimento:

G1(s)/(1+G1(s)G2(s))

Possiamo scrivere la risposta armonica in forma polare come:

W(ω)=|W(ω)|ejψ(ω)

Possono avere un comportamento passa-alto, in quanto unici a permettere di avere |W(+inf.)|>0, solo i sistemi:

strettamente propri

Quando descriviamo il comportamento di un sistema non lineare localmente, mediante un opportuno sistema lineare che costituisce un'approssimazione del sistema originario, stiamo effettuando un procedimento di:

linearizzazione

Quando esistono perturbazioni arbitrariamente piccole dello stato che provocano l'allontanamento del movimento dello stato dal punto di equilibrio si dice che questo è

instabile

Quando il controllore possiede informazioni soltanto sul segnale di riferimento, si dice:

a catena aperta

Quando la variabile s si sposta lungo il percorso di Nyquist, ogni zero di H(s)=1+L(s) interno al suo percorso produce una variazione di fase:

in senso orario di -2π

Quando le proprietà di stabilità di un sistema sono assicurate anche in condizioni perturbate, si parla di:

stabilità robusta

Quando ogni elemento del vettore E(s) di ingresso al regolatore influenza ciascuno degli elementi del vettore C(s) di uscita dallo stesso, il sistema di controllo si dice:

centralizzato

Quando si applica una riduzione, il comportamento complessivo dipende dall'ordine con il quale vengono considerati i singoli blocchi:

né nel caso di riduzione in serie né nel caso di riduzione in parallelo

Quando si connettono in uno schema a blocchi un certo numero di sottosistemi, ci si aspetta che l'ordine del sistema complessivo sia:

uguale alla somma degli ordini dei singoli sottosistemi

Quando un controllore presenta una dipendenza dai valori passati dell'errore, si dice:

controllore dinamico

Quando vogliamo attenuare l'effetto di disturbi anche a bassa pulsazione e migliorare la precisione statica, è consigliato usare una rete:

ritardatrice

Salvo eventuali singolarità di L(s), l'asse reale:

appartiene al luogo delle radici

Se a un sistema lineare, stazionario, asintoticamente stabile, con funzione di trasferimento W(s), viene applicato un segnale di ingresso periodico esprimibile come serie di Fourier, allora lo spettro dell'uscita sarà pari a:

Yn=W(nω0)Un

Se i movimenti generati da uno stato iniziale, vicino o lontano allo stato di equilibrio nominale, convergono allo stato di equilibrio stesso, allora lo stato si dice:

globalmente stabile

Se il diagramma del modulo di W1(ω) presenta una pendenza di 20 dB per decade, allora viene detto:

retta a pendenza unitaria

Se in un sistema SISO poniamo un ingresso impulsivo u(t)=δ(t), allora si ha:

Y(s)=W(s)

Se la catena diretta R(s)G(s) non ha alcun polo nell'origine, il ruolo di T(s) potrebbe essere quello di un compensatorestatico, che provvede con il suo guadagno a compensare quello di F(s), ovvero:

T(0) = F(0)-1

Se la funzione di trasferimento è rappresentata da una funzione razionale strettamente propria, allora si può scomporre il rapporto di polinomi in una somma di n termini del tipo:

Ri/(s-λi)

Se la funzione di trasferimento L(s) di un sistema in controreazione non ha poli con parte reale positiva e il diagramma di Bode per il suo modulo attraversa solo una volta l'asse orizzontale a 0 dB, allora condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema sia asintoticamente stabile è che:

h>0 e αL>0

Se la matrice A è diagonalizzabile, il sistema è raggiungibile se e solo se la matrice di ingresso trasformata B ̃:

non ha nessuna riga tutta nulla

Se la matrice A non è diagonalizzabile, il sistema è completamente raggiungibile se e solo se non sono nulle le righe di B ̃ corrispondenti alle:

ultime righe dei blocchi di Jordan di Ã

Se la matrice dinamica A è diagonalizzabile, si dimostra che il sistema è completamente osservabile se e solo se la matrice di uscita trasformata Ĉ:

non ha alcuna colonna tutta nulla

Se nella connessione in parallelo vi è un solo sottosistema non asintoticamente stabile, allora il sistema complessivo sarà:

non asintoticamente stabile

Se nello schema vi sono due o più blocchi in parallelo, la regola dice che essi possono essere sostituiti da un unico blocco con funzione di trasferimento pari:

