chap. 4 : Travail, puissance, énergie et théorèmes associés Flashcards
travail d’une force sur un point matériel ?
Energie fournie/reprise au point qui subit la force lors du déplacement de son point d’application.
C’est une grandeur scalaire.
Le travail dépend de :
- l’amplitude de l’effort appliqué
- la distance sur laquelle l’effort est appliqué
- le sens de la force par rapport au mouvement.
Comment influence le sens de la force par rapport au mouvement ?
- dans le sens du mouvement : force apporte de l’énergie au mvt.
- dans le sens opposé au mvt : force retire de l’énergie au système
Travail d’une force constante sur une trajectoire rectiligne : va de A vers B en ligne droite
W (A->B) (F) = F(->) . AB
–> dépend de l’angle entre le vecteur force et le vecteur AB.
Valeur du travail en ligne droite selon l’angle :
- θ < π/2 : travail positif
- θ > π/ 2 : travail négatif
- θ = 0 : travail nul
conditions de généralisation du travail d’une force constante :
- intervalle de temps court
- le point se déplace de dr(->)
approximation : - la trajectoire est rectiligne
- F est constant.
Généralisation du travail d’une force constante :
dW = F . dr = F. v dt
formule générale du travail d’une force :
travail de la force de A sur B entre les moments TA et TB = intégrale de F.v dt
Est-ce que le travail dépend du référentiel ?
Oui, car le travail dépend de la vitesse, qui dépend du référentiel
Cas d’un ensemble de forces s’appliquant à un système matériel :
la vitesse dans l’expression est, pour chacun des points, celle de son point d’application.
On peut alors différencier le travail des Fext et des Fint
(celles-ci se compensent dans le PFD mais pas forcément du point de vue du travail fourni)
Travail du système :
W = W ext + W int
avec les W = somme du travail fourni par chacune des forces
Puissance :
Dérivée temporelle de la fonction temps du travail.
Dépend du référentiel.
Autre manière d’obtenir la puissance :
F. v (vecteurs)
Puissance totale d’un système matériel ?
séparer en puissance des efforts intérieurs et puissance des efforts extérieurs :
P totale = P int + P ext
(vitesse dans la formule = celle du point d’application de chaque force)
Force ne développant pas de puissance :
F(->) = O
ou
v(->) = 0
ou F est ortho à v
Exemples de cas où la force ne développe pas de puissance :
- glissement sans frottement
- roulement sans glissement
- partie magnétique de la force de Lorentz.
Qu’est ce qu’une force conservative ?
Une force dont le travail ne dépend pas du chemin suivi, seulement de la position de départ et de celle d’arrivée.
Qu’est ce qu’un champ de force conservatif ?
On parle de champ de force conservatif dans le cas où une force peut être définie en tout point de l’espace et ne dépend que de la position.
= appli qui à tout point de R^3 associe un vecteur
Energie potentielle :
l’énergie emmagasinée par un objet en raison de sa position ou de sa forme.
Elle n’est pas unique car elle est définie à une constante près.
Relation entre Ep et W :
W(A->B) (F) = - [ Ep(B) - Ep(A)]
on voit que le travail est une force conservatif
Comment définir le travail entre deux positions infiniment proches M et M + dM? Conséquences sur la puissance ?
déplacement élémentaire δW
δW = - [Ep(M) - Ep(M+dM)] = -dEp
dδW/dt = - dEp/dt
Comment obtient-on la dérivée temporelle de l’Ep ?
Comme cette énergie dépend du temps au travers des paramètres de position, on l’obtient par dérivée composée. On peut ainsi en déduire les composantes cartésiennes de la force.
Dans le plan, une force est conservative ssi :
ses composantes dans une base cartésienne vérifient :
∂Fx/∂y = ∂Fy / ∂x
Quelles sont ainsi les manières de caractériser une force conservative ?
- indépendance du travail par rapport au chemin
- existence d’un potentiel scalaire
- expression de la puissance
théorème de l’énergie cinétique :
dans un référentiel galiléen, la puissance est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique
corollaire du théorème de l’Ec :
dans un référentiel galiléen, le travail des forces appliquées est égal à la variation d’énergie cinétique
définition de l’Em :
Em d’un système matériel : somme de son énergie cinétique, et des énergies potentielles associées aux forces conservatives, int + ext qui lui sont appliquée
Théorème de l’Em :
Variation d’énergie d’un système matériel fermé entre deux positions = travail des forces non conservatives (int + ext) qui s’appliquent aux systèmes
définition d’un système conservatif ?
Si toutes les forces s’appliquant sur un système matériel fermé sont soit conservatives soit ne travaillent pas, alors le théorème de l’Em permet de dire que l’Em du système est constante au cours du temps.
Le système est dit conservatif
Cas d’un système non conservatif ?
Em ne se conserve pas.
“équation” d’un système conservatif ?
