chap.1 : fonctions à plusieurs variables réelles Flashcards
définition d’une fonction à deux variables :
f : D ⩽ ℝ² –> ℝ
(x ; y) –> z = f ( x ; y)
quelle est la représentation d’une fonction à deux variables ?
Une surface dans l’espace constituée de l’ensemble des points z de coordonnées ( x ; y ; z ) avec z = f ( x ; y)
projection orthogonale du graphe sur le plan xOy ?
On obtient le domaine de définition de la fonction
définition du domaine de définition de f ( x; y) ?
noté Df,
ensemble des points (x ; y) pour lesquels il est possible de calculer f ( x ; y)
quel est le graphe de la fonction ?
c’est l’ensemble {(x,y, f(x,y)) ∈ R3, (x,y) ∈ Df}
continuité d’une fonction à deux variables ?
continue en un point (x0, y0) du Df ssi :
quelque soit le chemin passant par (x0,y0) emprunté, lorsque (x,y) –> (x0, y0), la lim. de f(x,y) = f(x0, y0)
Opérations pour lesquelles la continuité est préservée ?
continuité préservée pour :
- addition
- produit
- division
en général pour la composition
comment déterminer la continuité d’une fonction à deux variables ?
on utilise les coordonnées polaires :
x = rcosθ
y = rsinθ
et on regarde la lim suivante :
lim ( r ->0) de f(rcosθ, rsinθ)
deux cas possibles dans la continuité avec les polaires :
- Pour tout θ dans [0, 2pi[, lim = f(x0, y0)
dans ce cas-là, continue - Il existe un θ pour lequel, lim ≠ f(x0, y0)
dans ce cas-là, C-E : non continue
fonctions partielles :
On part d’une fonction à deux variables. Sur I1, on fixe y0. Sur I2, on fixe x0.
On définit deux applications partielles :
- f1 : part de x ∈ I1 et lui associe f(x,y0) = on a fixé y, on se balade avec les x.
- f2 : part de y ∈ I2 et lui associe f(x0,y) = on a fixé x, on se balade avec les y.
Avec une variable fixée, f devient une fonction à une variable seulement.
Implication avec les fonctions partielles :
On suppose que f est continue au point M0.
Alors, l’application f1 est continue en x0 et l’application f2 est continue en y0.
= sont continues au point qui n’est pas fixé en 0.
MAIS : attention réciproque fausse : même si les applications partielles sont continues, cela ne signifie pas que f est continue.
forme d’une application linéaire de deux variables ?
L : (h,k) ∈ R² –> A x h + B x k
avec A et B deux constantes.
notation de la différentielle de f au point (x0, y0) dans la direction
df (x0, y0) (h,k)
= l’application linéaire que nous avons défini juste avant, avec A la dp/x et B la dp/y
définition formelle : différentiabilité :
f est diff en Mo s’il existe :
- une appli linéaire L
- une fonction Ɛ définie en Mo tq Ɛ (h,h) tend vers zéro quand (h,k) –> (0,0) et on a :
f(xo+h, yo+k) = f(xo,yo) + hA +kB+ ||(h,k)||xƐ
=f(xo+h, yo+k) = f(xo,yo) + df + ||(h,k)||xƐ
propriétés des fonctions différentiables :
- il existe un unique plan tangent à la surface z = f(x , y) au point (z, x, y) sinon ne sont pas différentiable.
- la différentielle est une application linéaire.
condition suffisante de la différentiabilité :
si f admet deux dérivées partielles d’ordre 1 au point (x0, y0) et si elles sont toutes les deux continues :
ALORS : f est différentiable en (x0, y0)
(réciproque pas forcément vraie)
définition d’un disque ouvert ?
On appelle disque ouvert centré en M0 et de rayon η, l’ensemble défini par :
B(M0, η) = M(x, y) ∈ R2, avec ||MOM || < η
définition formelle : dérivée partielle en un point :
- si f1 est dérivable en x0 alors f admet une dp. par rapport à x.
- si f2 est dérivable en y0 alors f admet une dp par rapport à y.
calcul pratique : montrer que les dp d’ordre 1 existent :
prouver que la limite du taux d’accroissement existe et est finie, en utilisant les h et les k.
lien entre différentiabilité et continuité :
Si f est différentiable en Mo, elle est continue en ce point.
diff ⇒ continue
lien entre différentiabilité et dp :
si f est différentiable en Mo, alors elle admet des dp. en Mo
fonction continûment différentiable :
f est “ “ si elle admet des dérivées partielles continues en tout point appartenant à son ensemble de départ.
En pratique, comment justifie-t-on que la fonction est continûment différentiable ?
- si on a l’expression algébrique, on cite les opérations usuelles sur fonctions usuelles
- si f(0,0) est définie par une valeur particulière, alors on justifie en démontrant la CS de continuité des deux dp.
rappel : fonction à une variable de classe 1
si la fonction est de classe C1, alors sa dérivée est continue.
De plus, on sait qu’elle est elle-même continue puisque la dérivabilité entraîne la continuité
Fonction de classe C2 sur D
Si f est de classe C1 sur D ⊂ R et que toutes ses dérivées partielles sont C1 sur D, alors on dit que f est de classe C2 sur D
Fonction de classe Ck :
Par récurrence sur k ∈ N, si f est de classe Ck sur D ⊂ R² et que toutes ses dérivées partielles d’ordre k sont de classe C1 sur D, alors on dit que f est de classe Ck+1 sur D
Fonctions usuelles dont on admet la continuité ?
polynôme, cos, sin, tan, exp, ln, arctan
⚠ : racine, arcos, arcsin pour le Df
Théorème de symétrie de Schwartz :
D ⊂ R², f va de D dans R de classe C² sur D. Alors, les dérivées secondes partielles croisées sont égales.
Pour appliquer une formule de T-Y à l’ordre n, de quelle classe doit-être la fonction ?
elle doit être de classe n sur D
point de minimum local :
(x0, y0= point de mini local si :
f(x0, y0) ⩽ f(x,y) pour tout point au voisinage de (x0, y0)
définition formelle : si ∃η > 0, ∀M dans B(Mo,η) ∩ D, f(M) ⩾ f(Mo)
point de maximum local :
(x0, y0= point de maxi local si :
f(x0, y0) ⩾ f(x,y) pour tout point au voisinage de (x0, y0)
définition formelle : si ∃η > 0, ∀M dans B(Mo,η) ∩ D, f(M) ⩽ f(Mo)
point de maxi global :
(x0, y0= point de maxi global si :
f(x0, y0) ⩾ f(x,y) pour tout point de l’ensemble de définition de la fonction
extrema : condition nécessaire d’optimalité :
f de classe C1.si Mo est un point d’extremum local de f sur D alors :
∂x et ∂x sont nulles en (x0,y0)
étude du signe : delta > 0
pas de min local ou max local : point selle
étude du signe : delta = 0 :
pas de conclu possible
étude du signe : delta < 0 :
dépend du signe de a :
- a < 0 : admet un max
- a > 0 : admet un min
