chap.1 : fonctions à plusieurs variables réelles

Question 1

définition d’une fonction à deux variables :

Answer 1

f : D ⩽ ℝ² –> ℝ
(x ; y) –> z = f ( x ; y)

Question 2

quelle est la représentation d’une fonction à deux variables ?

Answer 2

Une surface dans l’espace constituée de l’ensemble des points z de coordonnées ( x ; y ; z ) avec z = f ( x ; y)

Question 3

projection orthogonale du graphe sur le plan xOy ?

Answer 3

On obtient le domaine de définition de la fonction

Question 4

définition du domaine de définition de f ( x; y) ?

Answer 4

noté Df,
ensemble des points (x ; y) pour lesquels il est possible de calculer f ( x ; y)

Question 5

quel est le graphe de la fonction ?

Answer 5

c’est l’ensemble {(x,y, f(x,y)) ∈ R3, (x,y) ∈ Df}

Question 6

continuité d’une fonction à deux variables ?

Answer 6

continue en un point (x0, y0) du Df ssi :
quelque soit le chemin passant par (x0,y0) emprunté, lorsque (x,y) –> (x0, y0), la lim. de f(x,y) = f(x0, y0)

Question 7

Opérations pour lesquelles la continuité est préservée ?

Answer 7

continuité préservée pour :
- addition
- produit
- division
en général pour la composition

Question 8

comment déterminer la continuité d’une fonction à deux variables ?

Answer 8

on utilise les coordonnées polaires :
x = rcosθ
y = rsinθ
et on regarde la lim suivante :
lim ( r ->0) de f(rcosθ, rsinθ)

Question 9

deux cas possibles dans la continuité avec les polaires :

Answer 9

• Pour tout θ dans [0, 2pi[, lim = f(x0, y0)
  dans ce cas-là, continue
• Il existe un θ pour lequel, lim ≠ f(x0, y0)
  dans ce cas-là, C-E : non continue

Question 10

fonctions partielles :

Answer 10

On part d’une fonction à deux variables. Sur I1, on fixe y0. Sur I2, on fixe x0.
On définit deux applications partielles :
- f1 : part de x ∈ I1 et lui associe f(x,y0) = on a fixé y, on se balade avec les x.
- f2 : part de y ∈ I2 et lui associe f(x0,y) = on a fixé x, on se balade avec les y.
Avec une variable fixée, f devient une fonction à une variable seulement.

Question 11

Implication avec les fonctions partielles :

Answer 11

On suppose que f est continue au point M0.
Alors, l’application f1 est continue en x0 et l’application f2 est continue en y0.
= sont continues au point qui n’est pas fixé en 0.
MAIS : attention réciproque fausse : même si les applications partielles sont continues, cela ne signifie pas que f est continue.

Question 12

forme d’une application linéaire de deux variables ?

Answer 12

L : (h,k) ∈ R² –> A x h + B x k
avec A et B deux constantes.

Question 13

notation de la différentielle de f au point (x0, y0) dans la direction

Answer 13

df (x0, y0) (h,k)
= l’application linéaire que nous avons défini juste avant, avec A la dp/x et B la dp/y

Question 14

définition formelle : différentiabilité :

Answer 14

f est diff en Mo s’il existe :
- une appli linéaire L
- une fonction Ɛ définie en Mo tq Ɛ (h,h) tend vers zéro quand (h,k) –> (0,0) et on a :
f(xo+h, yo+k) = f(xo,yo) + hA +kB+ ||(h,k)||xƐ

=f(xo+h, yo+k) = f(xo,yo) + df + ||(h,k)||xƐ

Question 15

propriétés des fonctions différentiables :

Answer 15

• il existe un unique plan tangent à la surface z = f(x , y) au point (z, x, y) sinon ne sont pas différentiable.
• la différentielle est une application linéaire.

Question 16

condition suffisante de la différentiabilité :

Answer 16

si f admet deux dérivées partielles d’ordre 1 au point (x0, y0) et si elles sont toutes les deux continues :
ALORS : f est différentiable en (x0, y0)
(réciproque pas forcément vraie)

Question 17

définition d’un disque ouvert ?

