глава 8 Flashcards
!Задача Эйлера
Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания,
измеряется половиной заключённой в нём дуги.
теорема
Произведение отрезков одной из двух пересекающихся хорд равно
произведению отрезков другой хорды.
теорема
Произведение секущей на её внешнюю часть равно
квадрату касательной.
теорема
Угол между двумя пересекающимися хордами измеряется
полусуммой заключённых между ними дуг.
Угол между двумя секущими, проведёнными из одной точки,
измеряется полуразностью заключённых внутри него дуг.
Угол между касательной и секущей, проведёнными из одной точки,
измеряется полуразностью заключённых внутри него дуг.
Угол между двумя касательными, про- ведёнными из одной точки,
равен 180° минус величина заключённой внутри него дуги, меньшей полуокружности.
В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов
равна 180°
свойство
Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°,
то около него можно описать окружность.
признак вписанного четырёхугольника
Множество точек плоскости, состоящее из двух данных точек А и В и всех таких точек М, для которых угол АМВ — прямой,
представляет собой окружность с диаметром АВ.
В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон
равны.
свойство
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны,
то в него можно вписать окружность.
признак описанного четырёхугольника
Квадрат медианы АМ треугольника АВС выражается формулой
АМ² = AB²/2 + AC²/2 − BC²/4
nеорема
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна
сумме квадратов его сторон.
cледствие
Биссектриса треугольника делит его сторону
на части, пропорциональные двум другим сторонам.
теорема
Площадь S описанного треугольника выражается формулой
S = рr,
где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной в него окружности.
теорема
В треугольнике АВС со сторонами АВ = c, ВС = а и СА = b имеют место равенства
теорема синусов
a/sinA = b/sinB = c/sinC =2R,
где R — радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
теорема
Площадь теругольника
sin
S=(1/2)bcsinA,
теорема
Площадь S вписанного треугольника со сторонами а, b и с выражается формулой
S = abc/4R,
где R — радиус описанной около него окружности.
следствие
Площадь S вписанного треугольника АВС выражается формулой
через углы
S = 2R² sinA sinB sinC,
где R — радиус описанной около него окружности.
следствие
Формула Герона
S = sqrt(p(p−a)(p−b)(p−c)),
где p = (a + b + c)/2 — полупериметр треугольника
Пусть на сторонах или продолжениях сторон АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки С1, А1, В1, не совпадающие с его вершинами, причём радиусы AC1 = pC1B, BA1 = qA1C, CB1 = rB1A.
Тогда если точки С1, А1, В1 лежат на одной пря- мой, то pqr = −1; обратно: если pqr = −1, то точки С1, А1, В1 лежат на одной прямой.
Теорема Менелая
Пусть на сторонах или продолжениях сторон АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки С1, А1, В1, не совпадающие с его вершинами, причём радиусы AC1 = pC1B, BA1 = qA1C, CB1= rB1A.
Тогда если прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке или попарно параллельны, то pqr = 1; обратно: если pqr = 1, то прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке или попарно параллельны.
Теорема Чевы
Эллипсом называется
множество всех таких точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек постоянна. Фиксированные точки называются фокусами эллипса.
Определение
Эллипс является
множеством всех таких точек плоскости, для которых отношение расстояния до фиксированной точки (фокуса) к расстоянию до фиксированной прямой (директрисы) постоянно и меньше единицы.
Указанное отношение называется эксцентриситетом эллипса
Любая прямая имеет с эллипсом
не более двух общих точек
Гиперболой называется
множество всех таких точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фик- сированных точек есть постоянная положительная величина. Фиксированные точки называются фокусами гиперболы.
Определение
Гипербола является
множеством всех таких точек плоскости, для которых отношение расстояния до фиксирован- ной точки (фокуса) к расстоянию до фиксирован- ной прямой (директрисы) постоянно и больше единицы
Параболой называется
множество всех таких точек плоскости, для которых расстояние до фиксированной точки равно расстоянию до фиксированной прямой, не проходящей через эту точку.
Определение
Любая прямая имеет с гипер- болой
не более двух общих точек
Любая прямая имеет с параболой
не более двух общих точек
