Álgebra Linear Computacional - ALC - 1 Flashcards
Quando tentamos fazer uma operação que exige uma precisão matemática grande (como por exemplo, calcular o limite de (1 - seno(x))/x³ quando x tende a 0), os resultados inicialmente convergem para o limite desejado mas posteriormente divergem. Por que isso ocorre?
- Nem todos os números reais são representáveis em um computador digital.
- As operações aritméticas envolvendo representações ou aproximações de
números reais estão sujeitas a erros numéricos. - e, finalmente, a combinação dos fatores acima faz com que diferenças muito pequenas entre grandezas não sejam corretamente representáveis (isso não significa que não consigamos representar números muito pequenos).
Quais são as duas grandes fontes de erro em operações de ponto flutuante?
1 - Subtração de quantidades de magnitude muito próxima.
2 - Soma de quantidades de magnitudes muito díspares.
O que é o produto escalar entre dois vetores [a1, a2, … an] e [b1, b2, … bn]? Quais são suas principais notações?
É a soma de 1 até n de ai*bi. Ela pode ser denotada por ⟨a, b⟩ ou por aTb.
O que é o produto interno de um vetor? Como ele é chamado?
O produto interno de um vetor é o produto escalar de um vetor por si próprio. Ele é popularmente conhecido como o quadrado da Norma Euclideana.
Como o conceito de produto escalar se relaciona com o conceito de ortogonalidade entre vetores ?
Podemos afirmar que dois vetores são ortogonais (ou seja, possuem ângulo de 90 graus entre si) se e somente se o produto escalar entre eles for 0.
Quais são as duas condições necessárias para que um conjunto de vetores V contido em Rn precisa possuir para ser considerado um espaço vetorial?
Mais precisamente, V é um espaço vetorial se e somente se as duas propriedades de fechamento seguintes forem satisfeitas:
1 - Dados quaisquer número real a e vetor v pertencente a V, o produto escalar a*v também pertence a V. Nesse caso, dizemos que V é fechado na multiplicação por escalar.
2 - Dados quaisquer vetores u e v pertencentes a V, a soma vetorial u + v também pertence a V. Nesse caso, dizemos que V é fechado na soma de seus elementos.
Dê dois exemplos de formas de mostrar que um conjunto de vetores definido a partir da teoria dos conjuntos ( por exemplo : {(x, y) : x² + y² = 0, x, y ∈ R} ) ou a partir do span de um vetor (por exemplo: span{[1, 2, 3]^T}) não é um espaço vetorial?
1 - Mostre que o vetor {0} não pertence ao conjunto.
2 - Mostre que o conjunto não é fechado para a adição: encontre dois vetores u e v que se encaixam na definição e então mostre que u + v não pertence ao conjunto.
3 - Mostre que o conjunto não é fechado para multiplicação: encontre um escalar a e vetor u que se encaixa na definição. Então mostre que a * u não pertence ao conjunto.
Dado dois conjuntos de vetores W1 e W2, W1 ∪ W2 será um subespaço se e somente se W1 estiver contido em W2 ou vice-versa. Verdadeiro ou falso? Justifique.
Falso. Isso acontecerá somente se W1 e W2 forem também subespaços. Caso contrário, é possível pegar um subespaço W e dividir ele em dois subconjuntos W1 e W2 de modo que nenhum dos dois seja um subespaço mas sua união (W) ainda seja.
Dê três exemplos de propriedades dos espaços vetoriais
Proriedades no espaço vetorial, para todo u, v,w ∈ X :
- Associatividade da adição: u + (v + w) = (u + v) + w
- Comutabilidade da adição: u + v = v + u
- Existência de um elemento nulo: 0 + v = v + 0 = v
- Existência do inverso aditivo: para todo v ∈ X existe −v ∈ X tal que v + (−v) = (−v) + v = 0
- Propriedades da multiplicação por escalar: α(u + v) = αu + αv, (α + β)u = αu + βu, (αβ)u = α(βu), 1u = u.
Defina dependência e independência linear a partir de um sistema linear homogêneo.