Answer 17

On appelle disque ouvert centré en M0 et de rayon η, l’ensemble défini par :
B(M0, η) = M(x, y) ∈ R2, avec ||MOM || < η

Question 18

définition formelle : dérivée partielle en un point :

Answer 18

• si f1 est dérivable en x0 alors f admet une dp. par rapport à x.
• si f2 est dérivable en y0 alors f admet une dp par rapport à y.

Question 19

calcul pratique : montrer que les dp d’ordre 1 existent :

Answer 19

prouver que la limite du taux d’accroissement existe et est finie, en utilisant les h et les k.

Question 20

lien entre différentiabilité et continuité :

Answer 20

Si f est différentiable en Mo, elle est continue en ce point.
diff ⇒ continue

Question 21

lien entre différentiabilité et dp :

Answer 21

si f est différentiable en Mo, alors elle admet des dp. en Mo

Question 22

fonction continûment différentiable :

Answer 22

f est “ “ si elle admet des dérivées partielles continues en tout point appartenant à son ensemble de départ.

Question 23

En pratique, comment justifie-t-on que la fonction est continûment différentiable ?

Answer 23

• si on a l’expression algébrique, on cite les opérations usuelles sur fonctions usuelles
• si f(0,0) est définie par une valeur particulière, alors on justifie en démontrant la CS de continuité des deux dp.

Question 24

rappel : fonction à une variable de classe 1

Answer 24

si la fonction est de classe C1, alors sa dérivée est continue.
De plus, on sait qu’elle est elle-même continue puisque la dérivabilité entraîne la continuité

Question 25

Fonction de classe C2 sur D

Answer 25

Si f est de classe C1 sur D ⊂ R et que toutes ses dérivées partielles sont C1 sur D, alors on dit que f est de classe C2 sur D

Question 26

Fonction de classe Ck :

Answer 26

Par récurrence sur k ∈ N, si f est de classe Ck sur D ⊂ R² et que toutes ses dérivées partielles d’ordre k sont de classe C1 sur D, alors on dit que f est de classe Ck+1 sur D

Question 27

Fonctions usuelles dont on admet la continuité ?

Answer 27

polynôme, cos, sin, tan, exp, ln, arctan
⚠ : racine, arcos, arcsin pour le Df

Question 28

Théorème de symétrie de Schwartz :

Answer 28

D ⊂ R², f va de D dans R de classe C² sur D. Alors, les dérivées secondes partielles croisées sont égales.

Question 29

Pour appliquer une formule de T-Y à l’ordre n, de quelle classe doit-être la fonction ?

Answer 29

elle doit être de classe n sur D

Question 30

point de minimum local :

Answer 30

(x0, y0= point de mini local si :
f(x0, y0) ⩽ f(x,y) pour tout point au voisinage de (x0, y0)

définition formelle : si ∃η > 0, ∀M dans B(Mo,η) ∩ D, f(M) ⩾ f(Mo)

Question 31

point de maximum local :

Answer 31

(x0, y0= point de maxi local si :
f(x0, y0) ⩾ f(x,y) pour tout point au voisinage de (x0, y0)

définition formelle : si ∃η > 0, ∀M dans B(Mo,η) ∩ D, f(M) ⩽ f(Mo)

Question 32

point de maxi global :

Answer 32

(x0, y0= point de maxi global si :
f(x0, y0) ⩾ f(x,y) pour tout point de l’ensemble de définition de la fonction

Question 33

extrema : condition nécessaire d’optimalité :

Answer 33

f de classe C1.si Mo est un point d’extremum local de f sur D alors :
∂x et ∂x sont nulles en (x0,y0)

Question 34

étude du signe : delta > 0

Answer 34

pas de min local ou max local : point selle

Question 35

étude du signe : delta = 0 :

Answer 35

pas de conclu possible

Question 36

étude du signe : delta < 0 :

Answer 36

dépend du signe de a :
- a < 0 : admet un max
- a > 0 : admet un min