Álgebra Linear Computacional - ALC - 1 Flashcards
Quando tentamos fazer uma operação que exige uma precisão matemática grande (como por exemplo, calcular o limite de (1 - seno(x))/x³ quando x tende a 0), os resultados inicialmente convergem para o limite desejado mas posteriormente divergem. Por que isso ocorre?
- Nem todos os números reais são representáveis em um computador digital.
- As operações aritméticas envolvendo representações ou aproximações de
números reais estão sujeitas a erros numéricos. - e, finalmente, a combinação dos fatores acima faz com que diferenças muito pequenas entre grandezas não sejam corretamente representáveis (isso não significa que não consigamos representar números muito pequenos).
Quais são as duas grandes fontes de erro em operações de ponto flutuante?
1 - Subtração de quantidades de magnitude muito próxima.
2 - Soma de quantidades de magnitudes muito díspares.
O que é o produto escalar entre dois vetores [a1, a2, … an] e [b1, b2, … bn]? Quais são suas principais notações?
É a soma de 1 até n de ai*bi. Ela pode ser denotada por ⟨a, b⟩ ou por aTb.
O que é o produto interno de um vetor? Como ele é chamado?
O produto interno de um vetor é o produto escalar de um vetor por si próprio. Ele é popularmente conhecido como Norma Euclideana.
Como o conceito de produto escalar se relaciona com o conceito de ortogonalidade entre vetores ?
Podemos afirmar que dois vetores são ortogonais (ou seja, possuem ângulo de 90 graus entre si) se e somente se o produto escalar entre eles for 0.
Quais são as duas condições necessárias para que um conjunto de vetores V contido em Rn precisa possuir para ser considerado um espaço vetorial?
Mais precisamente, V é um espaço vetorial se e somente se as duas propriedades de fechamento seguintes forem satisfeitas:
1 - Dados quaisquer número real a e vetor v pertencente a V, o produto escalar a*v também pertence a V. Nesse caso, dizemos que V é fechado na multiplicação por escalar.
2 - Dados quaisquer vetores u e v pertencentes a V, a soma vetorial u + v também pertence a V. Nesse caso, dizemos que V é fechado na soma de seus elementos.
Defina dependência e independência linear a partir de um sistema linear homogêneo específico.
Uma coleção de vetores {x1, x2, …, xn} é linearmente independente se e somente se o sistema linear homogêneo formado pelas somas de ai*xi igualadas a zero só tiver solução trivial (ou seja, se a única forma de essa soma ser zero é se os coeficientes a1, a2, …, an forem iguais a zero). Caso contrário, o sistema é linearmente dependente.
Defina a dimensão de um espaço vetorial associado a um conjunto C = {x1, x2, …, xn}
A dimensão de um espaço associado a um conjunto C é a quantidade de elementos (ou seja, a cardinalidade) do maior subconjunto de C formado por elementos linearmente independentes.
O que significa dizer que uma matriz é singular? Qual é seu determinante?Qual pré-requisito uma matriz precisa atingir para ser considerada singular?
Uma matriz é singular quando ela é não invertível (ou seja, quando não existe uma matriz que, multiplicada por ela, resulta na matriz identidade). Ela será singular se e somente se seu determinante for zero e suas colunas (ou linhas) forem Linearmente Dependentes.
Quais são as três propriedades que devem ser seguidas por normas em um espaço vetorial X?
1 - ||x|| >= 0 para todo x pertencente a X e ||x|| = 0 se e somente se x = 0
2 - ||x + y || <= ||x|| + ||y|| para todo x, y em X.
3 - ||a*x|| = |a| * ||x|| para todo a real e x pertencente a X.
O que é a norma p de um vetor x? Cite três exemplos notáveis de normas p.
A norma p é a raiz p da soma das coordenadas do vetor elevadas a p.
Normas p notáveis surgem quando p = 1 (nesse caso, a norma será a soma de todas as coordenadas do vetor), p = 2 (nesse caso, temos a norma euclideana) e p = ∞ (nesse caso, a norma será a maior coordenada do vetor).
Dê um exemplo de aplicação prática do conceito de normas vetoriais.
As normas vetoriais são instrumentos importantes para se caracterizar a convergência de algoritmos em Álgebra Linear Computacional, Otimização e Aprendizado de Máquina.
Quais são as características quantificadas pela norma da matriz?
1 - O quão grande a matriz é.
2 - Em quanto a transformação linear que a matriz induz pode transformar a magnitude (ou melhor dizendo, a norma) do vetor de entrada.
Quais são as quatro propriedades que devem ser seguidas por normas de matrizes?
1 - ||A|| >= 0 e ||A|| = 0 apenas se A é identicamente nula.
2 - ||A + B || <= ||A|| + ||B||.
3 - ||aA|| = |a| * ||A||
4 - ||AB|| <=||A|| * ||B||
Dê três exemplos de normas populares de matrizes.
1 - ||A|| 1 := max j=1,…,n||Aj||1. Esta norma é chamada de norma de máxima coluna, pois todas as colunas de A são comparadas e a norma da coluna de maior norma 1 é a norma 1 da matriz.
2 -||A||∞ := max i=1,…,m||ai||1. De modo análogo, esta norma é chamada de norma de máxima linha, pois todas as linhas de A são comparadas e
a norma ∞ de A é norma 1 de sua linha de maior norma 1.
3 - Norma de Frobenius que é obtida tomando a raiz quadrada da soma de todos os elementos da matriz ao quadrado
4 - Normal Espectral : Ela será o autovalor com maior módulo de A se A for igual à sua transposta. Caso contrário, será o maior valor singular de A que pode ser obtido tirando a raiz quadrada do maior autovalor da matriz formada pela multiplicação de A por sua transposta.
