chap. 2 : Analyse vectorielle Flashcards
vecteur de ℝ^3 :
élément de trois composantes qui définit une longueur et un sens, noté :
u (flèche) = (a,b,c) avec ses 3 coordonnées
Somme de deux vecteurs :
somme des mêmes composantes
Produit par un réel :
produit des composantes par ce réel
Produit scalaire :
produit des coordonnées
autre formule pour le produit scalaire :
u⋅v =∥u ∥×∥v ∣×cos(u ,v )
produit scalaire entre deux vecteurs orthogonaux :
nul
formule du produit vectoriel
u vect v =∥u ∥×∥v ∣×sin(u ,v )
quel est le résultat d’un produit vectoriel entre deux vecteurs ?
un troisième vecteur, orthogonal aux deux autres. Ces trois vecteurs forment donc un repère direct dans l’espace
Quand est-ce que le produit vectoriel est nul ?
Quand les deux vecteurs sont colinéaires.
A quoi est égal : || u1 vect u2 || ?
à l’aire du parallélogramme construit par u1 et u2
fonction vectorielle :
fonction qui à chaque point de l’espace associe un vecteur
champ de vecteurs :
de R3
c’est une fonction vectorielle définie de R3 dans R3
Chaque sous-fonction scalaire donne le comportement du vecteur dans une direction (i, j ou k)
formule du gradient :
dérivées partielles d’ordre 1
définition formelle du gradient d’une fonction :
- champ de vecteurs
- direction : perp. à la surface de f
- sens : direction de + grande pente ( vers là où f est croissante)
Que décrivent les vecteurs du gradient ? Interprétation du gradient ?
ils décrivent les variations de f.
Le gradient est une fonction vectorielle (associée à une fonction scalaire), qui pointe dans la direction de variation maximale de la fonction scalaire
Dans des buts d’optimisation, on va étudier -grad : donne la direction à suivre pour minimiser la fonction
propriétés du gradient :
- gradient d’une somme = somme des gradients
- grad (fg) = fgrad(g) + ggrad(f)
- grad (αf) = αgrad(f)
formule du rotationnel d’un champ de vecteurs :
rotationnel = champ de vecteur
produit vectoriel entre le gradient et le champ de vecteurs
interprétation du rotationnel :
- capacité du champ vectoriel à engendrer le mouvement en rotation
- indique l’axe de rotation d’un champ de vecteur tourbillonnant
propriétés du rot :
- rot d’une somme = somme des rot
- rot (αV) = αrot(V)
- rot (f x V) = frot(V) + grad(f) vect V
- f, admet des dp d’ordre 2 continues : alors le rotationnel de son gradient est nul
Sous quelles conditions est-ce qu’un champ de vecteurs dérive d’un potentiel scalaire ?
V dérive d’un potentiel scalaire f(x,y,z) ssi :
- f est différentiable
- V = grad(f)
= le champ de vecteur est égal à la dérivation de la fonction (il dérive donc bien de la fonction scalaire)
Propriétés : V dérivant d’un potentiel scalaire :
- si V dérive de f, et que f admet des dp d’ordre 2, alors rot(V) = 0
- si rot(V) est nul, alors V dérive d’un potentiel scalaire f
Quelles sont les étapes pour savoir si un V dérive d’un potentiel scalaire ?
on utilise la propriété :
si le rot(V) = 0, alors il dérive d’un PS.
1) calcul du rot : si =0 : dérive d’un PS
2) pour trouver le potentiel scalaire : on écrit :
il existe une fonction telle que grad(f) = V. et on intègre
Interprétation de la divergence d’un champ de vecteur ?
c’est une fonction indiquant la tendance d’un champ de vecteur à diverger à partir de ou vers un point M en fonction du signe?
Formule de la divergence :
produit scalaire entre le gradient et le champ de vecteur
= la somme des dérivées partielles
propriétés de la divergence :
- somme de la div de 2 champs de vecteurs: somme des deux divs
- div (αV) = αdiv(V)
- div (fV) = f div(V) + grad(f).V
- div (U vect V) = V. rot(U) - U.rot(V)
- V et ses trois fonctions P,Q, et R admettant des dp d’ordre 2 continues.
ALORS : div(rot(V)) = 0
Champ de vecteur V qui dérive d’un potentiel vecteur U
avec U = (P,Q,R)
ssi :
- P Q et R sont différentiables
- rot(U)=V
propriété V dérive de U :
Si div(V) = 0, il dérive d’un potentiel vecteur
(càd : V = rot(U)
Laplacien d’une fonction :
Δ(f) = somme des secondes dérivées partielles de f par rapport à chacune des variables x1, x2, …, xn
propriété du Laplacien :
Δ(f) = div(grad(f))
Interprétation du Laplacien :
> 0 : le graphe de f est localement convexe au v(Mo)
= 0 : le graphe de f est localement plat au v(Mo)
< 0 : le graphe de f est localement concave au v(Mo)