Uma coleção de vetores {x1, x2, …, xn} é linearmente independente se e somente se o sistema linear homogêneo formado pelas somas de ai*xi igualadas a zero só tiver solução trivial (ou seja, se a única forma de essa soma ser zero é se os coeficientes a1, a2, …, an forem iguais a zero). Caso contrário, o sistema é linearmente dependente.
Defina a dimensão de um espaço vetorial associado a um conjunto C = {x1, x2, …, xn}
A dimensão de um espaço associado a um conjunto C é a quantidade de elementos (ou seja, a cardinalidade) do maior subconjunto de C formado por elementos linearmente independentes.
O que significa dizer que uma matriz é singular? Qual é seu determinante?Qual pré-requisito uma matriz precisa atingir para ser considerada singular?
Uma matriz é singular quando ela é não invertível (ou seja, quando não existe uma matriz que, multiplicada por ela, resulta na matriz identidade). Ela será singular se e somente se seu determinante for zero e suas colunas (ou linhas) forem Linearmente Dependentes. Por consequência desses fatores, também possuirá deficiência de posto.
Quais são as três propriedades que devem ser seguidas por normas em um espaço vetorial X?
1 - ||x|| >= 0 para todo x pertencente a X e ||x|| = 0 se e somente se x = 0
2 - ||x + y || <= ||x|| + ||y|| para todo x, y em X.
3 - ||a*x|| = |a| * ||x|| para todo a real e x pertencente a X.
O que é a norma p de um vetor x? Cite três exemplos notáveis de normas p.
A norma p é a raiz p da soma das coordenadas do vetor elevadas a p.
Normas p notáveis surgem quando p = 1 (nesse caso, a norma será a soma de todas as coordenadas do vetor), p = 2 (nesse caso, temos a norma euclideana) e p = ∞ (nesse caso, a norma será a maior coordenada do vetor).
Dê um exemplo de aplicação prática do conceito de normas vetoriais.
As normas vetoriais são instrumentos importantes para se caracterizar a convergência de algoritmos em Álgebra Linear Computacional, Otimização e Aprendizado de Máquina.
Quais são as características quantificadas pela norma da matriz?
1 - O quão grande a matriz é.
2 - Em quanto a transformação linear que a matriz induz pode transformar a magnitude (ou melhor dizendo, a norma) do vetor de entrada.
Quais são as quatro propriedades que devem ser seguidas por normas de matrizes?
1 - ||A|| >= 0 e ||A|| = 0 apenas se A é identicamente nula.
2 - ||A + B || <= ||A|| + ||B||.
3 - ||aA|| = |a| * ||A||
4 - ||AB|| <=||A|| * ||B||
Dê três exemplos de normas populares de matrizes.
1 - ||A|| 1 := max j=1,…,n||Aj||1. Esta norma é chamada de norma de máxima coluna, pois todas as colunas de A são comparadas e a norma da coluna de maior norma 1 é a norma 1 da matriz.
2 -||A||∞ := max i=1,…,m||ai||1. De modo análogo, esta norma é chamada de norma de máxima linha, pois todas as linhas de A são comparadas e
a norma ∞ de A é norma 1 de sua linha de maior norma 1.
3 - Norma de Frobenius que é obtida tomando a raiz quadrada da soma de todos os elementos da matriz ao quadrado
4 - Normal Espectral : Ela será o autovalor com maior módulo de A se A for igual à sua transposta. Caso contrário, será o maior valor singular de A que pode ser obtido tirando a raiz quadrada do maior autovalor da matriz formada pela multiplicação de A por sua transposta.
O que é o produto externo entre dois vetores a = [a1, a2, …, an] e b=[b1, b2, …, bm]?
É o produto abT que pode ser representada pela matriz A mxn = [a1b1 a1b2 … a1bm]
|a2b1 a2b2 … a2* bm|
|………. …….. ….. ………. |
[anb1 anb2 …. an*bm]
Cite três subespaços vetoriais associados a uma matriz A n x m qualquer.
