глава 8

Question 1

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания,

Answer 1

измеряется половиной заключённой в нём дуги.

теорема

Question 2

Произведение отрезков одной из двух пересекающихся хорд равно

Answer 2

произведению отрезков другой хорды.

теорема

Question 3

Произведение секущей на её внешнюю часть равно

Answer 3

квадрату касательной.

теорема

Question 4

Угол между двумя пересекающимися хордами измеряется

Answer 4

полусуммой заключённых между ними дуг.

Question 5

Угол между двумя секущими, проведёнными из одной точки,

Answer 5

измеряется полуразностью заключённых внутри него дуг.

Question 6

Угол между касательной и секущей, проведёнными из одной точки,

Answer 6

измеряется полуразностью заключённых внутри него дуг.

Question 7

Угол между двумя касательными, про- ведёнными из одной точки,

Answer 7

равен 180° минус величина заключённой внутри него дуги, меньшей полуокружности.

Question 8

В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов

Answer 8

равна 180°

свойство

Question 9

Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°,

Answer 9

то около него можно описать окружность.

признак вписанного четырёхугольника

Question 10

Множество точек плоскости, состоящее из двух данных точек А и В и всех таких точек М, для которых угол АМВ — прямой,

Answer 10

представляет собой окружность с диаметром АВ.

Question 11

В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон

Answer 11

равны.

свойство

Question 12

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны,

Answer 12

то в него можно вписать окружность.

признак описанного четырёхугольника

Question 13

Квадрат медианы АМ треугольника АВС выражается формулой

Answer 13

АМ² = AB²/2 + AC²/2 − BC²/4

nеорема

Question 14

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна

Answer 14

сумме квадратов его сторон.

cледствие

Question 15

Биссектриса треугольника делит его сторону

Answer 15

на части, пропорциональные двум другим сторонам.

теорема

Question 16

Площадь S описанного треугольника выражается формулой

Answer 16

S = рr,
где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной в него окружности.

теорема

Question 17

В треугольнике АВС со сторонами АВ = c, ВС = а и СА = b имеют место равенства

теорема синусов

Answer 17

a/sinA = b/sinB = c/sinC =2R,
где R — радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

теорема

Question 18

Площадь теругольника

sin

Answer 18

S=(1/2)bcsinA,

теорема

Question 19

Площадь S вписанного треугольника со сторонами а, b и с выражается формулой

Answer 19

S = abc/4R,
где R — радиус описанной около него окружности.

следствие

Question 20

Площадь S вписанного треугольника АВС выражается формулой

через углы

Answer 20

S = 2R² sinA sinB sinC,
где R — радиус описанной около него окружности.

следствие

Question 21

Формула Герона

Answer 21

S = sqrt(p(p−a)(p−b)(p−c)),
где p = (a + b + c)/2 — полупериметр треугольника

Question 22

Пусть на сторонах или продолжениях сторон АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки С1, А1, В1, не совпадающие с его вершинами, причём радиусы AC1 = pC1B, BA1 = qA1C, CB1 = rB1A.

Answer 22

Тогда если точки С1, А1, В1 лежат на одной пря- мой, то pqr = −1; обратно: если pqr = −1, то точки С1, А1, В1 лежат на одной прямой.

Теорема Менелая

Question 23

Пусть на сторонах или продолжениях сторон АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки С1, А1, В1, не совпадающие с его вершинами, причём радиусы AC1 = pC1B, BA1 = qA1C, CB1= rB1A.

Answer 23

Тогда если прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке или попарно параллельны, то pqr = 1; обратно: если pqr = 1, то прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке или попарно параллельны.

Теорема Чевы

Question 24

Эллипсом называется

Answer 24

множество всех таких точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек постоянна. Фиксированные точки называются фокусами эллипса.

Определение

Question 25

Эллипс является

Answer 25

множеством всех таких точек плоскости, для которых отношение расстояния до фиксированной точки (фокуса) к расстоянию до фиксированной прямой (директрисы) постоянно и меньше единицы.

Указанное отношение называется эксцентриситетом эллипса

Question 26

Любая прямая имеет с эллипсом

Answer 26

не более двух общих точек

Question 27

Гиперболой называется

Answer 27

множество всех таких точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фик- сированных точек есть постоянная положительная величина. Фиксированные точки называются фокусами гиперболы.

Определение

Question 28

Гипербола является

Answer 28

множеством всех таких точек плоскости, для которых отношение расстояния до фиксирован- ной точки (фокуса) к расстоянию до фиксирован- ной прямой (директрисы) постоянно и больше единицы

Question 29

Параболой называется

Answer 29

множество всех таких точек плоскости, для которых расстояние до фиксированной точки равно расстоянию до фиксированной прямой, не проходящей через эту точку.

Определение

Question 30

Любая прямая имеет с гипер- болой

Answer 30

не более двух общих точек

Question 31

Любая прямая имеет с параболой

Answer 31

не более двух общих точек