alla somma algebrica di quelle dei singoli blocchi

Se numeratore e denominatore in W(s) hanno uno o più fattori in comune, dopo la loro cancellazione reciproca, la funzione di trasferimento verrà detta:

in forma minima

Se per il sistema x͘(t)=f(x(t)) con x(t0)=x0 esiste una funzione di Ljapunov tale che V͘(x) sia definita negativa, allora l'origine è:

asintoticamente stabile

Se per il sistema x͘(t)=f(x(t)) con x(t0)=x0 esiste una funzione di Ljapunov, allora l'origine è stabile; questo appena annunciato è:

il primo teorema di stabilità di Ljapunov

Se ricostruiamo nell'osservatore una copia del sistema in esame, e supponiamo che lo stato iniziale è stimato soltanto da x^(0) e che la matrice dinamica A del sistema è asintoticamente stabile, allora l'errore del sistema:

converge a 0 per t che tende a +inf.

Se scegliamo q=0, la condizione di Popov diventa R[G(jω)] > -(1/k) e il diagramma polare di G(jω), per garantire la validità del teorema di Popov, deve giacere:

a destra della retta verticale R(s) = -(1/k)

Se si applica a un sistema lineare, stazionario e asintoticamente stabile, con funzione di trasferimento W(s), l'ingresso u(t)=u0eλt con λ non coincidente con alcun autovalore del sistema stesso, dopo l'esaurimento del transitorio l'uscita sarà:

y(t)=W(λ)u0eλt

Se si applica a un sistema lineare, stazionario, asintoticamente stabile, con risposta in frequenza W(ω), un ingresso dotato di trasformata di Fourier, una volta esaurito il transitorio, il movimento dell'uscita:

non potrà contenere armoniche non presenti nello spettro di ingresso

Se si considera la risposta armonica con un solo polo W(ω)=k/(jω-p), per k>0, si ha:

η=0, D1(0)=|p|, ψ1(0)=0

Se supponiamo L(s) in forma razionale fattorizzata (L(s)=NL(s)/DL(s)) e asintoticamente stabile, allora S(s):

non ha zeri con parte reale positiva o nulla

Se un numero raddoppia, il suo valore in decibel aumenta di circa:

6 dB

Se un sistema dinamico è definito a meno del valore di qualche parametro e vogliamo stabilire per quali valori di quest'ultimi il sistema rimanga asintoticamente stabile, occorre determinare:

la regione di stabilità asintotica

Se un sistema nonlineare canonico risulta (lineare e) asintoticamente stabile per ogni ϕ(ξ) che appartiene allo spazio Φl [k1, k2], allora risulta anche globalmente asintoticamente stabile per ogni ϕ(ξ) che appartiene allo spazio funzionale Φ[k1, k2]; questa affermazione è detta:

congettura di Aizerman

Se una connessione in serie genera una parte nascosta corrispondente a una cancellazione di un polo con parte reale nulla o positiva, la parte nascosta non è asintoticamente stabile, quindi il sistema complessivo sarà:

non asintoticamente stabile

Se una funzione reale f ha trasformata di Laplace razionale F con il grado del denominatore maggiore del grado del numeratore, allora il lim s(F(s)) con s che tende a +inf. è pari a:

f(0)

Se λ coincide con uno zero di W(s), la risposta di un sistema a un ingresso esponenziale tende ad annullarsi per t che tende a infinito, qualunque sia lo stato iniziale. Questa appena descritta è la proprietà:

bloccante degli zeri

Semplici diagrammi che consentono di determinare l'andamento qualitativo del diagramma esatto, senza l'ausilio di mezzi di calcolo e spesso con un'accettabile livello di approssimazione, vengono detti:

diagrammi asintotici

Senza introdurre l'ipotesi di asintotica stabilità, a un ingresso esponenziale corrisponde un'uscita esponenziale se si sceglie opportunamente lo stato iniziale, ovvero se e solo se λ:

non coincide con un autovalore di A

Si adottano metodi automatici di taratura, e quindi di sintesi del regolatore, a partire da specifiche prove effettuate sul processo, quando quest'ultimo:

non è noto, o non se ne conoscono dettagli importanti ai fini della predisposizione della regolazione

