Cálculo I, II e III

Question 1

O que é o teste da comparação para convergência de séries?

Answer 1

O teste da comparação afirma que, se uma série ∑a𝑛 e uma série ∑b𝑛 forem formadas por termos positivos e se a𝑛 ≤ b𝑛 para todo 𝑛 a partir de algum ponto, então
- Se ∑b𝑛 converge,∑a𝑛 também converge.
- Se∑a𝑛 diverge, ∑b𝑛 também diverge.

Question 2

O que é a série de Taylor? Qual sua principal aplicação matemática ?

Answer 2

A série de Taylor é uma expansão de uma função em uma soma infinita de termos derivados dessa função em torno de um ponto específico, dada pela fórmula ∑f(n)(a)/n! * ​(x−a)^n.

Se uma função f(x) puder ser representada em uma série de potências, ela pode ser representada como uma série de Taylor.

Question 3

Como calcular o raio de convergência de uma série de Taylor para uma função f(x) no ponto a.

Answer 3

Primeiro, encontre uma fórmula para a n-ésima derivada de f(x). Se essa derivada for 0 para algum x, a função converge visto que a soma é finita.

Caso contrário, use a fórmula aplicada a a para obter a fórmula geral da série de Taylor ∑f(n)(a)/n! * ​(x−a)^n. Por último, use algum teste de convergência para identificar para quais x a série converge.

Question 4

Como funciona o teste da razão (ou teste de d’Alembert) para convergência de séries?

Answer 4

O teste da razão usa o limite L=lim n→∞∣(a𝑛+1)/a𝑛∣, onde a𝑛 são os termos da série.
Se L< 1, a série converge. Se L>1, a série diverge. Se L=1, o teste é inconclusivo.

Question 5

O que é o teste da raiz para convergência de séries?

Answer 5

O teste da raiz usa o limite L=lim n→∞ a𝑛 ^ (1/n) onde a𝑛 são os termos da série.
Se L< 1, a série converge. Se L>1, a série diverge. Se L=1, o teste é inconclusivo.

Question 6

O que é o teste da integral? Quando usamos ele para verificar a convergência de uma série?

Answer 6

O teste da integral é usado para séries com termos positivos. Se a função correspondente f(x) a uma série ∑a𝑛​ for contínua, positiva e decrescente, se a integral ∫​f(x)dx converge, a série ∑a𝑛​ também converge. Se ela diverge, a série ∑a𝑛 também diverge.

Question 7

Como funciona o teste da comparação limitante (ou comparação assimptótica) para convergência de séries?

Answer 7

Se houver duas séries ∑a𝑛 e ∑b𝑛​, ambas com termos positivos, e se lim 𝑛→∞​ (b𝑛/a𝑛)​​=L onde L != 0, então ou ambas a𝑛 e b𝑛 convergem ou ambas divergem.

Question 8

Ao falar de uma série da foma ∑c * a𝑛, ela converge se e somente se ∑a𝑛 também converge. Verdadeiro ou falso? Essa lógica também se aplica para séries da forma ∑(a𝑛 + b𝑛) e ∑(a𝑛 * b𝑛) ?

Answer 8

Se você tem uma série da forma ∑c * a𝑛, onde c é uma constante e a𝑛 é o termo geral da série, sua convergência depende apenas da convergência da série ∑a𝑛. Isso ocorre porque uma constante c diferente de zero não afeta o comportamento de convergência da série, exceto por multiplicar o valor final da soma. A mesma lógica se aplica para ∑(a𝑛 + b𝑛), porém ela não se aplica necessariamente para ∑(a𝑛 * b𝑛). Por exemplo, a série ∑1/n * 1/n converge por ser uma série geométrica com r = 1/2, porém a série harmônica não.

Question 9

O que significa que uma série é absolutamente convergente?

Answer 9

Uma série é absolutamente convergente se a série formada pelos valores absolutos de seus termos ∑∣a𝑛​∣ converge. Toda série absolutamente convergente também converge.

Question 10

No contexto de séries, qual a diferença entre convergência condicional e absoluta?

Answer 10

A convergência condicional ocorre quando uma série ∑a𝑛​ converge, mas a série dos valores absolutos ∑∣a𝑛​∣ diverge. Já a convergência absoluta implica que tanto ∑a𝑛​ quanto ∑∣a𝑛∣ convergem.

Question 11

No contexto de séries, o que é o teste da divergência (ou teste do termo geral)?

Answer 11

Se lim n→∞​a𝑛 for diferente de zero ou não existe, a série ∑a𝑛​ diverge. Se o limite for igual a 0, o teste é inconclusivo.

