11-M-1 Flashcards
Два треугольника подобны:
1) если два угла одного соответственно равны двум углам другого;
2) если две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны;
3) если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.
признаки
Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие в различных точках,
отсекает треугольник, подобный данному
следствие
Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие стороны,
отсекает на них отрезки, пропорциональные данным сторонам
теорема о пропорциональных отрезках, следствие
Если прямая пересекает две стороны треугольника и отсекает на них пропорциональные отрезки,
то она параллельна третьей стороне
следствие
площади подобных треугольников
относятся как квадрат коэффициента подобия
Три медианы треугольника
пересекаются в одной точке и точкой пересечения каждая медиана делится в отношении 2 : 1, считая от вершины
теорема
Три медианы, пересекаясь,
разбивают треугольник на 6 треугольников с общей вершиной, площади которых равны между собой.
Если AA₁ и BB₁ - высоты непрямоугольного треугольника ABC, то треугольник A₁B₁C
подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия k = A₁B₁/AB = |cosC|
Три высоты треугольника или три прямые, на которых лежат высоты,
пересекаются в одной точке.
Эта точка называется ортоцентром треугольника
Если высоты AA₁ и BB₁ (или их продолжения) пересекаются в точке H,
то справедливо равенство
AH * HA₁ = BH * HB₁
Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки,
пропорциональные прилежащим сторонам
Пусть AD - биссектриса треугольника ABC, тогда AD =
√(AB * AC - DB * DC)
Точки A₁ и C₁, расположенные на сторонах BC и AB треугольника ABC, и точка B₁, расположенная на продолжении стороны AC за точку C, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда имеет место равенство
AC₁/C₁B * BA₁/A₁C * CB₁/B₁A = 1
Теорема Менелая
Если из точки к окружности проведены две касательные,
то длины отрезков от этой точки до точек касания равны и прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, делит угол между касательными пополам
В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда,
когда суммы длин противолежащих сторон равны.
Градусная мера угла, образованного хордой и касательной, имеющими общую точку на окружности, равна
половине градусной меры дуги, заключённой между его сторонами
если из точки М к окружности проведены касательная и секущая,
то квадрат отрезка касательной от точки М до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от точки М до точек её пересечения с окружностью
Если из точки M к окружности
проведены две секущие: MB, пересекающая окружность в точке C, и MK, пересекающая окружность в точке L, то справедливо равенство
MB * MC = MK * ML
Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда,
когда сумма противолежащих углов равна 180º
из всех параллелограммов описать окружность можно только около
прямоугольника
около трапеции можно описать окружность только тогда,
когда она равнобокая
теорема косинусов
c² = a² + b² - 2abcosC
теорема синусов
a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2R
где R – радиус описанной около треугольника окружности
в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна
сумме квадратов всех его сторон
S =
Формулы площади треугольника
a –основание, hₐ –высота к a
ahₐ/2
S=
Формулы площади треугольника
a,b – стороны, C - угол между ними
1/2 ab sinC
S=
Формулы площади треугольника
формула Герона
√(p(p-a)(p-b)(p-c)
2p = a+b+c
S =
Формулы площади треугольника
r - радиус вписанной окружности
pr
2p = a+b+c
S =
Формулы площади треугольника
R - радиус описанной окружности
abc/4R
S =
Формулы площади треугольника
rₐ - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны a
(p-a)rₐ
2p = a+b+c
S =
Формулы площади трапеции
a и b – основания, h – высота
h(a+b)/2
S =
Формулы площади трапеции
c - боковая сторона
c * m
m - расстояние до неё от середины другой боковой стороны
S =
Формулы площади параллелограмма
a –сторона, h –высотак a
ah
S =
Формулы площади параллелограмма
a и b - стороны, α - величина угла между ними
ab sinα
S =
Формула площади четырёхугольника
d₁ и d₂ - диагонали, 𝜑 - величина угла между ними или между их продолжениями
1/2 d₁d₂ sin𝜑
Свойство параллелограмма
a и b - стороны, d₁ и d₂ - диагонали
d₁²+d₂² = 2(a²+b²)
Формула медианы треугольника
a, b, c – стороны треугольника, mc – медиана, приведённая к c
mc² = (a²+b²)/2 - c²/4
AD =
Формулы биссектрисы AD треугольника ABC
b=AC,c=AB
2bc/(b+c) * cos(A/2)
AD =
Формулы биссектрисы AD треугольника ABC
x = BD, y = DC, x/y = c/b
√(bc - xy)
Свойство равнобокой трапеции
a и b - основания, c - боковая сторона, d - диагональ
d² = c² + ab
Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках M и N. Если основания трапеции равны a и b, MN =
2ab/a+b
