Cálculo I, II e III Flashcards
O que é o teste da comparação para convergência de séries?
O teste da comparação afirma que, se uma série ∑a𝑛 e uma série ∑b𝑛 forem formadas por termos positivos e se a𝑛 ≤ b𝑛 para todo 𝑛 a partir de algum ponto, então
- Se ∑b𝑛 converge,∑a𝑛 também converge.
- Se∑a𝑛 diverge, ∑b𝑛 também diverge.
O que é a série de Taylor? Qual sua principal aplicação matemática ?
A série de Taylor é uma expansão de uma função em uma soma infinita de termos derivados dessa função em torno de um ponto específico, dada pela fórmula ∑f(n)(a)/n! * (x−a)^n.
Se uma função f(x) puder ser representada em uma série de potências, ela pode ser representada como uma série de Taylor.
Como calcular o raio de convergência de uma série de Taylor para uma função f(x) no ponto a.
Primeiro, encontre uma fórmula para a n-ésima derivada de f(x). Se essa derivada for 0 para algum x, a função converge visto que a soma é finita.
Caso contrário, use a fórmula aplicada a a para obter a fórmula geral da série de Taylor ∑f(n)(a)/n! * (x−a)^n. Por último, use algum teste de convergência para identificar para quais x a série converge.
Como funciona o teste da razão (ou teste de d’Alembert) para convergência de séries?
O teste da razão usa o limite L=lim n→∞∣(a𝑛+1)/a𝑛∣, onde a𝑛 são os termos da série.
Se L< 1, a série converge. Se L>1, a série diverge. Se L=1, o teste é inconclusivo.
O que é o teste da raiz para convergência de séries?
O teste da raiz usa o limite L=lim n→∞ a𝑛 ^ (1/n) onde a𝑛 são os termos da série.
Se L< 1, a série converge. Se L>1, a série diverge. Se L=1, o teste é inconclusivo.
O que é o teste da integral? Quando usamos ele para verificar a convergência de uma série?
O teste da integral é usado para séries com termos positivos. Se a função correspondente f(x) a uma série ∑a𝑛 for contínua, positiva e decrescente, se a integral ∫f(x)dx converge, a série ∑a𝑛 também converge. Se ela diverge, a série ∑a𝑛 também diverge.
Como funciona o teste da comparação limitante (ou comparação assimptótica) para convergência de séries?
Se houver duas séries ∑a𝑛 e ∑b𝑛, ambas com termos positivos, e se lim 𝑛→∞ (b𝑛/a𝑛)=L onde L != 0, então ou ambas a𝑛 e b𝑛 convergem ou ambas divergem.
Ao falar de uma série da foma ∑c * a𝑛, ela converge se e somente se ∑a𝑛 também converge. Verdadeiro ou falso? Essa lógica também se aplica para séries da forma ∑(a𝑛 + b𝑛) e ∑(a𝑛 * b𝑛) ?
Se você tem uma série da forma ∑c * a𝑛, onde c é uma constante e a𝑛 é o termo geral da série, sua convergência depende apenas da convergência da série ∑a𝑛. Isso ocorre porque uma constante c diferente de zero não afeta o comportamento de convergência da série, exceto por multiplicar o valor final da soma. A mesma lógica se aplica para ∑(a𝑛 + b𝑛), porém ela não se aplica necessariamente para ∑(a𝑛 * b𝑛). Por exemplo, a série ∑1/n * 1/n converge por ser uma série geométrica com r = 1/2, porém a série harmônica não.
O que significa que uma série é absolutamente convergente?
Uma série é absolutamente convergente se a série formada pelos valores absolutos de seus termos ∑∣a𝑛∣ converge. Toda série absolutamente convergente também converge.
No contexto de séries, qual a diferença entre convergência condicional e absoluta?
A convergência condicional ocorre quando uma série ∑a𝑛 converge, mas a série dos valores absolutos ∑∣a𝑛∣ diverge. Já a convergência absoluta implica que tanto ∑a𝑛 quanto ∑∣a𝑛∣ convergem.
No contexto de séries, o que é o teste da divergência (ou teste do termo geral)?
Se lim n→∞a𝑛 for diferente de zero ou não existe, a série ∑a𝑛 diverge. Se o limite for igual a 0, o teste é inconclusivo.
Apresente a forma geral e a convergência das seguintes séries:
- Harmônica
- Geométrica
- P
- A série harmônica é dada por ∑1/n. Sempre diverge.