Si ha W(s)=D, costante e indipendente da s, quando:

all'uscita manca il contributo dinamico dello stato

Si usa dire che vi è una compensazione del disturbo quando:

il disturbo è misurabile

Sia A una matrice quadrata di ordine n. Il problema della sua diagonalizzazione consiste nella determinazione di una matrice non singolare P tale che:

A=PΛP-1

Sia V(x) una forma omogenea di grado k in x, cioè tale che V(ax)=a^kV(x); allora se k è dispari, V(x) è:

indefinita

Sia V(x) una forma quadratica in x, cioè del tipo V(x)=xT Qx con Q matrice quadrata nxn; V(x) è definita positiva se e solo se tutti i determinanti principali di Q sono:

maggiori di zero

Sia Κ un intorno dell'origine, e K' un insieme ⊂ K e contenente l'origine nella sua frontiera. Sia V(x) una funzione definita su K, con V(x)=0 nell'origine e in tutta la frontiera di K' contenuta nell'interno di K, e con derivate parziali prime continue su K', nell'interno del quale la stessa funzione e la sua derivata lungo le traiettorie del sistema in esame sono entrambe definite positive. Allora l'origine è instabile per il sistema stesso. Quello appena enunciato è:

il teorema di Chetaev

Sistemi analogici sono:

sistemi di tipo diverso che possono essere gestiti tramite lo stesso modello matematico

Sistemi che lasciano passare sostanzialmente inalterate le armoniche con pulsazione inferiore o uguale a un dato valore di ωb attenuando, o addirittura eliminando, quelle con pulsazione superiore, vengono detti:

filtri passa basso

Sostituiamo λ con (1/ν) nel polinomio caratteristico ottenendo un nuovo polinomio qA(ν) quando:

un elemento della prima colonna della tabella è nullo

Spostandoci nel dominio della variabile complessa ci rendiamo conto che controllare la dinamica del regolatore e dell'osservatore:

non è sufficiente a garantire la stabilità del sistema complessivo del controllo del processo

Sulla carta di Nichols sono riportati luoghi a modulo e fase costanti relativi:

alla funzione di trasferimento W(s) a ciclo chiuso

Supponendo che F(s) non presenti zeri, ma soltanto una coppia di poli complessi e coniugati con pulsazione naturale pari a ω ̃ e smorzamento pari a ξ, si ottiene per il suo modulo in ω ̃ stesso:

|F(jω ̃)|=1/(2ξ)

Supponiamo che la funzione di trasferimento a ciclo aperto L(s)=G1(s)G2(s) soddisfi il criterio di Bode; in tale ipotesi G2(s):

non può avere poli con parte reale positiva

Supponiamo L(s) la funzione di trasferimento a ciclo aperto di un sistema a controreazione asintoticamente stabile; l'integrale da 0 a +inf. Di |S(jω)|dB in dω è uguale a zero se L(s) ha un grado relativo:

non inferiore a 2

Tenendo conto della rappresentazione ingresso-stato-uscita, l'equazione di stato di uno schema a blocchi nonlineare canonico sarà:

x͘(t)=Ax(t)+φ(-Cx(t))

Tra i quattro regolatori visti nel par. 3, quello preferibile come prestazioni dinamiche e come risposta indiciale, ma con una riduzione della moderazione del controllo ad alte frequenza è:

regolatore III

Tramite operazioni elementari tra blocchi, nodi sommatori e nodi di diramazione, è possibile ridurre uno schema a blocchi, comunque complicato, a uno schema elementare. Il complesso delle regole da attuare per fare ciò viene chiamato:

algebra degli schemi a blocchi

Un blocco lineare è stabile di grado α nell'uscita se le trasformate di Laplace della risposta libera ε0(t) e della risposta impulsiva g(t) sono funzioni razionali di s con:

poli a parte reale < -α

Un blocco nonlineare viene descritto dalla relazione istantanea c=φ(ε(t)); un esempio di funzione φ di interesse applicativo è il relè senza isteresi, che rappresenta sostanzialmente la funzione:

segno

Un buon compromesso in fase di progettazione consiste, al fine di evitare eccessive sollecitazioni alla variabile di controllo C(s), nel richiedere:

bassi valori di |M(jω)| per ogni ω

Un controllo a catena aperta è scarsamente robusto a causa:

dell'eventuale presenza di disturbi all'interno del sistema

Un controllore a catena chiusa

può modificare, entro un certa misura, la dinamica del sistema di controllo

Un metodo per ottenere il valore del guadagno statico h, senza necessità di conoscere zeri e poli di G(s), è:

h=lim s^(q)G(s) con s che tende a +inf.