Em=Ec+Ep=Em0
système conservatif décrit par n paramètres?
si n>1 : le théo de l’Em ne sera pas suffisant pour décrire complètement le mouvement
Conversion de l’énergie :
en général :
- les CI de position / vitesse = connues
donc on peut avoir l’Ec qui ne dépend que de la vitesse et l’Ep, qui ne dépend que de la position.
on peut aussi écrire :
Ec = Em0 - Ep
Ec = Em0 - Ep
que peut-on en déduire ?
que l’Ec est entièrement déterminée par la position du système
conversion de l’énergie cinétique et Ep
transfert constant entre les deux : l’Ep se convertit en Ec et vice-versa
Ec = distance entre la surface de l’Ep et le plan de l’Em
Barrière de potentiel :
maximum local de l’énergie potentielle
puit de potentiel :
minimum local de l’énergie potentielle
Le système s’approche de la barrière de potentiel =
son degré de liberté a une valeur qui tend vers celle correspondant à celle au niveau du maximum d’Ep.
Dans une barrière de potentiel, positions possibles pour le système :
lorsque le système s’approche de la barrière de potentiel, l’Ec diminue. A l’intersection entre Ep et Em, Ec=0. Au delà, elle est nulle.
Positions possibles: Em ⩾Ep(q). avec q le DDL
barrière de potentiel, deux cas possibles :
Em < maxqEp(q) : barrière non franchissable par le système
Em ⩾ maxqEp(q) : barrière franchissable par le système
Condition pour que le système évolue au niveau d’un puit de potentiel :
il faut que Em ⩾ E0
oscillations d’un point matériel autour d’un puit de potentiel :
- ne sont pas nécessairement centrées au minimum
- ne sont pas nécessairement sinusoïdales
- amplitude dépend de la valeur de Em
- la période dépend en général des oscillations
- si T est indépendante, les oscillations sont dites isochrones
Comment caractériser une position d’équilibre ?
conditions :
- système conservatif
- Ec = 0
en une position d’équilibre, on a : F=0 (vecteurs)
ce qui implique que dEp/dx = 0
traduction graphique d’une position d’équilibre ?
au point d’équilibre, la courbe admet une tangente horizontale.
liens positions d’équilibre et max/min de l’Ep ?
- admet une pos. d’éq. dans un maximum de l’Ep = barrière de potentiel.
- admet une pos. d’éq. dans un minimum de l’Ep = puit de potentiel.
= Barrières/puits = positions d’équilibre
mathématiquement : la position d’équilibre :
F=0 (vecteurs) ⇒ dEp/dx = 0
c’est une équation en x : les solutions de cette équations sont les positions d’équilibre
condition de stabilité de l’équilibre :
Lorsqu’on s’écarte de la position (suite à une petite perturbation), les forces qui s’appliquent sur le système ont tendance à faire revenir le point vers la position d’équilibre.
condition d’instabilité de l’équilibre :
à la suite d’une petite perturbation, lorsqu’on s’éloigne du point d’équilibre, on ne revient pas à la position d’équilibre
conséquence des conditions de stabilité sur les forces + le travail ?
pour que le système revienne à la pos. d’éq., il faut que la force qui s’applique sur lui soit une force de rappel.
= le travail doit s’opposer à la mise en mouvement du système
= le travail est négatif
de quoi dépend le signe du travail lorsqu’on s’éloigne du point d’équilibre ?
lorsqu’on a écrit le dév. limité du travail à l’ordre 2 en utilisant l’expression avec l’Ep, on obtient que le signe dépend de la dérivée seconde l’Ep.
signe du travail selon le signe de la dérivée seconde :
ne pas oublier qu’il y a un moins devant toute la parenthèse !
- si >0 : travail négatif –> pos. stable
- si <0 : travail positif –> pos. instable
- si =0 : pas de conclusion possible, il faut regarder aux ordres supérieurs
Comment faire regarder graphiquement les positions d’équilibre ?
il faut étudier à la fois le graphe de l’Ep et celui de la force
bilan graphique : dérivée seconde de l’Ep >0 :
si la dérivée seconde est positive : on est dans un puit de potentiel : cratère
d²>0 : f(x) = Ep est croissante après x0, elle s’annule en x0. On distingue les positions avant et après x0 :
- x<x0 : dérivée première négative –> Ep décroissante.
Or F = -dEp/dx : donc Ep > 0
- x>x0 : dérivée première positive –> Ep croissante.
Or F = -dEp/dx : donc Ep < 0
bilan graphique : dérivée seconde de l’Ep < 0 :
elle s’annule en x0.
d²Ep>0 : Ep est décroissante après x0.
x<x0 : dérivée première positive –> Ep croissante
Or F= -dEp/dx : donc F <0
x>x0 : dérivée première négative –> Ep décroissante
Or F= -dEp/dx : donc F
états métastables :
propriétés qui sont locales.
on peut donc avoir plusieurs états stables à différents niveaux de l’Ep. Certains états sont donc + stables que les autres.
