Computeranimation Flashcards

Question

Erkläre den Bresenham-Algorithmus in Worten.

Answer 1

Der Basis-Algorithmus benötigt mehrere Gleitkommarechnungen sowie eine Addition, schön wäre es, wenn wir einen Algorithmus angeben könnten, welcher mit ganzen Zahlen auskommt, sowie eine Rundung überflüssig macht. Hier ist der Bresenham-Algorithmus verwendbar. - > Dieser Algorithmus arbeitet rekursiv, d.h. er berechnet das nächste Pixel immer basierend auf dem vorherigen Pixel - > Zur Vereinfachung betrachten wir nun den Fall einer Linie, mit einem Winkel zwischen 0° und 45°, beginnend im Punkt (0,0). Desweiteren gehen wir davon aus, dass die Endpunkte durch ganzzahlige Pixel beschrieben werden. - > Wenn als letztes das Pixel (x,y) gezeichnet wurde, dann kommen für die Folgepixel nur (x+1,y) oder (x+1, y+1) in Frage. Also das Nordöstliche oder Östliche Pixel. Daher benötigen wir ein Entscheidungskriterium, welches Pixel gemalt werden soll: Wir berechen also den Abstand (E) der Linie von Punkt (x+1, y+ 1/2), also den Mittelpunkt zwischen den beiden nächtmöglichen Pixeln. Wenn E positiv ist, muss als nächstes der obere Pixel gesetzt werden (x+1, y+1), anderenfalls das untere Pixel (x+1, y).

Answer 2

-> Annahme: 0 <=1 m <= 1, ansonsten Fallunterscheidungen ------------------------------ Verwendete Variablen: -> P(xp, yp): zuletzt gewähltes Pixel bzw. Startpixel -> E/NE: Wahlmöglichkeit für das nähste Pixel bzw. Startpixel -> Q: Schnittpunkt der Linie mit der Gitterline x=xp+1 -> M: Mittelpunkt: M(xp+1, yp+1) -> d: Entscheidungsvariable (d>0 = NE, d<=0 = E) -------------------------------- Mathematische Formeln: y = m*x + B = dy/dx * x + b ==> Geradengleichung F(x,y) = dy*x - dx * y + B *dx = 0 oder F(x,y) = a*x + b*y + c ==> Implizite Form ------------------------------------- -> Für einen Punkt (x,y) auf der Linie wird F(x,y) = 0 -> Bei Punkten (x,y) oberhalb der Linie wird F(x,y) < 0 -> Bei Punkten (x,y) unterhalb der Linie wird F(x,y) > 0 ----------------------------------- Entscheidungsvariable d = F(M): d = F(M) = F(xp + 1,yp + 1/2) = a(xp + 1) + b(yp + 1/2) + c -- -> Liegt M unterhalb der Linie: d > 0 = NE -> Liegt M oberhalb der Linie: d < 0 = E -> Liegt M auf der Linie: d = 0 = E

Answer 3

-> Wurde E gewählt, ist d(neu) = F(M´). ................. d(neu) = F(M´) = F(xp + 2,yp + 1/2) = a(xp +2 ) + b(yp + 1/2) + c .................. d(alt) = F(M) = F(xo + 1,yp + 1/2) = a(xp + 1) + b(yp + 1/2) + c ................... d(neu) - d(alt) = a d(neu) = d(alt) + a mit a = dy = delta E -------------------------- -> Wurde NE gewählt, ist dneu = F(M´´). .............. d(neu) = F(M´´) = F(xp + 2,yp + 3/2) = a(xp + 2) + b(yp + 3/2) + c ............ d(alt) = F(M) = F(xp + 1, yp+1/2) = a(xp + 1) + b(yp + 1/2) + c ............. d(neu) - d(alt) = a+b d(neu = d(alt) + (a+b) mit a+b = dy -dx = delta NE -------------------------- -> Startwert von d: d(start) = F(x0 + 1,y0 + 1/2) = a(x0 + 1) + b(y0 + 1/2) + c ........... d(start) = a*x0 + b*x0 + c + a + b/2 .......... d(start) = F(x0, y0) + a + b/2 ------------------------------ Da der Startwert (x0, y0) auf der Linie liegt, ist F(x0, y0) = 0 und d(start) = a + b/2 = dy + dx/2 ............ Um den Bruch in d(start) loszuwerden wird F(x,y) mit 2 multipliziert. Es gilt: ....... d(start) = 2dy - dx delta E = 2dy delta NE = 2(dy - dx) ------------------------ Das Vorzeichen der Entscheidungsvariablen d ändert sich dadurch nicht.

Answer 4

- > Nur eine ganzzahlige Addition in jedem Schritt - > Keine Multiplikation, keine Rundung - > Algorithmus ist sehr effizient (optimaler Algorithmus)

Answer 5

- > Veränderung der Intensität bei Linien unterschiedlicher Steigung: Diagonale Linien haben z.B. nur eine Intensität von I / (Wurzel)2 wenn die Intensität pro Längeneinheit einer horizontalen Linie ist. (Abhilfe: Antialiasing) - > Dem Bresenham-Algorithmus entsprechend gibt es effiziente Algorithmen zur Rasterung von Kreisen und Ellipsen. Diese sind Mathematisch etwas aufwändiger und deshalb nicht Gegenstand dieser Vorlesung :)

Answer 6

Aliasing kann beim Übergang von kontinuierlichen Signalen (beliebiger Wert aus endlichem Intervall) zu diskreten Signalen (endliche Wertemenge) auftreten.

Answer 7

- > Beim Übergang von kontinuierlichen (analogen) zu diskreten (digitalen) Signalen muss das Shannon´sche Abtasttheorem eingehalten werden. - > Mindestens mit der doppelten Frequenz abtasten.

Answer 8

- > Technik der Rasterschirme | - > Strukturen im Bild sind feiner als die Auflösung des Monitors (Unterabtastung)

Answer 9

-> Ein Bildschirm mit der doppelten horizontalen und vertikalen Auflösung hat eine bssere Darstellung (kleinere Treppenstufen) -------------------- Nachteile: -> Teuere Lösung (der Bildschirm hat die vierfache Anzahl an Pixeln, der Bildwiederholspeicher ist vier mal so groß) -> Physikalische Grenzen

Answer 10

- > Der Grauwert (die Farbsättigung) eines Pixels wird proportional zu der von dem Rechteck der Linie überdeckten Fläche des Pixels eingestellt - > Gewichtsfunktion hierbei Fläche (2D) bzw. Quader (3D) - > Es wird also quasi um die ursprünliche Linie ein rechteck gezeichnet

Answer 11

-> Bessere Ergebnisse (geringerer Kontrast zwischen benachbarten Pixeln und dadurch weichere Übergänge) wenn Flächenanteile nahe am Mittelpunkt eines Pixels stärker gewichtet werden.

Answer 12

-> Pixel werden als sich überlappende Kreisflächen betrachtet -> Die Gewichtungsfunktion (Filterfunktion) ist ein Kegel -> Das Kegelvolumen ist auf 1 normiert (maximale Intensität) -> Intensität eines Pixels : I = Imax * Wa mit Wa = Teilvolumen des Kegelschnitts -> Einfache Integration von Kegelfiltern in Rasteralgorithmen, optimale Filter sind mathamatisch aufwändig ==> je weiter in der mitte des Pixels der skalierte punkt liegt, desto dunkler (heller) wird der Pixel dargestellt

Answer 13

- > Zielsetzung: Freihandkurven - > Approximation = Annäherung - > Forderung: Glatte Kurven als Verbindung vorgegebener Punkte (Stützpunkte)

Answer 14

-> durch n vorgegebene Punkte lässt sich ein Polynom (n-1)-ten Grades legen: y = f(x) = a(n-1) x^n-1 + a(n-2) x^n-2 + ... + a2 x^2 + a1 x + a0 ........... n = 2: Gerade; n = 3: Parapel

Answer 15

- > Kurve oszillliert meistens zwischen den Stützpunkten | - > Es kann also variieren wie stark sie gekurvt sind

Answer 16

-> Stückweise polynominelle Kurven -> Geraden (Polynome 2-ten Grades) durch jeweils drei Stützpunkte. .......... Nachteil: Eckiger Linienzug ------------------------------- -> Parapeln (Polynome 2-ten Grades) durch jeweils dreo Stützpunkte ......... Nachteil: Ecken an den Intervallgrenzen, d.h. keine C1-Stetigkeit

Answer 17

Zwischen zwei Kurvensegmenten gilt: - > C0: gleiche Funktionswerte, ungleiche 1. Ableitungen - > C1: gleiche Funktionswerte, gleiche 1. Ableitung, ungleiche 2. Ableitungen - > C2: gleiche Funktionswerte, gleiche 1. Ableitung, gleiche 2. Ableitung

Answer 18

Für die Appromaxion einer Kurve f(x), die durch n vorgegebenen Punkten verlaufen soll, wird die Funktion in n-1 Intervalle zerlegt und in jedem Teilintervall x (Element von) [xi, xi+1] durch ein Polynom 3-ten Grades fi(x), i = 1, ... , n-1 dargestellt.

