chap. 5 : l'oscillateur harmonique

Question 1

équation d’équilibre dynamique d’un système à un degré de liberté :

Answer 1

mx’’ = F(x)

Question 2

développement limité de mx’’ = F(x) autour d’une position d’équilibre xe

Answer 2

x = xe+h :
mh’’= F(xe) + F’(xe)h + F’‘(xe) x h²/2 + o(h²)
on sait que F(xe) = 0 puisque c’est une position d’éq.

Question 3

dans le cas général, but :

Answer 3

approcher l’équation d’équilibre dynamique au premier ordre non nul en fonction de la valeur de F’(xe)

Question 4

• F’(xe) < 0 :

Answer 4

l’équation d’équilibre dynamique devient alors à l’ordre 1 :
mh’’ - F’(xe) = 0
solutions : fonctions sinusoïdales en temps.
h’‘-hω²=0
Acos(ωt) + Bsin(ωt)
on obtient une approximation harmonique du système oscillant autour de xe
(+ : si F’(xe) < 0 : d²Ep>0 on retrouve bien une position d’éq. stable)

Question 5

• F’(xe) > 0 :

Answer 5

l’équation d’équilibre dynamique est encore à l’ordre 1 :
mh’’ - F’(xe) = 0
solutions : fonctions exponentielles croissante et décroissante en temps.
h’‘-hω²=0
h(t) = Ae^ωt + Be^-ωt
Les solutions peuvent donc diverger et xe ≠ stable.
⚠ : ce n’est pas parce que la solu de l’équa linéarisée diverge que c’est le cas de la solution de l’équation exacte.

Question 6

• F’(xe) = 0 :

Answer 6

on ne peut pas conclure à l’ordre 1 : il faut passer à l’ordre supérieur du DL : F’‘(xe)

Question 7

cas où F’(xe) = 0 : F’‘(xe) ≠ 0 :

Answer 7

alors la force qui s’exerce sur le système étant toujours du même signe pour h>0 et h<0 (on a F”(xe)h²/2), elle sera de rappel dans l’un des deux cas et répulsive dans l’autre.
–> xe non stable et pas d’oscillation

Question 8

cas où F’(xe) = 0 : F’‘(xe) = 0 :

Answer 8

il faut regarder aux ordre supérieurs.
Mais dans ce cas les oscillations ne seront plus linéaires et donc l’approximation ne sera plus harmonique.

Question 9

équation d’équilibre dynamique d’un oscillateur harmonique conservatif à un DDL :

Answer 9

mouvement autour de xe.
x le ddl :
x”+ ω²x=0, avec ω la pulsation propre du système et des C.I du type : x(0) = x0 et // x’(0)

Question 10

Solution de l’équation d’équilibre dynamique d’un oscillateur harmonique conservatif à un DDL :

Answer 10

x(t) = Acos (ωt + φ) ou encore :
K1cos(ωt) + K2sin(ωt)
avec : K1 : Acos(φ) et K2 : -Asin(φ)

Question 11

infos supp sur l’équation d’équilibre dynamique d’un oscillateur harmonique conservatif à un DDL :

Answer 11

• A = amplitude des oscillations
• φ = phase des oscillations
• toutes deux déterminées par les C.I
• φ choisie de telle sorte que A>0
• pulsation ω est celle des oscillations et est indépendante de leur amplitude –> isochronisme
• syst conservatif ⇒ pas de dissipation d’énergie, solution périodique.
  l’oscillateur harmonique conservatif est également appelé oscillateur non amorti.

Question 12

oscillation libre d’un oscillateur harmonique amorti ⇒ :

Answer 12

qu’une force visqueuse supplémentaire agit sur le système.
⇒ facteur du type -αx’ se rajoute dans l’équation d’équilibre dynamique

Question 13

équation d’équilibre dynamique d’un oscillateur harmonique amorti à un DDL :

Answer 13

(une fois sous forme canonique) :
x” + 2zω0x’ + ω0²x = 0
- ω0 : pulsation propre du système
- z : facteur d’amortissement

Question 14

équation d’équilibre dynamique d’un oscillateur harmonique amorti à un DDL est une équation différentielle. Quel type ?

Answer 14

ordre 2, coefficients constants sans second membre, solu cherchée sous la forme x(t) = e^λt
Pour que x soit solution, il faut que λ soit solution du polynôme caractéristique :
λ² + 2zω0λ + ω0²

Question 15

dans le cas de l’oscillateur harmonique amorti à 1 ddl, quel est la forme réduite du discriminant ?

Answer 15

ω0² x (z² - 1)

Question 16

dans le cas de l’oscillateur harmonique amorti à 1 ddl, cas où Δ’ > 0 :

Answer 16

• régime apériodique, z>1
• le polynôme caractéristique admet deux racines réelles :
  λ = - ω0 ( z ± sqrt(z²-1))
  les deux racines sont négatives
• x(t) est alors une combinaison linéaires de deux exponentielles décroissantes :
  Ae^λ1t + Be^λ2t
• et x(t) tend vers 0 en +inf

Question 17

dans le cas de l’oscillateur harmonique amorti à 1 ddl, cas où Δ’ < 0 :

Answer 17

• régime pseudopériodique, z<1
• le pol. car admet deux racines complexes conjuguées :
  λ = -zω0 ± iω0 x sqrt(1-z²)
• on pose ω = ω0 x sqrt(1-z²), la pseudo pulsation
• solution x(t) = Ae ^(-zω0t) x cos(ωt + φ)
  avec A et φ choisis tels que A ⩾ 0

Question 18

courbe d’une oscillateur harmonique amorti à un DDL :

Answer 18

réponse temporelle = sinusoïde (amplitude définie par la courbe
Ae ^(-zω0t) qui décroît avec le temps.
décroissance d’autant + rapide que z est proche de 1.
lorsque z tend vers 0, l’amortissement est de + en + faible et la réponse temporelle est une réponse sinusoïdale dont la pulsation ω tend vers ω0.

Question 19

dans le cas de l’oscillateur harmonique amorti à 1 ddl, cas où Δ’ = 0 :

Answer 19

• régime critique, z=1
• racine réelle double, λ = -zω0
• solution x(t) du type : (A + Bt) x e^(-zω0t)
• x(t) tend vers 0 en +inf

Question 20

remarque sur les trois régimes de l’oscillateur harmonique amorti :

Answer 20

le régime apériodique, pseudopériodique et critique sont des régimes amortis tous les trois, où la solution revient à la position d’équilibre lorsque t tend vers l’infini, mais le régime critique est le + rapide à y revenir.