chap. 5 : l'oscillateur harmonique Flashcards
équation d’équilibre dynamique d’un système à un degré de liberté :
mx’’ = F(x)
développement limité de mx’’ = F(x) autour d’une position d’équilibre xe
x = xe+h :
mh’’= F(xe) + F’(xe)h + F’‘(xe) x h²/2 + o(h²)
on sait que F(xe) = 0 puisque c’est une position d’éq.
dans le cas général, but :
approcher l’équation d’équilibre dynamique au premier ordre non nul en fonction de la valeur de F’(xe)
- F’(xe) < 0 :
l’équation d’équilibre dynamique devient alors à l’ordre 1 :
mh’’ - F’(xe) = 0
solutions : fonctions sinusoïdales en temps.
h’‘-hω²=0
Acos(ωt) + Bsin(ωt)
on obtient une approximation harmonique du système oscillant autour de xe
(+ : si F’(xe) < 0 : d²Ep>0 on retrouve bien une position d’éq. stable)
- F’(xe) > 0 :
l’équation d’équilibre dynamique est encore à l’ordre 1 :
mh’’ - F’(xe) = 0
solutions : fonctions exponentielles croissante et décroissante en temps.
h’‘-hω²=0
h(t) = Ae^ωt + Be^-ωt
Les solutions peuvent donc diverger et xe ≠ stable.
⚠ : ce n’est pas parce que la solu de l’équa linéarisée diverge que c’est le cas de la solution de l’équation exacte.
- F’(xe) = 0 :
on ne peut pas conclure à l’ordre 1 : il faut passer à l’ordre supérieur du DL : F’‘(xe)
cas où F’(xe) = 0 : F’‘(xe) ≠ 0 :
alors la force qui s’exerce sur le système étant toujours du même signe pour h>0 et h<0 (on a F”(xe)h²/2), elle sera de rappel dans l’un des deux cas et répulsive dans l’autre.
–> xe non stable et pas d’oscillation
cas où F’(xe) = 0 : F’‘(xe) = 0 :
il faut regarder aux ordre supérieurs.
Mais dans ce cas les oscillations ne seront plus linéaires et donc l’approximation ne sera plus harmonique.
équation d’équilibre dynamique d’un oscillateur harmonique conservatif à un DDL :
mouvement autour de xe.
x le ddl :
x”+ ω²x=0, avec ω la pulsation propre du système et des C.I du type : x(0) = x0 et // x’(0)
Solution de l’équation d’équilibre dynamique d’un oscillateur harmonique conservatif à un DDL :
x(t) = Acos (ωt + φ) ou encore :
K1cos(ωt) + K2sin(ωt)
avec : K1 : Acos(φ) et K2 : -Asin(φ)
infos supp sur l’équation d’équilibre dynamique d’un oscillateur harmonique conservatif à un DDL :
- A = amplitude des oscillations
- φ = phase des oscillations
- toutes deux déterminées par les C.I
- φ choisie de telle sorte que A>0
- pulsation ω est celle des oscillations et est indépendante de leur amplitude –> isochronisme
- syst conservatif ⇒ pas de dissipation d’énergie, solution périodique.
l’oscillateur harmonique conservatif est également appelé oscillateur non amorti.
oscillation libre d’un oscillateur harmonique amorti ⇒ :
qu’une force visqueuse supplémentaire agit sur le système.
⇒ facteur du type -αx’ se rajoute dans l’équation d’équilibre dynamique
équation d’équilibre dynamique d’un oscillateur harmonique amorti à un DDL :
(une fois sous forme canonique) :
x” + 2zω0x’ + ω0²x = 0
- ω0 : pulsation propre du système
- z : facteur d’amortissement
équation d’équilibre dynamique d’un oscillateur harmonique amorti à un DDL est une équation différentielle. Quel type ?
ordre 2, coefficients constants sans second membre, solu cherchée sous la forme x(t) = e^λt
Pour que x soit solution, il faut que λ soit solution du polynôme caractéristique :
λ² + 2zω0λ + ω0²
dans le cas de l’oscillateur harmonique amorti à 1 ddl, quel est la forme réduite du discriminant ?
ω0² x (z² - 1)
dans le cas de l’oscillateur harmonique amorti à 1 ddl, cas où Δ’ > 0 :
- régime apériodique, z>1
- le polynôme caractéristique admet deux racines réelles :
λ = - ω0 ( z ± sqrt(z²-1))
les deux racines sont négatives - x(t) est alors une combinaison linéaires de deux exponentielles décroissantes :
Ae^λ1t + Be^λ2t - et x(t) tend vers 0 en +inf
dans le cas de l’oscillateur harmonique amorti à 1 ddl, cas où Δ’ < 0 :
- régime pseudopériodique, z<1
- le pol. car admet deux racines complexes conjuguées :
λ = -zω0 ± iω0 x sqrt(1-z²) - on pose ω = ω0 x sqrt(1-z²), la pseudo pulsation
- solution x(t) = Ae ^(-zω0t) x cos(ωt + φ)
avec A et φ choisis tels que A ⩾ 0
courbe d’une oscillateur harmonique amorti à un DDL :
réponse temporelle = sinusoïde (amplitude définie par la courbe
Ae ^(-zω0t) qui décroît avec le temps.
décroissance d’autant + rapide que z est proche de 1.
lorsque z tend vers 0, l’amortissement est de + en + faible et la réponse temporelle est une réponse sinusoïdale dont la pulsation ω tend vers ω0.
dans le cas de l’oscillateur harmonique amorti à 1 ddl, cas où Δ’ = 0 :
- régime critique, z=1
- racine réelle double, λ = -zω0
- solution x(t) du type : (A + Bt) x e^(-zω0t)
- x(t) tend vers 0 en +inf
remarque sur les trois régimes de l’oscillateur harmonique amorti :
le régime apériodique, pseudopériodique et critique sont des régimes amortis tous les trois, où la solution revient à la position d’équilibre lorsque t tend vers l’infini, mais le régime critique est le + rapide à y revenir.
