cálculo vetorial no plano Flashcards
uma reta define uma …
quaisquer 2 retas paralelas têm a mesma …
- direção
- direção
chama-se … a qualquer segmento de reta ao qual se atribui um sentido
a cada segmento de reta [AB] correspondem dois … : um de origem em A e extremidade em B, representado por … , e outro de origem em B e extremidade em A, representado por … ; neste caso, estes 2 segmentos … tem … direção e sentidos …
- segmento orientado
- Segmentos orientados
- [A, B]
- [B, A]
- Orientados
- a mesma - contrários
chama-se segmento orientado a qualquer segmento de reta ao qual se atribui um …
a cada segmento de reta [AB] correspondem dois segmentos orientados: um de … em A e … em B, representado por [A, B] , e outro de … em B e … em A, representado por [B, A]; neste caso, estes 2 segmentos orientados tem a mesma … e … contrários
- sentido
- origem - extremidade
- origem - extremidade
- direção - sentidos
se os extremos de um segmento orientado coincidem, então a direção e o sentido são … , designamo-lo por …
- indeterminados
- segmento nulo
- dois segmentos orientados não nulos, [A, B] e [C, D], têm a mesma direção se … ou …
- só se pode comparar os … de dois segmentos orientados se eles tiverem a mesma …
- dois segmentos orientados com a mesma … e … contrarios dizem-se …
- as retas suporte desses segmentos são estritamente paralelas - são coincidentes
- direção - sentidos
- segmentos orientados opostos
dois segmentos orientados dizem-se … quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento
em particular, são … todos os segmentos …
- equipolentes
- equipolentes
- nulos
dois segmentos orientados dizem-se equipolentes quando têm … , … e …
em particular, são equipolentes todos os segmentos …
- a mesma direção
- o mesmo sentido
- o mesmo comprimento
- nulos
(critério de equipolência de segmentos orientados):
os segmentos [A, B] e [C, D], com duas retas suporte distintas, são equipolentes se, e so se, o quadrilatero [ABCD] é um …
paralelogramo
um vetor fica determinado por um segmento orientado de tal modo que segmentos orientados equipolentes determinam … e segmentos orientados não equipolentes determinam …
* o vetor determinado pelo segmento orientado [A, B] representa-se por … e caracteriza-se pela … , … e … ; um vetor tambem pode ser representado por …
- o mesmo vetor
- vetores distintos
- AB (com seta em cima)
- direção - sentido - comprimento de [A, B]
- uma letra minúscula (com seta em cima)
vetor nulo: designamos por vetor … e representamos por … , o vetor determinado por segmentos orientados de extremos … , isto eh, reduzidos a um ponto
ex: [A, A] é um representante de …
- nulo
- 0 (com seta em cima)
- iguais
- 0 (com seta em cima)
dado um vetor u e fixada uma unidade de comprimento, a … eh a medida do comprimento de um segmento orientaddo representante de u e representa-se por …
- norma do vetor u(com seta em cima)
- ||u(com seta em cima)||
a norma de um vetor u eh a …
representa-se por ||u(com seta em cima)||
- medida de comprimento de um segmento orientado representante de u(com seta em cima)
a diferença entre os pontos B e A eh o vetor u = …
B = …
escrevemos … = … = B - A
- AB (com seta em cima)
- A + u(com seta em cima)
- u(com seta em cima) - AB(com seta em cima)
dados dois vetores u e v, diz-se que o vetor w eh a soma de u com v, e escreve-se w = … se e so se existem 3 pontos A, B e C tais que u = … , v = … e w = …
essa forma de obter o vetor soma designa-se por …
- u + v
- AB(com seta em cima)
- BC(com seta em cima)
- AC(com seta em cima)
- regra do triângulo
no caso de vetores com a mesma … , com … contrários e com a mesma … , o segmento resultante da soma tem … e … num mesmo ponto, pelo que representa o vetor nulo
vetores nessas condições dizem-se …
- direção - sentidos - norma
- origem - extremidade
- vetores simétricos
tambem podemos obter o vetor soma pela regra do paralelogramo:
* marcam-se os representantes de u e v com a mesma … (por ex [A, B] e [A, C])
* traça-se uma paralela a [A, B] que passe por … , e uma paralela a [A, C] que passe por …
* sendo D a … dessas paralelas, [A, D] eh um representante de u+v porque, por construção, [ABCD] eh um paralelogramo com … = … ; portanto … + … = … + … = AD(com seta em cima)
- origem
- C - B
- interseção
- AC(seta em cima) = BD(seta em cima)
- AB + AC (com seta em cima dos 2)
- AB + BD (com seta em cima dos 2)
4 propriedades da adição de vetores são …
- propriedade comutativa
- propriedade associativa
- existência de elemento neutro
- existência de simétrico
propriedades da adição de vetores
propriedade comutativa: u + v = …
v + u (com seta em cima dos 2)
propriedades da adição de vetores
propriedade associativa: u + (v + w) = …
- (u + v) + w
propriedades da adição de vetores
existência de elemento neutro: o elemento neutro da adição de vetores eh o vetor nulo 0(com seta em cima):
0 + u = u + 0 = …
u
propriedades da adição de vetores