Answer 19

``` Vorteil: -> C2-Stetigkeit an Intervallgrenzen ------------------------ Nachteil: -> Mathematisch sehr aufwändig ```

Answer 20

Methode von Pierre Bézier, der sie 1972 zur Modellierung von Oberflächen bei Karosserieentwurf bei Renault (CAD) entwickelt hat. - > Jedes Bézier-Kurvensegment besteht aus z.B. vier Punkten Pi (Element von) [0,3] - > zwei Stützpunkte (P0, P3): Definieren Anfang und Ende der Kurve - > zwei Kontrollpunkte (P1, P2): Steuern den Lurvenverlauf und liegen nicht auf der Kurve - > Parametrisierte Darstellung: P(t) = (x(t) (über) y(t)), 0 <= t <= 1

Answer 21

- > Es können nucht nur Funktionen y = f(x) (jedem x genau ein Funktionswert y) sindern auch Relationen und damit jede beliebige Kurve, dargestellt werden. - > Also auch Kreise!

Answer 22

Wenn für vier Punkte P(i)i (ELEMENT VON) [0,3], gilt: ..... P(t) = (1-t)^3 * P(o) + 3t * (1-t)^2 * P(1) + 3t^2 * (1-t) * P(2) + t^3 * P(3) 0 <=t <=1 ..... P(t) = B(0,3) (t) * P(o) + B(1,3)(t) * P1 + B(2,3)(t) * P2 + B(3,3)(t) * P3 0 <= t <= 1 -------------------------------- Die Bernsteinpolynime Bi,n(t) definieren den Einfluss der Punkte auf den Kurvenverlauf: Für t=0 ist nur B(0,3)(t) != 0, deshalb geht die Kurve durch P0, für t=1 ist nur B(3,3) (t) != 0, deshalb geht die Kurve durch P3

Answer 23

P(t) = (1-t)^3*P0 + 3t*(1-t)^2*P1 + 3t^2*(1-t)*P2 + t^3*P3

Answer 24

- > Im Anfang- und Endpunkt ist die Kurve tangential zum Kontrollpolygon - > C1-Stetigkeit an den Verbindungspunkten der Kurvensegmente durch Ausrichtung der Tangenten (bzw. Setzen der Punnkte auf eine Gerade) - > Kurve liegt innerhalb der konvexen Hülle der Stütz-/ Kontrollpunkte (Kappungsalgorithmus) - > Nur globale Kontrolle des Kurvensegments: Da alle Bernsteinpolynome für 0 Geschlossene Kurven durch Mehrfachpunkte z.B. P0 = P3

Answer 25

-> B = Basis -> Verallgemeinerung von Bézierkurven -> Die definition der B-Splinekurve P(t) vom Polynomgrad k-1 (k ist wählbar) erfolgt über n+1 Punkte Pi(t) = (x(t) (über) y(t)), 0 <= t <= n-k + 2 ------------------- Für fünf Punkte Pi, i (Element von) [0,4], n = 4 und k = 3 gewichten die fünf Polynome N(i,k)(t) vom Grad k-1 den Einfluss der Punkte auf dem Kurvenverlauf --------------------- Lokalitätseigenschaft: -> N(0,3)(t) ist nur im Bereich t (Element von) [0,1] != 0 ==> der Startpunkt P0 beeinflusst nur diesen Wertebereich von t den Kurvenverlauf

Answer 26

- > C^(k-2)-Stetigkeit an den Verbindungspunkten der Kurvensegmente ist möglich (bei entsprechender Wahl der Punkte) - > Kurve liegt innerhalb der konvexen Hülle der Stütz-/Kontrollpunkte (Kappungsalgorithmus) - > Lokale Kontrolle - > Durch Mehrfachpunkte sind Ecken (Bereiche starker Krümmung) darstellbar

Answer 27

-> Non Uniform Rational B-Splines = Nicht gleichmäßige Rationale B-Splines -> erweiterung der B-Splines -> Nicht gleichmäßig: Die Punkte d(i) werden mit Gewichten w(i) multipliziert -------------------------- Rational: -> rationale Funktionen f(x) = g(x)/h(x) mit g(x), h(x):Polynome

Answer 28

- > Exakte Darstellung von Kegelschnittfunktionen (kreisen), ansonsten nur Approximation CAD/CAM - > Invarianz der Kontrollpunkte unter Translation, Skalierung, Rotation und Zentralprojektion, d.h. Unveränderlichkeit des Kurvenverlaufs unter diesen Operationen.

Answer 29

- > Allgemein: Ein Vektor ist der n-Tupel reeller Zahlen | - > Werden in der Computergrafik verwenden um Positionen von Punkten im Weltkooridnatensystem darzustellen

Answer 30

- > Allgemein: Eine Matrix ist ein n x m -Tupel reeller Zahlen - > Werden in der Computergrafik u.a. für die Durchführung geometrischer Transformationen verwendet.

Answer 31

Sei A eine n x m Matrix (a(ij)) und B eine m x p Matrix (b(ij)). Das Produkt C = A * B ergibt eine n x p Matrix ..... c(ij) = (SUMME; oben m, unten a =1) a(is) * b(sj) ----------------------- Die Anzahl der Spalten von A muss gleich der Zeilen von B sein.

Answer 32

``` Verschiebung von Punkten (x,y) in der (x,y)-Ebene um die Beträge dx, dy auf die neuen Punkte P´(x´,y´): ....... x´ = x + dx, y´ = y + dy P´ = [x´(über) y´], P = [x (über ) y], T = [d(x), d(y)] ....... P´ = P + T (Vektoraddition) ```

Answer 33

``` Skalierung von Punkten um die Faktoren s(x), s(y): ..... x´ = s(x)*x, y´ = s(y) * y P´ = [x´ (über) y´], P = [x (über) y] ...... S = [s(x) 0] [0 s(y)] P´ = S*P (Matrizenmultiplikation) ...... Mit x´= s(x) * x + 0 * y, y´ = 0*x + s(y) * y ------------------------------ Falls s(x) = s(y): Uniforme Skalierung (Proportionen bleiben erhalten) ```

Answer 34

``` Drehung von Punkten um den Qunkel Q: ...... x´ = x * cos(Q)-y * sin(Q) y´ = x * sin(Q) + y * cos(Q) ..... P´ = [x´ (über) y´] P = [x (über) y] R= [cos(Q) -sin(Q)] sin(Q) cos(Q) ..... P´ = R * P (Matrizenmultiplikation ----------------- Mit: x´ = cos(Q)*x - sin(Q)*y y´ = sin(Q)*x + cos(Q)*y ```

Answer 35

Auch die Distanz vom Ursprung wird von mit dem Faktor vergrößert oder verkleinert, also verschoben.

Answer 36

Das Objekt verschiebt sich um den Ursprung herum, also es verändert auch seine Position

Answer 37

-> Einheitliche Berechnung aller Transformationen = alle Unternehmungen könne gleich behandelt werden. -> Durch 3x3 Matritzen. (**die klammern die untereinander stehen sind eigentlich eine hier**) -------------------------------- Translation ...... [x´] = [1 0 d(x)] * [x] [y´] = [0 1 d(y)] * [y] [1 ] = [0 0 1 ] * [1 ] --------------------------------- Skalierung ...... [x´] = [s(x) 0 0] * [x] [y´] = [0 s(x) 0] * [y] [1 ] = [0 0 0] * [1 ] -------------------------------- Rotation ...... [x´] = [cos(Q) -sin(Q) 0] * [x] [y´] = [sin(Q) cos(Q) 0] * [y] [1 ] = [0 0 1] * [1]

Answer 38

-> Steigerung der Effektivität, wenn eine Reihe von Transformationen auf mehrere Punkte (ein Objekt) angewandt wird.