- Espaço coluna de A: C(A) = {x = Ay|y ∈ Rm}. Corresponde ao subespaço vetorial do Rm gerado pela combinação linear das colunas de A, A1, . . . , Am. O espaço coluna de A também é conhecido como espaço imagem de A.
- Espaço linha de A: C(A^T) = {y = A^Tx|x ∈ Rn}. Corresponde ao subespaço do Rn gerado pela combinação linear das linhas a1, a2, . . . , am de A.
- Espaço nulo de A: N(A) = {x ∈ Rn : Ax = 0}. Corresponde ao subespaço
do Rn formado pelas soluções do sistema linear homogêneo Ax = 0. O espaço nulo de A também é chamado de núcleo ou kernel de A. - Espaço nulo de A^T(ou espa¸co nulo à esquerda de A): N(A^T) = {y ∈ Rm :A^T y= 0}. Corresponde ao subespaço do Rm formado pelas soluções do sistema
linear homogêneo A^T y = 0.
O que é o Posto (ou rank) de uma matriz A ∈ R m×n?
É a quantidade de linhas (ou colunas) linearmente independentes de A.
O que significa dizer que uma matriz A ∈ R m×n possui posto ou rank completo? O que significa dizer que A possui deficiência de posto? Como calcular a deficiência de posto de A?
A matriz A possui posto completo quando seu posto é igual ao menor entre m e n. Em outras palavras, é quando A possui o maior posto possível para sua dimensão.
A possui deficiência de posto quando o posto não é completo. Seu valor é dado pela expressão min (m, n) - rank(A).
O que é o subespaço linear associado a um conjunto de vetores? Como ele é denotado?
O subespaço linear de um conjunto de vetores {x1,…, xn} denotado por span ({x1,…,xn}) é o conjunto de todos os vetores que podem ser formados a partir de combinações lineares de {x1,…, xn}.
Qual condição um conjunto de vetores C precisa possuir para formar uma base para span(C)?
Todos os vetores em C precisam ser linearmente independentes.
O que diz a primeira parte Teorema Fundamental da Álgebra Linear?
Para uma matriz A m x n com posto r, valem as seguintes propriedades para as dimensões dos 4 espaços fundamentais de A:
1 - dim(C(A)) = r
2 - dim(C(A^T)) = r
3 - dim(N(A)) = n - r
4 - dim(N(A^T)) = m - r
Quando podemos afirmar que dois subespaços vetoriais são ortogonais?
Dois subespaços vetoriais U e V são ortogonais se e somente se eles possuem as mesmas dimensões e para quaisquer vetores u ∈ U e v ∈ V, <u * v> = 0.
O que é o complemento ortogonal de um subespaço V?
O complemento ortogonal de V é a coleção de todos os vetores do Rn que são ortogonais a todos os vetores em V. Ou seja, matematicamente temos:
V⊥ = {x ∈ Rn: x^T y = 0, para qualquer y ∈ V}.
Se dois espaços são ortogonais entre si, um é necessariamente o complemento ortogonal do outro. Verdadeiro ou falso? Justifique.
Falso. Dois espaços podem ser ortogonais entre si sem que um seja o complemento ortogonal do outro.
Para que um espaço seja o complemento ortogonal de outro, é preciso que a soma de suas dimensões seja igual à dimensão do espaço vetorial total e que cada vetor de um espaço seja ortogonal a todos os vetores do outro. A ortogonalidade entre dois espaços é uma condição necessária, mas não suficiente para que um seja o complemento ortogonal do outro.
Por exemplo, no espaço R³, os subespaços X = {[1, 0, 0]} e Y = {[0, 1, 0]} são ortogonais, porém não são o complemento ortogonal um do outro visto que nenhum deles inclui o eixo Z.
O que diz a segunda parte do Teorema Fundamental da Álgebra Linear?
- Qualquer par de vetores x, z: x ∈ N(A) e z ∈ C(A^T) satisfazem x^T z = 0
e N(A) = (C(A^T))⊥. - Qualquer par de vetores u, v: u ∈ N(A^T) e v ∈ C(A) satisfazem u^T v = 0 e N(A^T) = (C(A))⊥
