Binomialfordeling & central grænseværdi/estimation

Question 1

Beskriv binomialfordelingen

Answer 1

• Binomialfordelingen viser sandsynligheden for x antal succeser ved et antal uafhængige forsøg, når man kigger på to mulige udfald (succes eller fiasko).
• Binomialfordelingen nærmer sig normalfordelingen, når n er stor.

Question 2

Hvad kan man bruge binomialfordelingen til?

Answer 2

Binomialfordelingen viser (kun), hvor stor sandsynligheden er for at få ”succes” ved et bestemt antal gentagelser

Med andre ord: Binomialfordelingen kan bruges til at beregne sandsynligheder for forskellige muligheder i et Bernoulliforsøg

Question 3

Hvad er binomialfordelingens modelantagelser?

Answer 3

• Fast antal forsøg (n)
• Alle forsøg har et binært udfald - succes vs. Fiasko
• Fast sandsynlighed for succes (p) og fiasko (100-p)
• Forsøgene er uafhængige

Question 4

Forklar elementerne i binomialfordelingens ligning

Answer 4

• (n/x) = fakultet –> hvor mange forskellige måder er der af måder en person kan dø på = de forskellige kombinationer der kan være for succes (død)

Question 5

Hvad er den empiriske middelværdi?

Answer 5

Summen af observationer / antal observationer

Ift. terningekast –> antallet af øjne / antallet af personer der kaster

Question 6

Beskriv (den empiriske) varians på et enkelt punkt

Answer 6

Question 7

Hvad er den empiriske standardafvigelse?

Answer 7

Man tager kvadratroden af variansen, hvorfor man skal bruge variansen

To punkter på hver sin side af middelværdi

Question 8

Beskriv (den empiriske) varians på hele datasættet

Answer 8

Variansen er gennemsnittet af de kvadrerede forskelle mellem middelværdierne og de enkelte observationer.

dvs. hvor meget spreder observationerne i gennemsnittet sig fra middelværdien/gennemsnittet

Question 9

Hvad kan man bruge variansen til?

Answer 9

• Giver os en idé om, hvor spredte vores observationer er
• Variansen benyttes til at beregning standardafvigelse
  
  • Som bruges til at beregne SE
    
    • Som bruges til at beregne CI

Question 10

Hvad er forskellen mellem teoretiske og empiriske størrelser?

Answer 10

• Den empiriske størrelse man får ud af sit datasæt er regnet ud fra ens teoretiske størrelse.
• De tal jeg får ud i R bygger på en teoretisk værdi, men ER en empirisk værdi.

Question 11

Hvad kan standardafvigelse bruges til?

Answer 11

• Fortæller noget om, hvor meget data typisk spreder sig omkring middelværdien
• Bliver bestemt af variansen
• Standardafvigelse bruges til at bestemme standardfejlen (SE)

Question 12

Hvad er standardfejl (SE)?

Answer 12

Formel: standardafvigelse / kvadratroden af n

• SE siger noget om usikkerheden på vores estimat dvs. hvor sikre vi er på, at værdien ligger inden for den standardiserede data (95% område)
• Afhænger af standardafvigelsen, som afhænger af variansen
• SE for estimatet bruges til at beregne konfidensintervallet
• Jo mindre SE jo smallere konfidensinterval, og når stikprøvestørrelsen bliver større bliver SE mindre

Question 13

Hvad er den centrale grænseværdisætning?

Answer 13

• Sætningen: Gennemsnittet af et stort antal uafhængige og identisk fordelte variable vil altid approksimere en normalfordeling.*
• Jo flere observationer, jo bedre approksimation.*

Det betyder:

• Jo flere observationer desto smallere konfidensinterval som afhænger af standardfejl, som afhænger af variansen, som afhænger af antallet af observationer.
• Desto flere observationer der er, desto tættere på en normalfordeling.

Eksempel terninger:

• Uafhængige variable: resultatet af et kast med terning 1 påvirker ikke resultatet af et kast med terning 2, ligesom udfald af operation 1 ikke påvirker udfaldet på operation 2
• Identisk fordelte: terning 1 og terning 2 kan begge tage fordelingen 1, 2, 3, 4, 5, eller 6, ligesom operation 1 og operation 2 kan medføre enten en succes eller fiasko

Question 14

Hvad er estimationsusikkerhed?

Answer 14

• Hænger sammen med standardfejl, der siger noget om et estimats usikkerhed.
• Usikkerhedsmål: Hvor meget varierer dine observationer fra din middelværdi (variansen) og antallet af observationer (n)
  
  • Hvis den varierer meget er den mere usikker

Question 15

Hvad er forskellen mellem middelværdi og gennemsnit?

Answer 15

Middelværdien er gennemsnittet i populationen, som vi ville kende, hvis vi havde observeret alle.

Gennemsnittet: Gennemsnittet af stikprøvens observationer

Question 16

Hvorfor skal variansen kvadreres (opløftes)?

Answer 16

Hvis vi vil sige noget om spredningen for hele datasættet, kan vi summere enkelte afvigelser og dividere med antallet af observationer.

Men det vil altid give 0, så derfor opløfter vi summen af variationen af i anden potens, så vi kun får positive tal

Question 17

Hvad er Bernoulliforsøg?

Answer 17

Forsøg med to mulige udfald

Question 18

Når n er stor, hvad gør binomialfordelingen så?

Answer 18

Binomialfordelingen nærmer sig normalfordelingen, når n er stor.

Question 19

Beskriv estimation

Answer 19

Når man vil udtale sig om store grupper, ud fra små stikprøver, eller sige noget generelt, så estimerer man den sande værdi.

Question 20

Hvad er forskellen mellem variansen og standardafvigelse

Answer 20

• Standardafvigelsen er lig med kvadratroden af variansen, og er dermed ligeledes et mål for variationen omkring middelværdien.
• Standardafvigelsen har i modsætning til variansen samme enhed som data, hvilket gør tolkning lettere