existência de simétrico: todo o vetor u tem simétrico, o vetor simétrico de u representa-se por …
* se u!=0, o vetor que o comprimento de u, a direção de u e sentido … ao de u eh o simetrico de u, -u, e tem-se: u + (-u) = …
* se u=0, então -u=… (por convenção, o vetor nulo eh …)
- -u(com seta em cima)
- contrário
- 0(com seta em cima)
- 0(com seta em cima)
- simétrico de si próprio
dado um vetor u e um numero real (aka …) λ, e fixada uma unidade de comprimento, o … de λ por u, que se representa por λu eh o vetor definido por 3 propriedades que são … … e …
- escalar
- produto
- a norma de λu eh dada por |λ|x||u(com seta em cima)||
- a direção de λu eh a direção de u se u(com seta em cima)!=0(com seta em cima)
- o sentido de λu eh o mesmo de u se λ>0 e eh contrario ao de u se λ<0; se u!=0(com seta em cima)
quando dois vetores têm … , dizem-se colineares
por convenção, o vetor … eh colinear a qualquer outro vetor
- a mesma direção
- nulo
dado um vetor v nao nulo, um vetor u eh … a v se e so se existir um e um só numero real λ tal que u=λv e neste caso, λ eh …
- colinear
- único
sejam u e v vetores colineares:
* se u e v têm o mesmo sentido, então λ…0 e eh o unico real tal que λ= … , tendo-se u=…
* se u e v têm sentidos opostos, então λ…0 e h o unico real tal que -λ=… , tendo-se u=…
- >
- ||u||/||v||
- λv
- <
- ||u||/||v||
- λv
representa-se por u - v (com seta em cima dos 2) a … e define-se u - v = u + (-v)
diferença de u e v
2 propriedades algebricas da multiplicação de um vetor por um escalar são …
- propriedade distributiva (em relação a adição de escalares)
- propriedade distributiva (em relação a adição de vetores)
dado um vetor u e numeros reais a e b, tem-se: (a+b)u= …
- au + bu (com seta em cima dos 2 Us)
dados vetores u e v e um numero real a, tem-se: a(u+v)= …
- au + av (setas em cima de U e de V)
dado um vetor u e numeros reais a e b, tem-se: a(bu)= …
(ab)u (com seta em cima de U)
fixada uma unidade de comprimento, um plano munido de um ref o.n. de origem O e um vetor v do plano, sendo X(1, 0), Y(0,1), e1(vetor)=OX(vetor) e e2(vetor)=OY(vetor) existe um e só um par ordenado (v1, v2) de numeros reais tais que: v(vetor) = …
designa-se (e1, e2) (vetores) por … do … dos … e (v1, v2) por … nessa base
representa-se por v(v1, v2) o vetor v de coordenadas (v1, v2)
sendo A(v1, v2), OA designa-se … e OA(… , …) (vetor)
- v1 x e1(vetor) + v2 x e2(vetor)
- base canónica - espaço vetorial - vetores do plano
- coordenadas do vetor v(com seta em cima)
- vetor posição do ponto A
- v1(com linha em cima) - v2(com linha em cima)
fizado um plano munido de um ref o.n. de origem O, os vetores u(u1, u2) e v(v1, v2):
u + v tem coordenadas (… , …)
u - v tem coordenadas (… , …)
- u1 + v1
u2 + v2 - u1 - v1
u2 - v2
sendo u (u1, u2) (vetor) e λ um numero real:
λu tem coordenadas (… , …)
- λu1
- λu2
os vetores u(u1, u2) e v(v1, v2) sao colineares se e só se:
* não tiverem coordenadas nulas e … = …
ou
* u1 = v1 = …
ou
* u2 = v2 = …
- v1/u1 == v2/u2
- 0
- 0
fixado um plano munido de um ref o.n. e dados pontos A(a1, a2) e B(b1, b2), o vetor AB tem coordenadas (… , …)
- b1 - a1
- b2 - a2
fixado um plano munido de um ref o.n. e dados um ponto A(a1, a2) e um vetor v(v1, v2), o ponto B = A + v tem coordenadas (… , …)
- a1 + v1
- a2 + v2
fizada uma unidade de comprimento e um plano munido de um ref o.n. , a norma de um vetor v(v1, v2) eh dada por …
- ||v(com seta em cima)|| = √[(v1)² + (v2)²]
dado um vetor v, nao nulo, e uma reta r, dizemos que v tem a … de r quando r tiver a … das retas … dos … que representam v
designamos v por …
- direção
- direção
- suporte
- segmentos orientados
- vetor diretor da reta r
duas retas não verticais são paralelas quando, e apenas quando, têm …
- o mesmo declive
fixado um plano munido de um ref o.n. e uma reta r não vertical de declive m, o vetor u(a, b) eh um … de r se e so se a!=… e m=…
em particular, o vetor de coordenadas (1, …) eh um … de r
- vetor diretor
- 0
- a/b
- m
- vetor diretor
fixado um plano munido de um ref o.n. e uma reta vertical r, os vetores u(… , …) com … , sao os vetores diretores de r
- 0 , b
- b!=0
num plano munido de um ref o.n. os pontos P de uma reta r, de vetor diretor v, que passa em A, sao dados por: …
designamos esta equação por … da reta r
em termos de coordenadas a equação anterior escreve-se na forma … , sendo P(x, y) , A(a1, a2) e v(v1, v2)
- P = A + λv(vetor) , λ∈|R
- equação vetorial
- (x, y) = (a1, a2) + λ(v1, v2), λ∈|R
fixado um plano munido de um ref o.n., dada uma reta de vetor diretor v(v1, v2) que passa no ponto A(a1, a2) e um qualquer ponto da reta, P(x, y):
(x, y) = (a1, a2) + λ(v1, v2) , λ∈|R <=>
<=> {… ∧ … , …
designamos esse sistema por …
- x = a1 + λv1
- y = a2 + λv2
- λ∈|R
- sistema de equações paramétricas da reta
sistema de equações paramétricas de uma reta
eh possivel partir de uma equação … e chegar à equação (…) … passando pela escrita de um …
- vetorial
- cartesiana - reduzida
- sistema de equações paramétricas