Answer 39

``` Vorgehenweise: 1. Verschiebe P1 zum Ursprung 2. Rotiere um den Winkel Q 3. Verschiebe zum ursprünglichen P1 ----------------------------- Berechnung einer Transformtaionsmatrix und Anwednung dieser Matrix auf alle Punkte des Objekts ```

Answer 40

-> Im allgemeinen ist die Matritzenmultiplikation nicht kommunitativ, d.h. M1*M2 != M2*M1. Die Kommunikativität gilt nur in wenigen Sonderfällen (sonst muss die Reihenfolge beachet werden!)

Answer 41

Koordinatensystem, in dem der Anwender die Objekte seiner künstlichen Welt platziert (beliebige Einheiten von Nanometer bis Lichtjahre)

Answer 42

- > Matrix der Bildpunkte des Monitors (n Zeilen x m Spalten), entspricht dem Bildwiederholspeicher. - > Die Abbildung eines teils des Weltkoordinatensystems (Window = Kamerasichtfenster) auf einen Bereich des Bildschirms (Viewport) nennt man Window-Viewport-Transformation

Answer 43

- > Window in Weltkoordinaten - > Window verschoben zum Ursprung - > Window sklaiert auf die größe des Viewports - > Verschiebung um Koordinaten in jeweilige und endgültige Position

Answer 44

Die außerhalb des Windows liegenden grafischen Infromationen werden abgeschnitten.

Answer 45

- > Analytisch: Berechnung der Schnittpunkte von Polygonkanten mit dem Kappungsrechteck (Cohen-Sutherland-Algorithmus) - > Während der Rasterung: Es werden nur die Pixel gerastert, die innerhalb des Kappungsrechtecks liegen - > Kappung am Window: Bei der Window-Viewport-Transformation (implizit)

Answer 46

``` Einheitliche Berechnung aller Transformationen um dreidimensionalen Raum erfolgt durch die Verwendung von 4x4 - Matrizen: P´ = M * P ------------------------------------ mit: ..... P´ = [x´] [y´] [z´] [1 ] ...... M = [m(11) m(12) m(13) m(14)] [m(21) m(22) m(23) m(24)] [m(31) m(32) m(33) m(34)] [m(41) m(42) m(43) m(44)] ...... P = [x] [y] [z] [1] ```

Answer 47

P´ = ((x-x(min)) * (u(max) - u(min))/(x(max) - x(min)) + u(min)*(y - y(min)) * (u(max)-u(min))/(y(max) - y(min)) + v(min) 1)

Answer 48

``` T(dx,dy,dz) = [1 0 0 dx] [0 1 0 dy] [0 0 1 dz] [0 0 0 1 ] ```

Answer 49

``` S(sx, sy, sz)= [sx 0 0 0] [0 sy 0 0] [0 0 sz 0] [0 0 0 1] ```

Answer 50

``` R(x)(Q) = [1 0 0 0] [0 cos(Q) -sin(Q) 0] [0 sin(Q) cos(Q) 0] [0 0 0 1] ```

Answer 51

``` R(y)(Q) = [cos(Q) 0 sin(Q) 0] [0 1 1 0] [0 0 0 0] [-sin(Q) 0 cos(Q) 0] ```

Answer 52

``` R(z)(Q) = [cos(Q) -sin(Q) 0 0] [sin(Q) cos(Q) 1 0] [0 0 1 0] [0 0 1 0] ```

Answer 53

Da die Matrizemultiplikation nicht kommunitativ ist: Reihenfolge beachten!

Answer 54

Es gibt das Weltkoordinatensystem und jedes Bauteil hat noch quasi ein "eigenes" kleines Koordinatensystem, mit dem es um die eigenen Achsen rotieren kann und sich nicht um den Ursprung dreht. Die Inverse Matrix verläuft (bzw. das Koordinatensystem) parallel.

Answer 55

Sind A und B n x m - Matrizen und gilt A*B = B*A = E mit E = Einheitsmatrix mit einsen auf der Diagonalen, sonst alles 0, so ist die inverse Matrix von B A, die mit A^-1 bezeichnet wird.

Answer 56

Darstellungsform, bei der die Gestalt aufgebaut ist: - > Drahtmodell (Gittermodell) aus Liniensegmenten (Kanten). - > Flächenmodell aus Flächenelementen (Polygonen) - > Körpermodell (Volumenmodell) aus Körpersegmenten

Answer 57

Ein Körper, der entlang einer Achse entweder Rotiert oder verschoben wird. Die "Spur", die dabei entsteht, wird dann als neuer Körper mit Fläche definiert.

Answer 58

Das Volumen eines Translationskörpers ist definiert durch den Raum, der von einer entlang einer "Kurve" verschobenen Fläche überstrichen wird. Die Translationskurve muss dabei außerhalb der Ebene der erzeugenden Fläche liegen. ------------------------------ Sonderfall: -> Translationskurve = Kreis => Rotationskörper

Answer 59

Das Modellierungssystem definiert eine Menge dreidimensionaler primitiver Formen (Würfel, Zylinder, Kugel, Kegel, Pyramide, ...). Diese einfachen Objekte lassen sich mittels geometrischer Transformationen (Translation, Skalierung und Rotation) ausrichten und zu komplexen Objekten zusammenfügen.

Answer 60

Sind die Raumprimitiven als Körpermodell implementiert, können Objekte durch logische Verknüpfungsoperationen (Boolsche Operationen) auf den Grundelementen beschrieben werden.

Answer 61

Körper die einander überlappen und entweder voneinander abgezogen werden oder addiert / zusammengefügt werden, damit ein neu geformter Körper entsteht.

Answer 62

- > Vereinigungsmenge (beide Köerper werden zusammengefasst) - > Schnittmenge: Nur die Fläche die sich überlappt bleibt übrig - > Differenzmenge: Die Objekte werden zu einem zusammengefügt.

Answer 63

- > Darstellung dreidimensionaler Objekte durch Verwendung ebener Flächen (Polygone) - > Exakte Beschreibung beo Polyedern, Approximation bei gekrümmten Flächen

Answer 64

-> Alle Objektpunkte (Ecken) -> Alle Objektkanten (Verbundene Punkte) -> Alle Objektflächen (Begrenzt durch kanten) ---------------------- Es baut alles aufeinander auf.

Answer 65

Die Untersuchung der Objekte auf Fehler in der Modellierungsphase. - ----------------------------- - > Jeder Punkt ist Endpunkt mindestens zweier Kanten - > Jede Kante ist Teil von mindestens einem Polygon - > Jedes Polygon ist geschlossen - > jedes Polygon teilt mindestens eine Kante mit mindestens einem weiteren Polygon

Answer 66

Zeigt an, welche Seite des Polygons "außen" liegt und somit sichtbar ist. Die Flächennormale zeigt nach außen, wenn in einem rechtshändigen Koordinatensystem die Polygoneckpunkte gegen den Uhrzeigersinn angeordnet sind.

Answer 67

Gekrümmte Flächen können durch mathematische Funktionen beschrieben werden, falls eine Approximation durch Polygonflächen nicht ausreichend genau ist.

Answer 68

Jedes Bézier-Flächensegment besteht z.B. aus 16 Punkten: 4 Stützpunkte (Eckpunkte) und 12 Kontrollpunkte (steuern den Flächenverlauf und liegen nicht auf der Fläche).

Answer 69

- > Bezierfläche = Produkt zweier Bézierkurven | - > B-Splinefläche = Produkt zweier B-Splinekurven

Answer 70

Abbildung der Objekte aus dem dreidimensionalen Weltkoordinatensystem (x,y,z) auf eine Projektionsebene (Bildschirm oder Viewport)

Answer 71

Wegen der Reduzierung um eine Dimensuin z.B. Bild (R^2) auf Linie (R^1) - > Verlust von Informationen - > Mehrdeutigkeit (Projektion eines Drahtmodells) - > Unmögliche Objekte (Escher-Effekt)

Answer 72

Zentralprojektion: -> Die Projektionsstrahlen treffen sich im Projetktionszentrum ..... Parallelprojektion: -> Das Projektionszentrum liegt im Unendlichen

Answer 73

Die Zentralprojektion besitzt die Eigenschaft, die abgebildeten Objekte proportional zu ihrer Entfernung von der Bildebene zu verkleinern (deshalb auch perspektivische Projektion genannt, enstpricht dem natürlichen Sehen).

Answer 74

-> rechtwinklig: Die Projektionsrichtung ist senkrecht zur Projektionszeichung (technische Zeichnung) -> Axonometrisch: Die Normale der Projektionsebene ist nicht parallel zu einer Hauptachse (IKEA Bauanleitung) ......... Untergruppen: -> Isometrisch: Die Projektionsebene bildet mit jeder der drei Hauptachsen den gleichen Winkel, woraus gleiche Skalierung in den drei Achsenrichtungen erfolgt (45° Überall) -> Dimetrisch: Die Projektionsebene bildet mit zwei der drei Hauptachsen den glecihen winkel. Die Skalierung ist in zwei Richtungen gleich. -> Trimetrisch: Die Projektionsebene bildet mit jeder Achse einen anderen Winkel, so dass die Skalierung in jeder Richtung eine Andere ist. ------------------------------ -> 1, 2, 3 - Punktperspektive

Answer 75

Annahme: Die Projektionsebene ist gleich der (x,y) - Ebene, das Projektionszentrum liegt auf der negativen z-Achse im Punkt (0,0, -a). Da die Projektionsebene nur die z-Achse schneidet: Ein-Punkt-Projektion. Der Fluchtpunkt FP ist hierbei das an der Projektionsebene gespiegelte Projektionszentrum Z und liegt im punkt (0,0,a).

Answer 76

Strahlensatz: x´/x = |a| / |z+a| ==> x´ = x* a/(z+a) y´/y = |a| / |z+a| ==> y´= y * a/(z+a)

Answer 77

