11-M-1

Question 1

Два треугольника подобны:

Answer 1

1) если два угла одного соответственно равны двум углам другого;

2) если две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны;

3) если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.

признаки

Question 2

Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие в различных точках,

Answer 2

отсекает треугольник, подобный данному

следствие

Question 3

Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие стороны,

Answer 3

отсекает на них отрезки, пропорциональные данным сторонам

теорема о пропорциональных отрезках, следствие

Question 4

Если прямая пересекает две стороны треугольника и отсекает на них пропорциональные отрезки,

Answer 4

то она параллельна третьей стороне

следствие

Question 5

площади подобных треугольников

Answer 5

относятся как квадрат коэффициента подобия

Question 6

Три медианы треугольника

Answer 6

пересекаются в одной точке и точкой пересечения каждая медиана делится в отношении 2 : 1, считая от вершины

теорема

Question 7

Три медианы, пересекаясь,

Answer 7

разбивают треугольник на 6 треугольников с общей вершиной, площади которых равны между собой.

Question 8

Если AA₁ и BB₁ - высоты непрямоугольного треугольника ABC, то треугольник A₁B₁C

Answer 8

подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия k = A₁B₁/AB = |cosC|

Question 8

Три высоты треугольника или три прямые, на которых лежат высоты,

Answer 8

пересекаются в одной точке.

Эта точка называется ортоцентром треугольника

Question 9

Если высоты AA₁ и BB₁ (или их продолжения) пересекаются в точке H,

Answer 9

то справедливо равенство
AH * HA₁ = BH * HB₁

Question 10

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки,

Answer 10

пропорциональные прилежащим сторонам

Question 11

Пусть AD - биссектриса треугольника ABC, тогда AD =

Answer 11

√(AB * AC - DB * DC)

Question 12

Точки A₁ и C₁, расположенные на сторонах BC и AB треугольника ABC, и точка B₁, расположенная на продолжении стороны AC за точку C, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда имеет место равенство

Answer 12

AC₁/C₁B * BA₁/A₁C * CB₁/B₁A = 1

Теорема Менелая

Question 13

Если из точки к окружности проведены две касательные,

Answer 13

то длины отрезков от этой точки до точек касания равны и прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, делит угол между касательными пополам

Question 14

В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда,

Answer 14

когда суммы длин противолежащих сторон равны.

Question 15

Градусная мера угла, образованного хордой и касательной, имеющими общую точку на окружности, равна

Answer 15

половине градусной меры дуги, заключённой между его сторонами

Question 16

если из точки М к окружности проведены касательная и секущая,

Answer 16

то квадрат отрезка касательной от точки М до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от точки М до точек её пересечения с окружностью

Question 17

Если из точки M к окружности
проведены две секущие: MB, пересекающая окружность в точке C, и MK, пересекающая окружность в точке L, то справедливо равенство

Answer 17

MB * MC = MK * ML

Question 18

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда,

Answer 18

когда сумма противолежащих углов равна 180º

Question 19

из всех параллелограммов описать окружность можно только около

Answer 19

прямоугольника

Question 20

около трапеции можно описать окружность только тогда,

Answer 20

когда она равнобокая

Question 21

теорема косинусов

Answer 21

c² = a² + b² - 2abcosC

Question 22

теорема синусов

Answer 22

a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2R

где R – радиус описанной около треугольника окружности

Question 23

в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна

Answer 23

сумме квадратов всех его сторон

Question 24

S =

Формулы площади треугольника

a –основание, hₐ –высота к a

Answer 24

ahₐ/2

Question 25

S=

Формулы площади треугольника

a,b – стороны, C - угол между ними

Answer 25

1/2 ab sinC

Question 26

S=

Формулы площади треугольника

формула Герона

Answer 26

√(p(p-a)(p-b)(p-c)

2p = a+b+c

Question 27

S =

Формулы площади треугольника

r - радиус вписанной окружности

Answer 27

pr

2p = a+b+c

Question 28

S =

Формулы площади треугольника

R - радиус описанной окружности

Answer 28

abc/4R

Question 29

S =

Формулы площади треугольника

rₐ - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны a

Answer 29

(p-a)rₐ

2p = a+b+c

Question 30

S =

Формулы площади трапеции

a и b – основания, h – высота

Answer 30

h(a+b)/2

Question 31

S =

Формулы площади трапеции

c - боковая сторона

Answer 31

c * m

m - расстояние до неё от середины другой боковой стороны

Question 32

S =

Формулы площади параллелограмма

a –сторона, h –высотак a

Answer 32

ah

Question 33

S =

Формулы площади параллелограмма

a и b - стороны, α - величина угла между ними

Answer 33

ab sinα

Question 34

S =

Формула площади четырёхугольника

d₁ и d₂ - диагонали, 𝜑 - величина угла между ними или между их продолжениями

Answer 34

1/2 d₁d₂ sin𝜑

Question 35

Свойство параллелограмма

a и b - стороны, d₁ и d₂ - диагонали

Answer 35

d₁²+d₂² = 2(a²+b²)

Question 36

Формула медианы треугольника

a, b, c – стороны треугольника, mc – медиана, приведённая к c

Answer 36

mc² = (a²+b²)/2 - c²/4

Question 37

AD =

Формулы биссектрисы AD треугольника ABC

b=AC,c=AB

Answer 37

2bc/(b+c) * cos(A/2)

Question 38

AD =

Формулы биссектрисы AD треугольника ABC

x = BD, y = DC, x/y = c/b

Answer 38

√(bc - xy)

Question 39

Свойство равнобокой трапеции

a и b - основания, c - боковая сторона, d - диагональ

Answer 39

d² = c² + ab

Question 40

Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках M и N. Если основания трапеции равны a и b, MN =

Answer 40

2ab/a+b