Un osservatore è un sistema, statico o dinamico, che elabora:

l'ingresso e l'uscita del sistema in esame per ottenere una stima dello stato corrente

Un possibile diagramma asintotico per la fase Wd2,i(ω) è costituito, per ω molto più grande di (1/|θi|), con θi>0:

dalla semiretta orizzontale con ordinata -90°

Un processo dinamico da controllare, al crescere di α, può presentare oscillazioni di ampiezza descrescente quando:

il polinomio caratteristico ha radici complesse e coniugate con parte reale negativa

Un regolatore PID ideale ha:

un polo nell'origine e due zeri a parte reale negativa

Un regolatore PID modifica le prestazioni dinamiche del sistema a ciclo chiuso; più precisamente l'azione integrale:

comporta un ritardo di fase di -90°

Un sistema canonico non lineare si dice assolutamente stabile nell'intervallo [k1, k2] se lo stato di equilibrio x=0 è:

globalmente stabile per qualsiasi elemento φ in Φ[k1, k2]

Un sistema descritto dalle equazioni ingresso-stato-uscita risulta completamente raggiungibile se:

ρ(Mr)=n

Un sistema dinamico a tempo continuo si dirà strettamente proprio se:

la funzione g non dipende dall'ingresso u(t)

Un sistema è astratto se

può essere usato per descrivere diversi processi di natura differente

Un sistema è globalmente asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori della matrice dinamica A hanno:

parte reale negativa

Un sistema è un insieme di relazioni

ciascuna raccogliente la totalità delle coppie ingresso-uscita, per un dato istante iniziale t0

Un sistema elettrico formato da elementi di base può essere descritto da:

combinazioni lineari, a coefficienti costanti, di derivate di vario ordine, rispetto al tempo, delle variabili in gioco

Un sistema i cui stati sono tutti raggiungibili si dice:

completamente raggiungibile

Un sistema in forma diagonale

permette di applicare gli sforzi di controllo separati, ciascuno atto alla modifica di una singola dinamica

Un sistema linearizzato descrive in modo approssimato il comportamento attorno alle condizioni di equilibrio di un sistema nonlineare nel caso in cui le variazioni δu(t), δxt0, δx(t) e δy(t) siano:

sufficientemente piccole in norma

Un sistema nonlineare a controreazione, come visto nel par. 1, se per ogni condizione iniziale si ha eαtε(t) ∈ L2(0, inf.), viene detto:

asintotico di grado α nell'uscita

Un sistema può dirsi globalmente asintoticamente stabile se la sua risposta impulsiva:

tende a 0 per t che tende a infinito

Un sistema raggiungibile e osservabile, in quanto non è possibile adoperare un numero di variabili di stato inferiore al suo ordine per descrivere la sua relazione tra ingresso e uscita, viene detto:

in forma minima

Un sistema si dice a fase minima quando i suoi zeri hanno tutti parte reale:

minore di zero

Un sistema SISO risponde a un ingresso sinusoidale con una sinusoide della stessa frequenza, la cui ampiezza sarà il prodotto tra:

l'ampiezza di ingresso e il modulo della funzione di trasferimento alla stessa frequenza

Un sistema viene detto dinamico a tempo continuo quando:

i legami tra le sue variabili possono essere descritti da equazioni differenziali rispetto al tempo

Un sistema viene detto triangolare se la sua matrice di trasferimento G(s) risulta triangolare, ovvero se è:

una matrice quadrata in cui tutti gli elementi sotto o sopra la diagonale principale sono nulli

Un supervisore

può aggiornare i modelli matematici, con le relative parametrizzazioni

Un TRASDUTTORE

preleva il valore attuale delle variabili controllate e lo confronta con il segnale di riferimento