``` P´ = M(z) * P ------------------------------ P´ = [x´] [y´] [0] [1 ] ........ M(z) = [a/(z+a) 0 0 0] [0 a/(z+a) 0 0] [0 0 0 0] [0 0 0 1 ] ........ P = [x] [y] [z] [1 ] ```

Answer 78

Die Projektionsebene ist gleich der (x,y)-Ebene, die Normale der Projektionsebene ist parallel zur z-Achse, die Projektionsrichtung ist senkrecht (orthogonal) zur Projektionsebene => Hauptrisse bzw. orthogonale Projektion je nach Lage des Objekts im Weltkoordinatensystem

Answer 79

``` P´= M(o) * P ------------------------------ P´ = [x´] [y´] [0] [1 ] ...... M(o) = [1 0 0 0] [0 1 0 0] [0 0 0 0] [0 0 0 1] ...... P= [x] [y] [z] [1 ] --------------------------------- d.h. es wird ledigleich die z Koordinate des Punktes P auf Null gesetzt. ```

Answer 80

Die Projektionstransfomrationen sollen nur auf die Punkte der Objekte innerhalb des Bildraums angewandt werden (=> Kappung)!

Answer 81

Ist gleich dem Beobachter - standpunkt bzw. der Kameraposition

Answer 82

Der Fluchtpunkt ist das an der Projektionsebene gespielte Projektionszentrum.

Answer 83

Projektions- bzw. Ansichtsebene im Bildraum (durch die Kameraoptik wird diese auf die "Filmebene" projiziert). Die viertuelle Kamera fokussiert sich auf die Viewplane.

Answer 84

Zwischen der vorderen und der hinteren Kappungsebene liegt der Schärfentiefenbereich der virtuellen Kamera.

Answer 85

``` Primitive in dreidimensionalen Weltkoordinaten ............ -> Kappen am Bildraum ............ Gekappte Weltkoordinaten ............ -> Projizieren auf die Projektionsebene -> In zweidimensionale Koordinaten in den Viewport transformieren ......... zweidimensionale Gerätekoordinaten ```

Answer 86

``` 1001 | 1000 | 1010 -------------------------- 0001 | 0000 | 0010 --------------------------- 0101 | 0100 | 0110 ...................................... Bit 1: Links vom Fenster Bit 2: Rechts vom Fenster Bit 3: unter dem Fenster Bit 4: über dem Fenster ```

Answer 87

...... 1. Schritt ...... -> die Ebene wird in 9 Bereiche eingeteilt -> für alle Polygonkanten werden die filgenden Anweisungen ausgeführt -> den Endpunkten einer Poygonkante werden die entsprechenden Bereichscodes zugeordnet -------------------------- Test: -> eine Polygonkante ist sichtbar, falls beide Endpunktcodes = 0000 sind; =>Ende des Algorithmus für diese Kante ..... -> eine Polygonkante ist nicht sichtbar, falls das logische UND (bitwiese) der beiden Endpunktcodes != 0000 ist; => Ende des Algorithmus für diese Polygonkante ....... -> eine Polygonkante ist ein Clipping-Kandidat, falss das logische UND (bitweise) der beoden Endpunktcodes = 000 ist; ------------------ für Clipping-Kandidaten werden die Schnittpunkte der Polygonkante mit den Rändern des Fensters berechnet: Falls für den Endpunkt der Polygonkante: -> Bit 1 = 1, schneide die Polygonkante mit der der Geraden x = x(min) ...... -> Bit 2 = 1, schneide die Polygonkante mit der Geraden x = x(max) ...... -> Bit 3 = 1, schneide die Polygonkanten mit der Geraden y = y(min) ...... -> Bit 4 = 1, schneide die Polygonkanten mit der Geraden y = y(max) ------------------------------- Die Schnittpunkte der Polygonkanten bekommen die neuen Bereichscodes. Dann wird der Test wiederholt. ...... 2. Schritt ...... Berechnung der Schnittpunkte von Polygonkanten im Raum mit den Begrenzungsflächen des Bildraumes (3D-Clipping) -> die Schnittpunktberechnung wird vereinfacht, wenn der Bildraum in einen normalisierten (kanonischen) Bildraum transformiert wird -> Transformationsmatrix N(o) bzw. N(z), P´ = N x P

Answer 88

Ausgabeprimitive in dreidimensionalen Weltkoordinaten ..... -> Normalisierungstransformation anwenden -> am kanonischen Bildraum kappen -> Auf die Projektionsebene projizieren -> In den Viewport in 2D-Gerätekoordinaten zur Anzeige transformieren ....... zweidimensionale Gerätekoordinaten

Answer 89

Hinsichtlich der Implementierung gibt es zwei Möglichkeiten: 1. Transformation des kanonischen Bildraums der Zentralprojektion in den kanonischen Bildraum der Parallelprojektion und Kappung wie dort, ....... oder ....... 2. Modifizierung des Cohen-Sutherland-Algorithmus, d.h. ander Festlegung der Bereichscodes und andere Berechnung der Schnittpunkte ---------------------------- Nach Normalisierung, Kappung und Projektion wird in die 2D-Gerätekoordinaten transformiert (Window-Viewport-Transformation)

Answer 90

Bit 1: Punkt liegt über dem Bildraum = y > 1 Bit 2: Punkt liegt unter dem Bildraum = y < -1 Bit 3: Punkt liegt rechts vom Bildraum = x > 1 Bit 4: Punkt liegt links vom Bildraum = x < -1 Bit 5: Punkt liegt hinter dem Bildraum = z < -1 Bit 6: Punkt liegt vor dem Bildraum = z > 0

Answer 91

Anlgorithmus verläuft analog zum zweidimensionalen Fall.

Answer 92

P(t) = (SUMME; oben N, unten i=0) B(i,n)(t) * P(i) | 0 <= t <= 1

Answer 93

P(t) = (SUMME; oben n, unten i=0) N(i,k)(t) * P(i)

Answer 94

q(u) = (SUMME; oben m, unten i=0) d(i) * R(n über i) == genauer == (SUMME: oben m, unten i=0) (d(i) * N(n über i) * w(i))/((SUMME; oben m, unten j=0) N(n über j)(u) * w(j))

Answer 95

