Álgebra Linear Computacional - ALC - 2 Flashcards
Qual a norma de x diante de A quando A é SPD ? Como ela é denotada?
A norma de x diante de A é denotada por ||x||a e é igual a (x^T a X) ^ 1/2 (ou seja, a raiz quadrada da energia de A).
Se A é SPD, A admite fatoração de Cholesky (R R^T). Nesse caso, ||x||a será igual a ||Rx||2.
O que é uma norma matricial induzida por uma norma vetorial? Qual condição é necessária para que a norma seja induzida? Qual propriedade ela satisfaz?
Uma norma matricial A induzida pela norma vetorial ||*||p, ||A||p, consiste na menor quantidade L para a qual a desigualdade seguinte vale para qualquer vetor x ∈ R: ||Ax||p <= L * ||x||p.
Para que a norma seja induzida, é necessário que exista ao menos um vetor x para o qual ||Ax||p = L * ||x||p (ou seja, a igualdade deve ser justa).
Qual propriedade é satisfeita pelas normas matriciais induzidas por normas vetoriais?
Uma norma vetorial e sua norma matricial induzida satisfazem a propriedade ||Ax|| <= ||A|| * ||x|| para qualquer x.
O que é um número de condicionamento considerado ruim? Qual o seu impacto?
Um número de condicionamento é considerado ruim quando ele é muito alto. Um número de condicionamento alto provoca erros numéricos grandes em operações llineares.
Qual a diferença entre uma norma subordinada e uma norma induzida?
Em uma norma induzida, existe pelo menos um vetor x para o qual ||Ax|| = ||A||* ||x||. Em uma norma subordinada, para todo x, ||Ax|| < ||A|| * ||x||.
Explique qual norma vetorial se relaciona com as seguintes normas matriciais e se essa relação é de indução ou subordinação:
- 1
- 2
- ∞
- Frobenius
- 1: Norma induzida pela norma vetorial 1.
- 2 : Norma induzida pela norma vetorial 2.
- ∞: Norma induzida pela norma vetorial ∞.
- Frobenius: Norma subordinada à norma vetorial 2.
Como calcular o número de condição de uma matriz A? Como ele é denotado? Qual a relação entre ele e o número da sua inversa?
O número de condição na norma p (denotado por κ p) de uma matriz A é κ(A) = ||A||p * ||A^-1||p. Ou seja, é a norma p de A multiplicada pela norma p da inversa de A. Por consequência desta multiplicação, o número de condição de uma matriz A é igual ao número de condição de sua inversa.
Como se calcula o número de condição de uma matriz A na norma 2?
Se A é simétrica, seu número de condição κ(A)2 será igual ao quociente do maior autovalor pelo menor autovalor.
Se A não é simétrica, seu número de condição será igual ao quociente do maior valor singular pelo menor valor singular.
Qual a relação entre o número de condição de uma matriz e sua inversa?
κ(A) = κ(A^-1)
O que acontece com o número de condição de uma matriz A quando multiplicamos ela por sua transposta?
Ele é elevado ao quadrado.
O que é um projetor? Qual a diferença entre um projetor ortogonal e um oblíquo?
Um projetor é uma matriz quadrada P que satisfaz a propriedade da idempotência (ou seja, P² = P * P = P). Um projetor ortogonal é um projetor que é igual à sua transposta. Todos os projetores que não são ortogonais são oblíquos.
Se P é um projetor, o que podemos afirmar sobre (I - P)? Qual a relação entre essas duas matrizes no que diz respeito aos subespaços vetoriais? Qual a relação entre essas matrizes no que diz respeito ao espaço vetorial ao qual pertencem?
Se P é projetor, (I - P) também é projetor. O espaço coluna de P está no espaço nulo de (I - P) e vice-versa. Devido a essa relação, podemos escrever qualquer vetor pertencente ao espaço de P como uma soma direta entre P e (I - P).
Geometricamente, o que ocorre quando aplicamos um projetor oblíquo P a um vetor z (ou seja, o que ocorre quando fazemos a multiplicação Pz)? O que acontece quando P é ortogonal?
Quando fazemos a multiplicação Pz, pegamos z e o deslocamos até um ponto pertencente ao C(P). Se P for ortogonal, esse ponto será o ponto em P mais próximo de z.
Todo projetor ortogonal é uma matriz ortogonal. Verdadeiro ou falso? Justifique.
Falso. Uma matriz ortogonal é uma matriz Q tal que Q^T Q = I. Um projetor ortogonal P precisa somente ser simétrico.
Nenhum projetor ortogonal é uma matriz ortogonal. Verdadeiro ou falso? Justifique.
Falso. A matriz identidade é uma matriz ortogonal e também é um projetor ortogonal.