- A série geométrica tem a forma ∑ a * r ^ n. Ela converge quando |r| < 1 e diverge caso contrário
- A série P tem a forma ∑ (1/n) ^ p. Ela converge quando p > 1 e diverge caso contrário
Apresente a forma geral e a convergência das seguintes séries:
- Telescópica
- Alternada
- Exponencial
- A série telescópica é uma série em que muitos termos se cancelam, geralmente da forma ∑ (b𝑛 - b𝑛-1). Ela converge quando o termo geral b𝑛 converge para um valor finito.
- Uma série alternada tem termos que alternam sinais, como ∑(−1)^n * a𝑛. Uma série alternada converge se os termos a𝑛 forem decrescentes e lim n→∞ a𝑛=0.
- Uma série exponencial tem a forma ∑ (x ^ n) / n!. Ela converge para todo x real.
Como funciona a aproximação de uma série por integrais?
Suponha uma função f(k) que seja contínua, positiva e crescente. A soma dos termos entre m e n, m <= n é menor ou igual à integral de m a n+1 da função f(k) e maior ou igual à integral de m-1 a n da função f(k). Se ao invés disso f(k) for contínua, positiva e decrescente, sua soma será menor ou igual à integral de m-1 a n da função f(k) e maior ou igual à integral de m até n+1 da função f(k)
Quais são as três possibildiades acerca da convergência de uma série de potências ∑ c𝑛 (x - a) ^ n?
- Ela converge apenas quando x = a
- Ela converge para todo x
- Existe um número positivo R tal que a série converge se |x - a| < R e diverge se |x - a| > R
Em que situações uma série de potências ∑ c𝑛 (x - a) ^ n é diferenciável? Qual é o raio de convergência de suas derivadas/integrais?
Ela é diferenciável no intervalo (a - R, a + R) quando o raio de convergência R for maior que 0. O raio de convergência das derivadas/integrais é R.
Como saber se uma série de Taylor realmente aproxima o valor de uma função ?
Uma série de Taylor aproxima uma função quando o limite quando n tende a infinito do resto (ou seja, da diferença entre a função real e a série de Taylor) é 0.
Quando uma função de duas variáveis f(x,y) terá derivada direcional na direção de um vetor u = <a, b> qualquer? Qual a fórmula para obter essa derivada?
Ela terá a derivada se for uma função diferenciável de x e y. A fórmula da derivada é Dᵤ f(x,y) = fₓ(x,y)a + fᵧ(x,y)b. Ela também pode ser escrita (usando o vetor gradiente) como Dᵤ f(x,y) = ∇f(x,y) * u
O que é o gradiente de uma função f (x,y)? Qual é sua fórmula?
O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de f(x,y), respectivamente, em relação a x e y.
Sua fórmula é dada por ∇f(x,y)=(∂f/∂x) i + (∂f/∂y) j
Qual a maior utilidade do vetor gradiente?
O vetor gradiente serve principalmente para apontar a direção na qual a derivada direcional possui o maior valor, com o valor máximo da derivada sendo dado pelo módulo do vetor gradiente.
O que diz a regra da cadeia para limites?
Que o limite quando x tende a a de uma função da forma f(g(x)) pode ser calculado da seguinte forma:
Primeiro, calcula-se b como sendo o limite de g(x) quando x tende a a. Então, calcula-se o limite de f(x) quando x tende a b.
Como proceder diante de um limite no infinito de uma função f(x) ^ g(x) que se enquadra em um entre 0 ^ 0, ∞ ^ 0 ou 1 ^ ∞?
A melhor forma de proceder nesses casos é reescrever f(x) ^ g(x) como e ^ ln( f(x) ^ g(x)) = e ^ (g(x) * ln(f(x)). Então, calcular o limite quando x tende a infinito de g(x) * ln(f(x)) e usar a regra da cadeia dos limites para obter o resultado desejado.
Demonstre a fórmula da derivada d/dx (a^x) = a ^ x ln a
Primeiro, reescrevemos a ^ x como e ^ ln (a ^ x) = e ^ (x * ln (a)). Então, usamos a regra da cadeia com f(x) = e ^ x e g(x) = (x * ln (a)), tendo f’(x) = e ^ x e g’(x) = ln(a). Pela regra da cadeia, a derivada será e ^ (x * ln (a)) * ln (a), que pode ser reescrito como a ^ x * ln a.