``` x´ = r * cos(Q + (PHI)) y´ = r * sin(Q + (PHI)) ```

Answer 96

``` y´ = x*cos(Q) - y*sin(Q) y´ = x*sin(Q) - y*cos(Q) ```

Answer 97

p(i) = M( i

Answer 98

P(s,t) = (SUMME; oben m, unten i=0) (SUMME; oben n, unten j = 0) N(i,k)(8) * N(j,k)(t) * P(i,j)

Answer 99

Die Strecke der Polygonkente von P(o) nach P(1) sieht in parametrisierter Darstellung so aus: -> P(t) = P(o) + t(P(1) - P(o)), 0y= t <= 1 für t= 0: P(o), für t= 1: P(1) --------------------------- Für eine Strecke (Polygonkante) von P(o)(x(o), y(o), z(o)) nach P(1)(x(1), y(1), z(1)) gilt: ..... x = x(o) + t(x(1) - x(o)), 0 <= t <= 1 ((1)) y = y(o) + t(y(1) - y(o)), 0 <= t <= 1 ((2)) z = z(o) + t(z(1) - z(o)), 0 <= t <= 1 ((3)) ...... Für t (ELEMENT VON) [0,1] liefern diese drei Gleichungen die Koordinaten aler Punkte der Strecke von P(o) nach P(1) ------------------------------- Ist z.B. das Bit 1 des Bereichscodes des Endpunkts einer Strecke gleich 1 (Punkt liegt über dem Bildraum) -> Berechnung des Schnittpunkts der Strecke mit der Ebene y = 1: ...... 1 = y(o) + t(y(1) - y(o)), aus ((2)) t = (1 - y(o))/(y(1) - y(o) (paramter t des Schnittpunktes) ..... Paramter t des schnittpunktes einsetzen in ((1)) und ((3)): x = x(o) + ((1-y(o)) * (x(1) - x(o))) / (y(1) - y(o)) x = z(o) + ((1-y(o)) * (z(1) - z(o)) / (y(1) - y(o)) ----------------------- y = 1, x und z sind die Koordinaten des Schnittpunkts der Strecke (Polygonkante) mit der Ebene y = 1

Answer 100

Die Darstellung eines Schattens zu einem gegebenen Objekt als Projektion auf seine Umgebung (z.B. Bodenfläche)

Answer 101

- > Projektionsebene: (x,z) - Ebene - > Parallelprojektion: Sonnenlicht - > Schiefwinklige Projektion: Die Projektionsrichtung ist nicht senkrecht zur Projektionsebene.

Answer 102

Bisher sind wir nur in der Lage, ein Drahtmodell (Gittermodell) der im Rechner befindlichen 3D-Objekte am Bildschirm anzuzeigen. Für eine realitätsnahe bzw. eindeutige Darstellung von Objekten ist die Berücksichtigung der Tiefeninformation erforderlich. Eine Möglichkeit hierzu ist die Entfernung der verdeckten Kanten vor der Anzeige der Objekte

Answer 103

- > Objektraum-Algorithmen (arbeiten im Weltkoordinatensystem) - > Bildraum-Algortithmen (arbeiten im Gerätekoordinatensystem)

Answer 104

Kohärenz = lokale Ähnlichkeiten -------- Berechnungen für einen Teil der Szene werden für nahe gelegene Teile wieder verwendet.

Answer 105

Das Entfernen verdeckter Kanten im 3D-raum muss hinsichtlich des logischen Ablaufs vor der Projektion auf die 2D-Ebene stattfinden, da nach der Projektion keine Tiefeninformationen mehr zur Verfügung stehen. Bei der Implementierung ist das Entfernen verdeckter Kanten häufig Bestandteil der Rasterung.

Answer 106

``` Ausgabeprimitive in dreidimensionalen weltkoordinaten ..... -> Normalisierungstransformation anwenden -> am kanonischen Bildraum kappen -> Entfernen verdeckter Kanten -> Auf die Projektionsebene projezieren -> In den Viewport in 2D-Gerätekoordinaten zur Anzeige Transformieren ..... zweidimensionale Gerätekoordinaten ```

Answer 107

- > Bei der Terminierung des Algorithmus enthält die Datenstruktur z-Puffer für jedes Pixel den z-Wert (die Tiefe) des in diesem Punkt dem Betrachter am nächsten liegenden Objekts. - > Der z-Puffer wird mit 0 initialisiert (z-Wert der hinteren Kappungsebene) - > Der Bildwiederholspeicher wird mit der Hintergrundfarbe initialisiert - > Die Polygone werden in beliebiger Reihenfolge untersucht - > Nach Abarbeitung aller Polygone enthält der Bildwiederholspeicher die Abbildung der sichtbaren Flächen.

Answer 108

``` 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 = 5 5 5 5 5 5 5 0 5 5 5 5 5 5 0 0 5 5 5 5 5 0 0 0 5 5 5 5 0 0 0 0 5 5 5 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -------------------------- oder auch anderes Bsp: -------------------------- 5 5 5 5 5 5 5 0 5 5 5 5 5 5 0 0 5 5 5 5 5 0 0 0 5 5 5 5 0 0 0 0 5 5 5 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + 3 4 3 5 4 3 6 5 4 3 7 6 5 4 3 8 7 6 5 4 3 = 5 5 5 5 5 5 5 0 5 5 5 5 5 5 0 0 5 5 5 5 5 0 0 0 5 5 5 5 0 0 0 0 6 5 5 3 0 0 0 0 7 6 5 4 3 0 0 0 8 7 6 5 4 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ----------------------- Immer die größere Zahl wird geschrieben. ```

Answer 109

-> effiziente Berechnung der Tiefenwerte benachbarter Pixel ----------------------------- Flächengleichung des Polygons: A*x + B*y + C*z + D = 0 ... Tiefe des Polygons am Punkt (x(i), y(i)): z(i,j) = - (A*x(i) + B *y(j) + D)/C ------------------------------ Für benachbarte Pixel (x(i), y(i)) und (x(i+1), y(j)) auf der Bildzeile gilt: x(i+1) = x(i) + 1 ... z(i+1, j) = - (A*(x(i) + 1) + B*y(i) + D) / C ... z(i+1, j)-z(i,j) = - (A/C) ... z(i+1, j) = z(i, j) - (A/C) ------------------------------- Analog gilt für benachbarte Pixel (x(i), y(i)) und (x(i), y(j-1)) auf der Bildspalte: y(j-1) = y(j) - 1 ... z(i, j-1) = - (A*x(i) + B* (y(i) - 1) + D) / C bzw. z(i,j-1) = z(i,j) + B/C --------------------------------- d.h. die Berechnung der Tiefenwerte benachbarter Pixel eines Polygons geschieht durch die Addition konstanter Terme.

Answer 110

- > Einfache Implementierung (-> Hardware) - > Die Ausführungszeit (bezogen auf die Szene) ist unabhängig von der Anzahl der Polygone, da die Anzahl der Pixel je Polygon (Polygongröße) abnimmt wenn die Anzahl der Polygone im Bildraum steigt.

Answer 111

-> Speicherplatzbedarf: Bei einer Auflösung von 1024 x 1024 Pixel und 32 Bit Tiefe des z-Puffers: 4MB Speicher auf der Grafikkarte.

Answer 112

-> Vorsortierung aller Polygone nach den größsten y-Werten -> für jede Rasterzeile wird eine Liste der aktiven Polygone sowie eine Liste der nach x-werten aufsteigen sortierten polygonkanten erstellt -> die Datenstruktur einer Polygonkante verweist auf das zugehörige Polygon -> Die Datenstruktur eines Polygons enthält eine Betrachtungsflagge, die angibt, ob die momentane Rasterzeilenpositiona innerhalb oder außerhalb der Polygonfläche liegt -> Zu Beginn einer Rasterzeile werden alle Flaggen auf außerhalb gesetzt -> Bei jedem Schnitt einer polygonkante mit der Rasterzeile wird die entsprechende Flagge der Polygonfläche invertiert (außerhalb -> innerhalb -> außerhalb) -> Für einen Rasterzeilenabschnitt zwischen zwei aufeinanderfolgenden Polygonkantenschnitten (span) gibt es nur zwei Möglichkeiten: -------------------------------- 1. Es ist nur eine Betrachtungsflagge gesetzt: Die Farbinformation der Pixel wird von der zugehörigen polygonfläche übernommen 2. Es sind mehrere Betrachtungsflaggen gesetzt: Für diesen Span wird aus den Flächengleichungen der Polygone die sichtbare Fläche berechnet und deren farbinformation übernommen --------------------------------- Kohärenzeigenschaft Die Berechnung ist nicht nötig, wenn dich die Reihenfolge in der Liste der nach x-Werten aufsteigend sortieren Polygonkanten gegenüber der vorhergehenden Rasterzeile nicht geändert hat. ------------------------------- problem: Bei Durchdringungen kann sich trotz gleichbleibender Reihenfolge der Polygonkanten die Sichtbarkeit ändern. ---------------------------------- Durchdringungstest für zwei Polygone P1 und P2: -> Falls gilt: sing(z1L - z2L) != sign(z1R.z2R) mit z = Tiefenwerte der Polygone an den Randpunkten schneiden sich die Polygone innerhalb von LR -> In diesem Fall wird der Schnittpunkt I der Polygone berechnet und der span LR in LO und IR geteilt. -------------------------- SIEHE BILDER SKRIPT KAPITEL 7

Answer 113

-> Geringer Speicherplatzbedarf

Answer 114

-> Die Ausführungszeit steigt mit der Anzahl der Polygone

Answer 115

- > Es gibt keinen optimalen Algorithmus - > Die Ausführungszeit ist stark abhängig von der Anzahl und der Lage der Polygone in der Szene, mit Ausnahme des z-Puffer Algorithmus

Answer 116

Algorithmus -> Anahl der Polygone (100, 2500, 60000) - --------------------------- - > Depth-Sort -> 1* -> 10 -> 507 - > z-Puffer -> 54 -> 54 -> 54 - > Scan-Line -> 5 -> 21 -> 100 - > Bereichsunterteilung nach Warncock -> 11 -> 64 -> 307 - ------------------------- * Einträge sind diesbezüglich normalisiert

Answer 117

Für die Erzeugung realitätsnaher Bilder muss eine Schattierung der dargestellten Objekte durchgeführt werden. Dabei werden diejenigen Partien eines Objektes dunkler getönt, die wenig oder gar kein Licht von den für die Szene definierten Lichtquellen erhalten. Es muss also jedes Element unseres Bildes daraufhin untersucht werden, wie viel Licht es in Richtung des Betrachters reflektiert.

Answer 118

Ein Beleuchtungsmodell ist eine Vorschrift zur Berechnung der Lichtstärke I (Intensität [Candela]) an einer bestimmten Stelle im Objektraum (Weltkoordinatensystem).

Answer 119

- > Die Farbe eines Objekts hängt vom Anteil der von ihm absorbierten, reflektierten und transmittierten Wellenlängen des Lichts ab. - > Absorbiert ein Objekt das gesamte Licht ist es den Betrachter unsichtbar (Zielsetzung der Militättechniker: Amerikanischer Tarnkappenbomber) - > Erst durch Reflexion und durch die mit der Transmission verbundene Brechung des Lichts wird ein Objekt sichtbar.

Answer 120

- > Für die ambiente Beleuchtung wird angenommen, dass k(a) unabhängig von der Blickrichtung ist und I(H) aus allen Raumwinkeln gleichmäßig auftrifft. - > Im ambienten Licht werden alle indirekten Beleuchtungen der Szene zuzsammengefasst - > Diese Grundhelligkeit wird meistens mit 10-20% der maximalen Helligkeit angenommen

Answer 121

I(amb) = I(H) * k(a) -------------------------- mit: -> I(amb): Intensität des von einem Punkt ambient reflektierten Lichts -> I(H): Intensität der Hintergrundbeleuchtung der Szene -> k(a): ambienter Reflexionskoeffizient (Materialkonstante), 0<= k(a) <= 1

Answer 122

Bei der diffusen Reflexion wird das einfallende Licht gleichmäßig in alle Richtungen reflektiert.

Answer 123

I(dif f) = I(Lq) * cos(Q) * k(d), 0 <= Q <= PI/2 ------------------------------ mit: ------------------------------ -> I(dif f): Intensität des von einem Punkt diffus reflektierten Lichts -> I(Lq): Intensität der Lichtquelle -> Q: Einfallswinkel (Winkel zwischen den Vektoren N und L) -> k(d): diffuser Reflexionswinkel (Materialkonstante), 0 <= k(d) <= 1

Answer 124

Der Kosinus von Q ist gleich dem Skalarprodukt der normierten Vektoren N und L: ---------------- N * L = |N| * |L| * cos(Q) I(diff f) = I(Lq) * (N*L) * k(d)

Answer 125

Es muss die Integration der ambienten Beleuchtung durchgeführt werden: ----------------------- I = I(diff f) + I(amb) I = I(Lq) * (N*L) * k(d) + I(H) * k(a)

Answer 126