Un'altra condizione sufficiente affinché un sistema a controreazione unitaria, con funzione di trasferimento a catena diretta L(s) asintoticamente stabile, risulti asintoticamente stabile è che sia:

|arg(L(jω))|<180° per ogni ω

Una brusca variazione dell'ingresso u(t), e quindi dell'errore e(t), provoca una variazione di tipo impulsivo, con possibili conseguenze di saturazione, a valle dell'azione:

derivatrice

Una condizione necessaria affinché si possa valutare se un sistema è asintoticamente stabile a partire dalla sua funzione di trasferimento è che:

non vi siano cancellazioni tra numeratore e denominatore

Una delle condizioni sufficienti affinché una funzione del tempo ammetta trasformata di Laplace è che:

f deve essere continua a tratti

Una matrice diagonale è una matrice quadrata in cui

solo i valori della diagonale principale possono essere diversi da zero

Una rappresentazione equivalente della prima armonica dell'uscita di un elemento nonlineare N, stimolato con un ingresso sinusoidale, è costituita dalla funzione descrittiva D(E), definita come:

D(E)=(|C1(E)|/E)ejarg(C1(E))

Una restrizione al teorema di Popov, nel caso di n(ε) con isteresi passiva invariante nel tempo, è che deve essere:

Una rete anticipatrice, per ε=0, acquista il nome di:

regolatore PD

Una situazione ideale, così da rendere nullo l'effetto del disturbo D2(s) sull'uscita Y(s), e del segnale di riferimento U'(s), come ancora del disturbo D2(s) sull'errore E(s), sarebbe quella di avere:

S(s)=0

Una trasformazione di coordinate è rappresentata da:

una matroce non singolare T che lega in modo biunivoco il vecchio stato x con il nuovo z

Una volta esaurito il transitorio, la risposta in frequenza, per sistemi asintoticamente stabili, sarà pari a:

W(ω)=Y(ω)/U(ω)

Uno degli aspetti fondamentali della teoria dei sistemi è:

la rappresentazione astratta del comportamento dinamico di un oggetto fisico

Uno dei motivi che ha portato allo sviluppo della teoria dei sistemi è

l'esigenza di studiare processi complessi costituiti da vari sottoprocessi interagenti

Uno dei motivi per cui la relazione T~(s) = G(s)-1 non è realizzabile realmente, è che T~(s) risulterebbe non asintoticamentestabile se:

G(s) avesse zeri con parte reale nulla o positiva

Uno dei passaggi per calcolare la dimensione dei vari blocchi di Jordan prevede di ordinare i νi blocchi per λi in modo arbitrario e assegnare a ognuno di essi una dimensione provvisoria iniziale pari a:

Uno stato di equilibrio e la corrispondente uscita di equilibrio vengono detti nominali quando:

0=f(x ̅, ū) y ̅=g(x ̅, ū)

Uno stato di equilibrio relativo ad un sistema non lineare, come visto nel par. 1, è in una situazione di stabilità non definita quando il suo corrispondente sistema linearizzato ha:

autovalori con parte reale nulla e altri con parte reale negativa

Uno stato di equilibrio x ̅ relativo all'ingresso costante ū di un sistema nonlineare è asintoticamente stabile se gli autovalori del sistema linearizzato corrispondente hanno:

tutti parte reale negativa

Uno stato di equilibrio x ̅ si dice asintoticamente stabile se, oltre a soddisfare le condizioni di stabilità, soddisfa anche la relazione:

lim||x(t)-x ̅ ||=0 per t che tende a infinito

Uno stato di equilibrio x ̅ si dice stabile se, per ogni ε>0, esiste un δ>0 tale che per tutti gli stati iniziali x0 che soddisfano la relazione ||x0 - x ̅ ||<δ risulta:

||x(t)-x ̅ ||≤ε, ∀t ≥ 0

Uno stato x ̃ ≠ 0 di un sistema dinamico si dice non osservabile se per ogni t ̃, 0< t ̃<(infinto), detto yl ̃(t) il movimento libero dell'uscita generato da x ̃, risulta:

yl ̃(t)=0 con 0≤t≤t ̃

Uno stato x ̃ si dice raggiungibile se esistono un tempo finito t ̃>0 e un ingresso u ̃ definito in [0, t ̃] tali che, detto x ̃f(t) il movimento forzato dello stato generato da u ̃ risulti:

x ̃f(t ̃)=x ̃

Utilizzando le tecniche di compensazione per "cancellazione" del processo viste nel par. 2, notiamo che:

solo il compensatore reale dipende dal regolatore R(s)

Utilizzare la scomposizione canonica è vantaggioso quando un sistema dinamico risulta essere:

non completamente raggiungibile e non completamente osservabile

Visto il carattere dei coefficienti di W(s), poli e zeri costituiscono:

le singolarità del sistema