Question 12

Apresente a forma geral e a convergência das seguintes séries:
- Harmônica
- Geométrica
- P

Answer 12

• A série harmônica é dada por ∑1/n. Sempre diverge.
• A série geométrica tem a forma ∑ a * r ^ n. Ela converge quando |r| < 1 e diverge caso contrário
• A série P tem a forma ∑ (1/n) ^ p. Ela converge quando p > 1 e diverge caso contrário

Question 13

Apresente a forma geral e a convergência das seguintes séries:
- Telescópica
- Alternada
- Exponencial

Answer 13

• A série telescópica é uma série em que muitos termos se cancelam, geralmente da forma ∑ (b𝑛 - b𝑛-1). Ela converge quando o termo geral b𝑛 converge para um valor finito.
• Uma série alternada tem termos que alternam sinais, como ∑(−1)^n * a𝑛​. Uma série alternada converge se os termos a𝑛 forem decrescentes e lim n→∞​ a𝑛​=0.
• Uma série exponencial tem a forma ∑ (x ^ n) / n!. Ela converge para todo x real.

Question 14

Como funciona a aproximação de uma série por integrais?

Answer 14

Suponha uma função f(k) que seja contínua, positiva e crescente. A soma dos termos entre m e n, m <= n é menor ou igual à integral de m a n+1 da função f(k) e maior ou igual à integral de m-1 a n da função f(k). Se ao invés disso f(k) for contínua, positiva e decrescente, sua soma será menor ou igual à integral de m-1 a n da função f(k) e maior ou igual à integral de m até n+1 da função f(k)

Question 15

Quais são as três possibildiades acerca da convergência de uma série de potências ∑ c𝑛 (x - a) ^ n?

Answer 15

• Ela converge apenas quando x = a
• Ela converge para todo x
• Existe um número positivo R tal que a série converge se |x - a| < R e diverge se |x - a| > R

Question 16

Em que situações uma série de potências ∑ c𝑛 (x - a) ^ n é diferenciável? Qual é o raio de convergência de suas derivadas/integrais?

Answer 16

Ela é diferenciável no intervalo (a - R, a + R) quando o raio de convergência R for maior que 0. O raio de convergência das derivadas/integrais é R.

Question 17

Como saber se uma série de Taylor realmente aproxima o valor de uma função ?

Answer 17

Uma série de Taylor aproxima uma função quando o limite quando n tende a infinito do resto (ou seja, da diferença entre a função real e a série de Taylor) é 0.

Question 18

Quando uma função de duas variáveis f(x,y) terá derivada direcional na direção de um vetor u = <a, b> qualquer? Qual a fórmula para obter essa derivada?

Answer 18

Ela terá a derivada se for uma função diferenciável de x e y. A fórmula da derivada é Dᵤ f(x,y) = fₓ(x,y)a + fᵧ(x,y)b. Ela também pode ser escrita (usando o vetor gradiente) como Dᵤ f(x,y) = ∇f(x,y) * u

Question 19

O que é o gradiente de uma função f (x,y)? Qual é sua fórmula?

Answer 19

O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de f(x,y), respectivamente, em relação a x e y.

Sua fórmula é dada por ∇f(x,y)=(∂f/∂x) i + (∂f/∂y) j

Question 20

Qual a maior utilidade do vetor gradiente?

Answer 20

O vetor gradiente serve principalmente para apontar a direção na qual a derivada direcional possui o maior valor, com o valor máximo da derivada sendo dado pelo módulo do vetor gradiente.

Question 21

O que diz a regra da cadeia para limites?

Answer 21

Que o limite quando x tende a a de uma função da forma f(g(x)) pode ser calculado da seguinte forma:

Primeiro, calcula-se b como sendo o limite de g(x) quando x tende a a. Então, calcula-se o limite de f(x) quando x tende a b.

Question 22

Como proceder diante de um limite no infinito de uma função f(x) ^ g(x) que se enquadra em um entre 0 ^ 0, ∞ ^ 0 ou 1 ^ ∞?

Answer 22

A melhor forma de proceder nesses casos é reescrever f(x) ^ g(x) como e ^ ln( f(x) ^ g(x)) = e ^ (g(x) * ln(f(x)). Então, calcular o limite quando x tende a infinito de g(x) * ln(f(x)) e usar a regra da cadeia dos limites para obter o resultado desejado.

Question 23

Demonstre a fórmula da derivada d/dx (a^x) = a ^ x ln a

Answer 23

Primeiro, reescrevemos a ^ x como e ^ ln (a ^ x) = e ^ (x * ln (a)). Então, usamos a regra da cadeia com f(x) = e ^ x e g(x) = (x * ln (a)), tendo f’(x) = e ^ x e g’(x) = ln(a). Pela regra da cadeia, a derivada será e ^ (x * ln (a)) * ln (a), que pode ser reescrito como a ^ x * ln a.