``` Die direkte Beleuchtung (hier I(dif f) nimmt mit dem Quadrat der Entfernung d eines Objekts zur Lichtquelle ab: ----------------------- I = f(d) * I(Lq) * (N*L) * k(d) + I(H) * k(a) -------------------- mit ....... f(d): Abstandsfunktion z.B: f(d) = 1/d^2 oder f(d) = 1/(d+ d(o)) ```

Answer 127

I(p) = f(d) * I(p über Lq) * (N*L) * k(p über d) + I(p über h) + k(p über a), p (ELEMENT VON) {R, G, B}

Answer 128

Bei der spiegelnden Reflexion bilden einfallender Strahl und reflektierter Strahl mit der Oberflächennormalen denselben Winkel. Die Spiegelung wird vom Betrachter nur dann wahrgenommen, wenn die Vektoren R und A zusammenfallen

Answer 129

I(spieg) = I(Lq) * k(S) * cos^c(2alpha) ---------------------- mit ----------------------- -> I(spieg): Intensität des von einem Punkt spiegelnden reflektierten Lichts -> I(Lq): Intensität der Lichtquelle -> k(s): Spiegelnder reflexionskoeffizient (Materialkonstante), 0 <= k(s) <= 1 -> c: Streuung des reflektierten Lichts (Materialkonstante) -> 2 alpha: Winkel zwischen den Vektoren A und R

Answer 130

Die Materialkonstanten k(s) und c beeinflussen das Aussehen der Glanzlichter (highlights) - > k(s) steuert die Helligkeit des Glanzlichts - > c steuert die Größe des Glanzlichts

Answer 131

Sind die beiden vektoren A und R normiert gilt: cos(2alpha) = A * R: ----------------------- I(spieg) = I(Lq) * k(s) * (A*R)^c

Answer 132

In der Praxis weisen die meisten Oberflächen eine Mischung aus diffuser und spiegelnder Reflexion auf, sodass häufig von einer gemischten Reflexion gesprochen wird.

Answer 133

I = I(amb) + f(d) * (I(diff) + I(spieg)) ----------------- ausformuliert ----------------- I = k(a) * I(H) + f(d) * I(Lq)(N*L) + k(s)(A*R)^c)

Answer 134

Je größer man c setzt, z.B. von 3,0 auf 200, desto größer wird der Durchmesser des "Kreises", der Reflektiert. Ja größer man ks setzt, z.B. von 0,1 bis 0,5, desto stärker wird die Spiegelung an sich vo der Intensität

Answer 135

Von Transmission spricht man, wenn ein Teil des Lichts ein transparentes Objekt durchdringt und nur der restliche Teil des Lichts reflektiert wird. Die Richtungsänderung des Lichts beim Übergang zwischen Medien unterschiedlicher optischer Dichte wird als Brechung bezeichnet. Man unterscheidet zwsichen gerichteter Transmission (z.B. Klarglas) und diffuser Transmission (z.B. Milchglas).

