Álgebra Linear Computacional - ALC - 2

Question 1

Qual a norma de x diante de A quando A é SPD ? Como ela é denotada?

Answer 1

A norma de x diante de A é denotada por ||x||a e é igual a (x^T a X) ^ 1/2 (ou seja, a raiz quadrada da energia de A).

Se A é SPD, A admite fatoração de Cholesky (R R^T). Nesse caso, ||x||a será igual a ||Rx||2.

Question 2

O que é uma norma matricial induzida por uma norma vetorial? Qual condição é necessária para que a norma seja induzida? Qual propriedade ela satisfaz?

Answer 2

Uma norma matricial A induzida pela norma vetorial ||*||p, ||A||p, consiste na menor quantidade L para a qual a desigualdade seguinte vale para qualquer vetor x ∈ R: ||Ax||p <= L * ||x||p.

Para que a norma seja induzida, é necessário que exista ao menos um vetor x para o qual ||Ax||p = L * ||x||p (ou seja, a igualdade deve ser justa).

Question 3

Qual propriedade é satisfeita pelas normas matriciais induzidas por normas vetoriais?

Answer 3

Uma norma vetorial e sua norma matricial induzida satisfazem a propriedade ||Ax|| <= ||A|| * ||x|| para qualquer x.

Question 4

O que é um número de condicionamento considerado ruim? Qual o seu impacto?

Answer 4

Um número de condicionamento é considerado ruim quando ele é muito alto. Um número de condicionamento alto provoca erros numéricos grandes em operações llineares.

Question 5

Qual a diferença entre uma norma subordinada e uma norma induzida?

Answer 5

Em uma norma induzida, existe pelo menos um vetor x para o qual ||Ax|| = ||A||* ||x||. Em uma norma subordinada, para todo x, ||Ax|| < ||A|| * ||x||.

Question 6

Explique qual norma vetorial se relaciona com as seguintes normas matriciais e se essa relação é de indução ou subordinação:

• 1
• 2
• ∞
• Frobenius

Answer 6

• 1: Norma induzida pela norma vetorial 1.
• 2 : Norma induzida pela norma vetorial 2.
• ∞: Norma induzida pela norma vetorial ∞.
• Frobenius: Norma subordinada à norma vetorial 2.

Question 7

Como calcular o número de condição de uma matriz A? Como ele é denotado? Qual a relação entre ele e o número da sua inversa?

Answer 7

O número de condição na norma p (denotado por κ p) de uma matriz A é κ(A) = ||A||p * ||A^-1||p. Ou seja, é a norma p de A multiplicada pela norma p da inversa de A. Por consequência desta multiplicação, o número de condição de uma matriz A é igual ao número de condição de sua inversa.

Question 8

Como se calcula o número de condição de uma matriz A na norma 2?

Answer 8

Se A é simétrica, seu número de condição κ(A)2 será igual ao quociente do maior autovalor pelo menor autovalor.

Se A não é simétrica, seu número de condição será igual ao quociente do maior valor singular pelo menor valor singular.

Question 9

Qual a relação entre o número de condição de uma matriz e sua inversa?

Answer 9

κ(A) = κ(A^-1)

Question 10

O que acontece com o número de condição de uma matriz A quando multiplicamos ela por sua transposta?

Answer 10

Ele é elevado ao quadrado.

Question 11

O que é um projetor? Qual a diferença entre um projetor ortogonal e um oblíquo?

Answer 11

Um projetor é uma matriz quadrada P que satisfaz a propriedade da idempotência (ou seja, P² = P * P = P). Um projetor ortogonal é um projetor que é igual à sua transposta. Todos os projetores que não são ortogonais são oblíquos.

Question 12

Se P é um projetor, o que podemos afirmar sobre (I - P)? Qual a relação entre essas duas matrizes no que diz respeito aos subespaços vetoriais? Qual a relação entre essas matrizes no que diz respeito ao espaço vetorial ao qual pertencem?

Answer 12

Se P é projetor, (I - P) também é projetor. O espaço coluna de P está no espaço nulo de (I - P) e vice-versa. Devido a essa relação, podemos escrever qualquer vetor pertencente ao espaço de P como uma soma direta entre P e (I - P).

Question 13

Geometricamente, o que ocorre quando aplicamos um projetor oblíquo P a um vetor z (ou seja, o que ocorre quando fazemos a multiplicação Pz)? O que acontece quando P é ortogonal?

Answer 13

Quando fazemos a multiplicação Pz, pegamos z e o deslocamos até um ponto pertencente ao C(P). Se P for ortogonal, esse ponto será o ponto em P mais próximo de z.

Question 14

Todo projetor ortogonal é uma matriz ortogonal. Verdadeiro ou falso? Justifique.

Answer 14

Falso. Uma matriz ortogonal é uma matriz Q tal que Q^T Q = I. Um projetor ortogonal P precisa somente ser simétrico.

Question 15

Nenhum projetor ortogonal é uma matriz ortogonal. Verdadeiro ou falso? Justifique.

Answer 15

Falso. A matriz identidade é uma matriz ortogonal e também é um projetor ortogonal.

Question 16

Como construir um projetor ortogonal a partir de uma matriz u de rank 1? Aonde ele projeta?

Answer 16

Se temos uma matriz u de rank 1, podemos construir um projetor ortogonal através da fórmula (u*u^T)/(u^T/u) que projetará no span de u.

Question 17

Como construir um projetor ortogonal a partir de uma matriz A de rank maior que 1? Aonde ele projeta?

Answer 17

Se temos uma matriz A de rank maior que 1, podemos construir um projetor ortogonal através da fórmula A(A^TA) ^ -1 * A^T que projetará no span de A.

Question 18

Tomemos uma base ortogonal A para o R^n. Como construir um projetor ortogonal para A levando em conta sua particularidade? Como reescrever a projeção deste projetor como uma soma?

Answer 18

Se A é uma base ortogonal para R^n, podemos construir um projetor para A como P(A) = AA^T. Ao projetarmos um vetor b em A, temos que P(b) = A * A^T b = soma de i = 1 até n de aiai^T*b.

Question 19

Como se calcula o resíduo da projeção de b em A?

Answer 19

O resíduo da projeção de b em A é dado por ||A*x’ - b||2 sendo x’ o vetor que minimiza o resíduo.