Como construir um projetor ortogonal a partir de uma matriz u de rank 1? Aonde ele projeta?
Se temos uma matriz u de rank 1, podemos construir um projetor ortogonal através da fórmula (uu^T)/(u^Tu) que projetará no span de u.
Como construir um projetor ortogonal a partir de uma matriz A de rank maior que 1? Aonde ele projeta?
Se temos uma matriz A de rank maior que 1, podemos construir um projetor ortogonal através da fórmula A(A^TA) ^ -1 * A^T que projetará no span de A.
Tomemos uma base ortogonal A para o R^n. Como construir um projetor ortogonal para A levando em conta sua particularidade? Como reescrever a projeção deste projetor como uma soma?
Se A é uma base ortogonal para R^n, podemos construir um projetor para A como P(A) = AA^T. Ao projetarmos um vetor b em A, temos que P(b) = A * A^T b = soma de i = 1 até n de aiai^T*b.
Como se calcula o resíduo da projeção de b em A?
O resíduo da projeção de b em A é dado por ||A*x’ - b||2 sendo x’ o vetor que minimiza o resíduo.
Quando a matriz de projeção P relacionada a uma matriz A será uma matriz identidade?
Quando A for uma matriz quadrada de posto completo (ou seja, quando A n x n gerar o Rn).
Qual a dimensão do espaço no qual P projeta?
P projeta em um espaço cuja dimensão é igual ao seu rank.
Qual cuidado é necessário na hora de se aplicar a fórmula do projetor A (A^T A ) ^ -1 A ^ T a uma matriz? Por que esse cuidado é necessário?
É necessário que a matriz A usada no cálculo contenha apenas as colunas linearmente independentes de A’. Caso contrário, A^T A será uma matriz singular e portanto não possuirá inversa.
Dado um projetor P feito para uma matriz A, em qual espaço P projeta?
No espaço coluna de A.
Dado um projetor P feito para a matriz A, como construir um projetor que projete no espaço nulo de A?
Construindo o projetor P’ = (I - P).
Dado uma sequência de pontos bidimensionais a1, a2, a3, …, an, como encontrar a função linear y = ax + b que minimiza os quadrados das distâncias verticais até a reta? Dê um exemplo de como fazer isso usando cálculo e usando álgebra linear.
Usando cálculo, escreva as fórmulas das distâncias de a1, a2, …, an em relação à reta. Derive essa fórmula em relação a a e iguale a 0. Derive a primeira fórmula novamente em relação a b (ênfase: primeira fórmula, não a obtida na derivação anterior) e iguale a 0. Resolva o sistema linear envolvendo as duas equações.
Usando álgebra linear, resolva a equação A^T A x’ = A^T b, sendo A uma matriz cujas linhas contenham as coordenadas x e y dos pontos a1, a2, a3, …, an.
Construa a fórmula geral do projetor P = A (A^T A) ^ - 1 A^T, explicando o que ele busca encontrar e quais os subespaços envolvidos.
- Ao usarmos o projetor P em b, buscamos encontrar o ponto em A mais próximo de b. Em outras palavras, buscamos encontrar o vetor x pertencente a A que minimiza a norma do vetor x - b.
- Se x pertence a A, ele pertence ao espaço coluna de A. Por isso, podemos escrever x como Ax’, transformando o vetor acima em Ax’ - b.
- Temos pela geometria que a distância entre um ponto e uma reta é mínima quando o segmento que os liga possui um ângulo reto. Isso implica que o vetor Ax’ - b é perpendicular às colunas de A.
- Por consequência do tópico anterior, sabemos que o vetor Ax’ - b pertence ao espaço nulo de A^T. Ou seja, temos que A^T (Ax’ - b) = 0.
- Expandindo essa equação, temos:
A^T A x’ - A^T b = 0
A^T A x’ = A^T b - Para isolarmos x’, podemos fazer o seguinte processo:
(A^T A) ^ -1 A^T A x’ = (A^T A) ^ -1 A^T b
x’ = (A^T A) ^ -1 A^T b - Por último, aplicamos o vetor x’ retroativamente na segunda etapa:
Ax’ = x
x = A (A^T A) ^ -1 A^T b
Ou seja, dado um ponto B, para encontrarmos seu ponto mais próximo, é necessário multiplicar por A (A^T A) ^ -1 A^T.
Para que serve o processo de gram-Schmidt?
O processo de Gram-Schmidt serve para ortogonalizar um conjunto de vetores linearmente independetes.
De maneira resumida, como funciona o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar uma matriz A?
Repita para todas as colunas de A:
- Subtraia da coluna i as projeções de i sobre as colunas i-1, i-2, …, 1. Em outras palavras, subtraia de cada coluna a componente nas colunas anteriores.
- Divida i por sua norma.