Answer 136

``` n(1) * sin(Q) = n(2) * sin(Q)´ ------------------------- mit ---------------------------- n(1), n(2): Brechungsindizes Q: Einfallswinkel des Lichts Q´: Ausfallswinkel des Lichts ```

Answer 137

Die Berücksichtigung von Transparenz vedeutet, dass die Intensität des unmittelbar hinter dem betrachteten Objekt O(1) liegenden O(2) in die Brechung einbezogen wird.

Answer 138

I(ges 1) = (1-k(t)) * I(r1) + k(t) * I(ges 2) ------------------------------ mit ------------------------------- -> I(ges): gesamte Intensität des von einem Objekt abgestrahlten Lichts -> I(r): gesamte Intensität des von einem Objekt reflektierten Lichts -> k(t): Transmissionsgrad von Objekt O(1), 0 <= k(t) <= 1 -> 1 - k(t): reflexionsgrad von Objekt O(1), 0 <= (1.k(t)) <= 1

Answer 139

Für optisch undurchsichtige Objekte ist k(t) = 0, für vollkommen transparente Objekte ist k(t) = 1

Answer 140

Fällt der Betrachtungspunkt (die Kameraposition) nicht mit der Position der (punktförmigen) Lichtquelle zusammen, werden in der Szene Schatten sichtbar. Schattenalgorithmen stellen also fest, welche Flächen von der Lichtquelle aus sichtbar sind.

Answer 141

I = k(a) * I(H) + (SUMME; oben m, unten i=1) S(i)* f(d) * I(Lq)*(k(d)*(N*L) + k(s) * (A*R)^c) ---------------- mit ------------------ S(i) = 0: falls das Licht i an diesem Punkt blockiert wird S(i) = 1: falls das Licht i an diesem Punkt nicht blockiert wird i = [1,m]: Anzahl der Lichtquellen --------------------- Dieses Modell ist korrekt, es hat aber wegen der vielen im 3D-Raum zu verfolgender Strahlen einen großen Rechenaufwand. ..... Punkte, die im Schatten aller Lichtquellen liegen werden immer noch durch das ambiente Licht beleuchtet.

Answer 142

1. Berechnung des Schatten-Tiefenpuffers aus der Sicht der Lichtquelle 2. Berechnung des Tiefenpuffers aus der Sicht des Betrachters. Der Tiefenpuffer enthält für jedes Pixel den z-Wert (die Tiefe) des in diesem Punkt dem Betrachter am nächsten liefenden Objekts 3. Jeder Bildpunkt P(x,y,z) aus 2. wird in den Koordinatenraum vom 1. Transofmiert => P´(x´,y´,z´) 4. Ist die z-Koordinate z´des transformierten Punktes P´kleiner als der Eintrag z an der Stelle (x´,y´) im Schatten-Tiefenpuffer, dann liegt P im Schatten

Answer 143

Ein Schattierungsalgorithmus ist eine Vorschrift, an welcher Stelle der Szene welches Beleuchtungsmodell mit welchen Parametern anzuwenden ist.

Answer 144

Phase / Kennzeichen -> Algorithmen -> Modelle ----------------------------- inkrementelle Algorithmen / empirische Modelle -> konstante Einfärbung, konstante Beleuchtung, Gouraud-Algorithmus, Phong-Algorithmus -> Warnock, Romney, Bouknight, Phing, Blinn ....... Raytraicing-Algorithmen / transitionsmodelle -> Raytraicing -> Cook & Trrance, Torrance & Sparrow, Trowbridge & Reitz, Whitted ....... Radiosity Methoden / analytische Modelle -> Radiosity -> Radiosity

Answer 145

- > Inkrementelle Algorithmen: Für jeden Punkt werden die unterschiedlichen Lichtanteile aufsummiert - > Empirische Modelle: Nur auf Beobachtung beruhend - > Raytracing Algorithmen: Strahlverfolgung - > Transitionsmodelle: Simulation physikalischer Vorgänge - > Radiosity Methoden: Strahlberechnung - > Analytische Modelle: Berechnung physikalischer Vorgänge

Answer 146

-> nur ambiente Beleuchtung und diffuse Reflexion -> keine Entfernungsabhängige Lichtabnahme ..... I = k(a) * I(H) + k(d) * I(Lq) * (N*L) ..... -> Die Lichtquelle liegt im Unendlichen, deshalb ist (N*L) für jede Polygonfläche konstant.

Answer 147

- > Problem: Sprunghafte Intensitätsunterschiede an den Polygongrenzen (Mach-Band-Effekt) - > Lösung: Variable Schattierung innerhalb eines Polygons

Answer 148

-> Schattierung druch Intensitätsinterpolation ------------------------------- Algorithmus: -> zu 1: Berechnung der Normalenvektore N(A), N(B) und N(C) an den Eckpunkten des Polygons als Mittelwert der Normalenvektoren der angrenzenden Polygone (smooth Shading). ..... N(P) = (N(1) + N(2) + N(3))/3 ..... -> zu 2: Berechnung von I(A), I(B) und I(C) mit bel. Beleichtungsmodellen -> zu 3.1: Berechnung von I(1) und I(2) als lineare Interpolation von I(A), I(B) und I(C) in y-Richtung. ..... I(1) = I(A) (y-y(c))/(y(A)-y(B)) + I(C) (y(A)-y)/(y(A) - y(C)) ..... I(2) = I(A) (y-y(B))/(y(A)-y(B)) + I(B) (y(A)-y)/(y(A) - y(B)) ..... I(i) = I(1) (x(2) - x(i))/(x(2) - x(1)) + I(2) (x(i) - x(1))/(x(2)-x(1)) ..... zu 3.2: Berechnung vin I(i) als lineare Interpolation von I(1) und I(2) in x-Richtung.

Answer 149

- > Problem: Der Mach-Band-effekt wird nur zum teil beseitigt, spiegelnde Reflexionen in der Mitte von Polygonen gehen verloren. - > Lösung: Interpolation der Normalenvektoren

Answer 150

-> Schattierung durch Interpolation der Normalenvektoren ..... -> Berechnung der Normalenvektoren N(A), N(B) und N(C) wie bei der Gourand-Schattierung. -> Berechnung von N(1) und N(2) als vektorielle Interpolation von N(A), N(B) und N(C) in y-Richtung -> Berechnung von N(i) als vektorielle Interpolation von N(1) und N(2) in x-Richtung. -> Berechnung von I(i) unter Verwendung von N(i) mit bel. Beleichtungsmodell. Berechnung von A*R als Bestandteil von I(spieg) in der Beleuchtungsgleichung. ------------------------ -> Die explizite Berechnung des Vektors R kann folgendermaßen umgegangen werden: -> Berechnung des winkelhalbierenden Vektors H zwischen A und L: H = (A+L)/|A+L|, mit H,A,L normierte Vektoren ------------------------------- -> Bilden A und R den Winkeln 2alpha, dann ist der Winkel zwischen N und H gleich alpha: ..... cos(alpha) = N*H -> Es gilt: cos(2alpha) = cos^2(alpha) - sin^2(alpha) (Additionstheorem)

Answer 151

Die Phong-Schattierung liefert ansprechende Abbildungen bei wesentlich erhöhtem Rechenaufwand (im Vergleich zur Gourand-Schattierung). Der Mach-Band-Effekt wird reduziert, aber nicht vollständig beseitigt.

Answer 152

Lichtstrahlen, die eine Lichtquelle verlassen werden verfolgt, bis sie über Reflexion und Transmission an Objekten das Auge des Betrachters treffen.

Answer 153

-> Probleme: Viele unnötige Verechnungen, da nur wenige Lichtstrahlen das Auge des Betrachters erreichen. -> Lösung: Umkehrung des Verfahrens: Ausgehend vom Auge des Betrachters wird durch jedes Pixel ein Sehstrahl zurückverfolgt bis er ein Objekt oder den Hintergrund trifft. In Abhängigkeit des getroffenen Objekts werden ein reflektionsstrahl und ein Transmissionsstrahl berechnet und rekursiv zurücl verfolgt, bis diese Strahlen den Hintergrund treffen oder eine vorgegebene Tracetiefe erreicht ist. Die resultierende Farbe eines Pixels ergibt sich als gewichtete Summe der in den einzelnen rekursionsschritten berechneten Farbintensitäten.

Answer 154

Gewichtung: Abstandfunktion f(d), zusätzlich k(t) bzw. k(s). ----------------------------- I = k(a)I(H) + k(d) (SUMME; unten Lq) I(Lq)(N*L(Lq)) + k(s)(I(s) + (SUMME; unten Lq) (A * R(Lq))^c) + k(t)I(t) ---------------------------- Mit: -> I(S): Intensität des aus Reflexionsrichtung einfallenden Lichts -> I(t): Intensität des aus Transmissionsrichtung einfallenden Lichts -> k(t): Transmissionskoeffizient -> k(s): spiegelnder Reflexionskoeffizient

Answer 155

In der ersten Phase des Algorithmus wird der den Rekursionsstufen entsprechnede Strahlenbaum aufgebaut, in der zweiten Phase wird der Baum durchlaufen und die Intensitäten werden aufsummiert.

Answer 156

- > Die Ermittlung sichtbarer Flächen und die Berechnung von Schatten werden implizit erledigt - > Beeindruckende Effekte wie Transparenz mit Brechung

Answer 157

- > Großer Rechenaufwand: Die Laufzeit wächst linear mit der Pixelanzahl und exponentiell (a^x !) mit der Objektzahl x (jeder verfolgte Strahl muss auf einen Schnittpunkt mit allen Objekten getestet werden). - > Mindestens 75% der Laufzeit werden für die Schnittberechnung verwendet (umschreibende Objekte) - > Anfällig bei begrenzter Rechengenauigkeit (Rundungsfehler), falsche Schnittpunkte S´ können sich selbst verdeckende Objekte liefern. - > Anfällig für Aliasing-Effekte: Da je Pixel nur ein Sehstrahl verfolgt werden Details, die kleiner als der Abstrand zwischen benachbarten Sehstrahlen sind unterabgetastet (Antialiasing durch Überabtastung, d.h. mehrere sehstrahlen Pro Pixel)

Answer 158

