chap. 2 : Analyse vectorielle

Question 1

vecteur de ℝ^3 :

Answer 1

élément de trois composantes qui définit une longueur et un sens, noté :
u (flèche) = (a,b,c) avec ses 3 coordonnées

Question 2

Somme de deux vecteurs :

Answer 2

somme des mêmes composantes

Question 3

Produit par un réel :

Answer 3

produit des composantes par ce réel

Question 4

Produit scalaire :

Answer 4

produit des coordonnées

Question 5

autre formule pour le produit scalaire :

Answer 5

u⋅v =∥u ∥×∥v ∣×cos(u ,v )

Question 6

produit scalaire entre deux vecteurs orthogonaux :

Answer 6

nul

Question 7

formule du produit vectoriel

Answer 7

u vect v =∥u ∥×∥v ∣×sin(u ,v )

Question 8

quel est le résultat d’un produit vectoriel entre deux vecteurs ?

Answer 8

un troisième vecteur, orthogonal aux deux autres. Ces trois vecteurs forment donc un repère direct dans l’espace

Question 9

Quand est-ce que le produit vectoriel est nul ?

Answer 9

Quand les deux vecteurs sont colinéaires.

Question 10

A quoi est égal : || u1 vect u2 || ?

Answer 10

à l’aire du parallélogramme construit par u1 et u2

Question 11

fonction vectorielle :

Answer 11

fonction qui à chaque point de l’espace associe un vecteur

Question 12

champ de vecteurs :

Answer 12

de R3
c’est une fonction vectorielle définie de R3 dans R3
Chaque sous-fonction scalaire donne le comportement du vecteur dans une direction (i, j ou k)

Question 13

formule du gradient :

Answer 13

dérivées partielles d’ordre 1

Question 14

définition formelle du gradient d’une fonction :

Answer 14

• champ de vecteurs
• direction : perp. à la surface de f
• sens : direction de + grande pente ( vers là où f est croissante)

Question 15

Que décrivent les vecteurs du gradient ? Interprétation du gradient ?

Answer 15

ils décrivent les variations de f.
Le gradient est une fonction vectorielle (associée à une fonction scalaire), qui pointe dans la direction de variation maximale de la fonction scalaire

Dans des buts d’optimisation, on va étudier -grad : donne la direction à suivre pour minimiser la fonction

Question 16

propriétés du gradient :

Answer 16

• gradient d’une somme = somme des gradients
• grad (fg) = fgrad(g) + ggrad(f)
• grad (αf) = αgrad(f)

Question 17

formule du rotationnel d’un champ de vecteurs :

Answer 17

rotationnel = champ de vecteur
produit vectoriel entre le gradient et le champ de vecteurs

Question 18

interprétation du rotationnel :

Answer 18

• capacité du champ vectoriel à engendrer le mouvement en rotation
• indique l’axe de rotation d’un champ de vecteur tourbillonnant

Question 19

propriétés du rot :

Answer 19

• rot d’une somme = somme des rot
• rot (αV) = αrot(V)
• rot (f x V) = frot(V) + grad(f) vect V
• f, admet des dp d’ordre 2 continues : alors le rotationnel de son gradient est nul

Question 20

Sous quelles conditions est-ce qu’un champ de vecteurs dérive d’un potentiel scalaire ?

Answer 20

V dérive d’un potentiel scalaire f(x,y,z) ssi :
- f est différentiable
- V = grad(f)
= le champ de vecteur est égal à la dérivation de la fonction (il dérive donc bien de la fonction scalaire)

Question 21

Propriétés : V dérivant d’un potentiel scalaire :

Answer 21

• si V dérive de f, et que f admet des dp d’ordre 2, alors rot(V) = 0
• si rot(V) est nul, alors V dérive d’un potentiel scalaire f

Question 22

Quelles sont les étapes pour savoir si un V dérive d’un potentiel scalaire ?

Answer 22

on utilise la propriété :
si le rot(V) = 0, alors il dérive d’un PS.
1) calcul du rot : si =0 : dérive d’un PS
2) pour trouver le potentiel scalaire : on écrit :
il existe une fonction telle que grad(f) = V. et on intègre

Question 23

Interprétation de la divergence d’un champ de vecteur ?

Answer 23

c’est une fonction indiquant la tendance d’un champ de vecteur à diverger à partir de ou vers un point M en fonction du signe?

Question 24

Formule de la divergence :

Answer 24

produit scalaire entre le gradient et le champ de vecteur
= la somme des dérivées partielles

Question 25

propriétés de la divergence :

Answer 25

• somme de la div de 2 champs de vecteurs: somme des deux divs
• div (αV) = αdiv(V)
• div (fV) = f div(V) + grad(f).V
• div (U vect V) = V. rot(U) - U.rot(V)
• V et ses trois fonctions P,Q, et R admettant des dp d’ordre 2 continues.
  ALORS : div(rot(V)) = 0

Question 26

Champ de vecteur V qui dérive d’un potentiel vecteur U

Answer 26

avec U = (P,Q,R)
ssi :
- P Q et R sont différentiables
- rot(U)=V

Question 27

propriété V dérive de U :

Answer 27

Si div(V) = 0, il dérive d’un potentiel vecteur
(càd : V = rot(U)

Question 28

Laplacien d’une fonction :

Answer 28

Δ(f) = somme des secondes dérivées partielles de f par rapport à chacune des variables x1, x2, …, xn

Question 29

propriété du Laplacien :

Answer 29

Δ(f) = div(grad(f))

Question 30

Interprétation du Laplacien :

Answer 30

> 0 : le graphe de f est localement convexe au v(Mo)
= 0 : le graphe de f est localement plat au v(Mo)
< 0 : le graphe de f est localement concave au v(Mo)