Aliasfrequenzen werden wahrgenommen, wenn die Frequenz des darzustellenden Musters größer als die doppelte Abtastrate ist. Dies ist deutlich im entfernteren Teil eines z.B. Schachbrettmusters zu erkennen.

Answer 159

Strahlenberechnung: -> Idee: Erhaltung der Lichtenergie in einer geschlossenen Szene. Die gesamte von einer Fläche F(i) abgegebene Energie (Strahlung) besteht aus der abgegebenen Eigenstrahlung E(i) der Fläche, plus der Summe der von F(i) reflektierten Energien, die von allen anderen Flächen abgegeben werden.

Answer 160

B(i) = E(i) + p(i) (SUMME; oben n, unten j=1) B(j)F(i,j), 1<= i <= n ----------------------- mit ------------------------- -> B(i): gesamte von der Fläche F(i) abgegebene Energie -> E(i): Eigenstrahlung der Fläche E(i) (Bekannt) -> p(i): diffuser Reflexionskoeffizient von F(i) (Bekannt) -> B(j): gesamte von der Fläche F(j) abgegebene Energie -> F(i,j): Formfaktor -> n: Anzahl der Flächen (bekannt) ---------------------------- umordnen der Audrücke liefert: ---------------------------- B(i) - p(i) (SUMME; oben n, unten j=1) B(j)F(i,j) = E(i) ------------------------- und als lineares Gleichungssystem (LGS) -------------------------- [1 - p(1)F(11) -p(1)F(12) -p(1)F(1n) ] * [B(1)] = [E(1)] [-p(2)F(21) 1-p(2)F(22) -p(2)F(2n ] * [B(2)] = [E(2)] [ ]*[....] = [...] [-p(n)F(n1) -p(n)F(n2) 1-p(n)F(nn)] * [B(n)] = [E(n)]

Answer 161

Vor der Berechnung der Flächsenstrahlung B(i) durch Lösen des linearen Gleichungssystems (Gauß-Seidel-Verfahren) müssen die Formfaktoren F(ij) berechnet werden.

Answer 162

Die starhlungstechnische Auswirkung der Fläche F(j) auf die Fläche F(i)

Answer 163

Formfaktor zwischen dF(j) und dF(i): ..... dF(didj) = (cos(Q(i)) * cos(Q(j)))/(PI * r^2)b(ij)dF(j) mit: b(ij) = Blockierungsfunktion (1 und 0, je nachdem dF(j) von dF(i) aus sichtbar ist oder nicht) ----------------------------- F(dij) ergibt sich durch die Integration (Aufsummierung) über der Fläche F(j): ..... F(dij) = (INTEGRAL; unten Fj) (cos(Q(i)) * cos(Q(j))/(PI * r^2))b(ji)dF(j) ------------------------------- F(ij) ist der Mittelwert von der Integration über die Fläche F(j): ..... F(ij) = 1/F(i) (INTEGRAL; unten F(i)) (INTEGRAL; unten F(j) (cos(Q(i)) * cos(Q(j))/PI*r^2)b(ij)dF(j)dF(i)

Answer 164

Es kann gezeigt werden, dass der Formfaktor F(ij) gleich dem Quotient der auf die Grundfläche der Halbkugel projizierten Fläche F(j) und der Grundfläche der Halbkugel ist. Für die Berechnung wird die Halbkugel durch einen Halbwürfek erssetzt.

Answer 165

- > Berechnung der Intensitäten in den Eckpunkten der Flächenelemente durch Mittelwertberechnung der Flächenstrahlungen (B(i)) - > Schattierung durch Intensitätsinterpolation (Gourand-Schattierung)

Answer 166

Realistische Darstellung einer Szene bezüglich deren diffuser Reflexion.

Answer 167

- > Großer Rechenaufwand: 10^4 Flächenelemente F(i) liefern 10^8 Formfaktoren F(ij), das LGS zur Berechnung der n=10^4 Flächenstrahlungen B(i) hat eine Berechnungskomplexität der Größenordnung O(n^3) (polynominelles Wachstum) - > Bei Bewegung von Objekten in der Szene müssen die Formfaktoren F(ij) und das LGS neu berechnet werden - > Ändern sich die Farb- oder Beleuchtungsparameter (z.B. die Intenisität einer Lichtqiuelle) muss das LGS neu berechnet werden. - > Änder sich nur der Blickpunkt (Viewpoint = Kamerapostion) muss nur der Gourand-Algorithmus neu ausgeführt werden (in Realzeit möglich, siehe "Virutelles Studio") - > Keine spiegelnde Reflexion und keine Transparenz, deshalb Kombination von Radiosity und Raytracin (Selektives = objektbezogenes Raytracing)

Answer 168

Bei feinen Details ist eine explizite Modellierung mit Plygonen zu aufwändig. Einfacher ist die Verwendung eines zweidimensionalen Musterfeldes (Texture Map), das auf die Oberfläche eines Objekts abgebildet wird.

Answer 169

-> 1. Abbildung der vier Ecken eines Pixels auf die (gekrümmte) Objektoberfläche: Abbildung Bildraum -> Obkektraum -> 2. Abbildung der Objektoberfäche auf das Musterfeld; Berechnung des Farbwertes des Pixels ggfs. als gewichteter Mittelwert der Fläche im Musterfeld: Abbildung Objektraum -> Texturraum

Answer 170

Verzerrungen bei Texturprojektionen auf gekrümmte Flächen.

Answer 171

Verwendung von Hilfsflächen (hilfskörpern), die die Projektionsrichtung festlegen. - ----------------------- - > Texturprojektion über eine zylinderförmige Hilfsfläche auf die Objektoberfläche entlang der Hilfsflächennormalen. - > Die zylinderförmige Projektion funktioniert am besten für den Zylinder und ergibt bei den Anderen Modellen mehr oder weniger starke Verzerrungen. - -------------------------- - > Texturprojektion über eine kugelförmige Hilfsfläche auf die Objektoberfläche entlang von den Strahlen aus dem Objektmittelpunkt auf die Hilfsfläche. - > Die kugelförmige Projektion funktioniert am besten für die Kugel und ergibt bei den anderen Modellen mehr oder weniger starke Verzerrungen. - ------------------------- - >Texturprojektion über eine kubusförmige Hilfsfläche, auf die Objektfläche entlang von Strahlen aus dem Objekmittelpunkt auf die Hilfsfläche. - > Die kubusförmige Projektion funktioniert am besten für den Würfel und ergibt bei den anderen Modellen eine mehr oder weniger starke Verzerrungen.

Answer 172

-> Anfällig für Aliasing-Effekte, wenn ein Pixel im Bildraum mehreren Pixeln im Texturraum entspricht (Unterabtastung) ..... Lösung: -> Skalierugn der Textur

Answer 173

- > Abbildung von 3D-Texturräumen auf 3D-Objekte - > Dadurch soll der Eindruck erzeugt werden, dass das dargestellte Objekt aus einem bestimmten Material (z.B. Marmor, Holz) herausgeschnitten wurde. - > Die Repräsentation des Texturraums kann explizit als 3D-Muster oder prozedual durch eine Funktion von drei Koordinaten vorgenommen werden.

Answer 174

- > Um den Eindruck von unebenen Oberflächenstrukturen zu erwecken, wenden im Musterfeld Zusatzinformaitonen über die Veränderung der Flächennormalen gespeichert. - > Eine Störfunktion S(u,v) verändert die Richtung des Normalenvektors bevor er im Beleuchtungsmodell benutzt wird.

Answer 175

Hier wenden nicht die Flächennormalen verschoben, sondern die Flächen selbst.

Answer 176

Spiegelungen auf Objektoberflächen können erzeugt werden, indem die Szene auf die Oberfläche spiegelnd projiziert wird und dann als 2D texture map verwendet wird.

Answer 177

- > Datenbanken durchlaufen - > Modellierungstransformation: Abbildung der Objekte aus den Modellkoordinaten in Weltkoordinaten - > Trivial ablehnen: Entfernen der Objekte, die vollständig außerhalb des Bildraums sind - > Beleuchtung: Berechnung der Intensität an jedem Knoten (Gourand-Schattierung) im Weltkoordinatensystem - > Darstellungstransformation: Transformation des Weltkoordinatensystems in einen nomalisierten (kanonischen) Bildraum (Koordinaten 0 bis +-1) - > Kappung: 3D-Kappung am kanonischen Bildraum - > Projektion, WVT (Window Viewport Transformation): Projektion auf die Betrachtungsebene (Viewplane), Umrechnung in Bildschirmkoordinaten - > Rasterung: z-Puffer-Algorithmus und Berechnung des Farbwerts jedes Pixels durch Intensitätsinterpolation (Gourand-Schattierung) - > Anzeige

Answer 178

- > Datenbank durchlaufen - > Modellierungstransformation - > Trivial ablehnen - > Darstellungstransformation - > Kappung - > Projektion, WVT - > Rasterung: (einschließlich Beleuchtung): z-Puffer Algorithmus mit Beleuchtung und Berechnung des Farbwerts jedes Pixels durch Normaleninterpolation (Pong-Schattierung). Die Beleuchtungsgleichung wird bei der rasterung für jedes Pixel ausgewertet. Dabei ist der Zugriff auf das weltkoordinatensystem notwendig. - > Anzeige

Answer 179

- > Datenbanken durchlaufen - > Modellierungstransformation - > Raytracing - > Anzeige

Answer 180

-> Datenbanken durchlaufen -> Modellierungstransformaiton -> Berechnugn der Knotenintensitäten durch Radiosity: Unabhängig vom Blickpunkt durch Berechnung der Formfaktoren und Lösung des LGS -> Neue Datenbank ...... -> Neue Datenbank durchlaufen -> Trivial ablehnen -> Darstellungstransformation -> Kappung -> Projektion, WVT -> Rasterung: z-Puffer-Algorithmus und Berechnung des Farbwerts jedes Pixels durch Intensitätsinterpolation (Gourand-Schattierung) -> Anzeige

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