7 Grundlagen Inferenzstatistik II (mf, fl/)

Question 1

Erkläre das Konzept der gerichteten Nullhypothese, einseitiger Test:

1. Wann sind Ergebnisse signifikant und wie wird es angegeben?
2. Was ist das Signifikantsniveau ?

Answer 1

1. wenn der Wert der statistischen Kenngrösse (Mittelwert) in einen vorher festgelegten Bereich fällt, der am stärksten gegen die Nullhypothese spricht. Signifikanz
   Konvention ist :
   
   • Wird in Überschreitungswahrscheinlichkeit p angegeben -> Wahrscheinlichkeit, dass das gefundene Ergebnis oder noch ein stärker gegen die Nullhypothese sprechendes Ereignis unter Gültigkeit der Nullhypothese zu finden.
2. = festgelegte Grenze der Wahrscheinlichkeit. z.b 0,05 = 5% Alpha

Question 2

Wie wird zwischen einer gerichteten Alternativhypothese und Nullhypothese bei einem einseitigen Test unterschieden?

Answer 2

• Alternativhypothese:
  
  • Bsp. Die Person (bzw. Stichprobe) stammt aus einer Population mit einem Mittelwert von µ > 50
  • allgemein: H1: µ1 > µ0
• Nullhypothese:
  
  • Die Person (bzw. Stichprobe) stammt aus einer Population mit einem Mittelwert von µ ≤ 50
  • allgemein H0: µ ≤ µ0

Somit gilt µ1 != µ0 und ( µ1 und µ0) decken die gesammte Population ab!

gerichtet: Aussage darüber in welche Richtung die Abweichung ist.

Question 3

In welchem Verhältnis gemäss dem binären Entscheidungskonzept nach Neyman und Pearson stehen die Null- und Alternativhypothesen?

Answer 3

• Alternativhypothese meistens die interessierende Forschungshypothese
• Nullhypothese ist der Gegenpart der Alternativhypothese
• Gegenseitiges ausschliessen
• Binäre Entscheidung:
  
  • Nullhypothese oder Alternativhypothese

Question 4

Beschreibe die Art und Wahrscheinlichkeit richtiger und falscher Entscheidungen beim statistischen Testen.

Answer 4

Question 5

Beschreibe den Fehler erster Art ( α )

Answer 5

Die Irrtumswahrscheinlichkeit (α) ist die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Test ein signifikantes Ergebnis produziert, obwohl in Wirklichkeit die H₀ gilt.

Question 6

Beschreibe den Fehler zweiter Art

Answer 6

Um die β-Fehlerwahrscheinlichkeit bestimmen zu können, muss in der Alternativenhypothese genau spezifisiert werden, wie gross der Unterschied/Zusammenhang ist. (spezifische Hypothese)

Die Irrtumswahrscheinlichkeit beta ist die Wahrscheinlichkeit, mit der ein statistischer Test ein nicht- signifikantes Ereignis produziert, obwohl in Wirklichkeit die H₁ gilt.

• Abweichung nach Links -> H₀ bestätigt*
• Abweichung nach Rechts -> H₁ bestätigt*

Question 7

Was versteht man unter der Teststärke (Power) ?

Von was hängt die Teststärke (Power) ab?

Answer 7

• 1 - β ist die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Test ein signifikantes Ergebnis produziert, unter der Annahme, dass ein Effekt einer bestimmten (hypothetischen festlegung) Grösse tatsächlich existiert.
• β und (1-β) hängen ab von:
  
  • Effektgrösse
  • Signifikanzniveau α
  • Streuung der Populationsmerkmalsverteilung
  • Stichprobengrösse
  • Art des Tests (einseitig vs. zweiseitig)

Question 8

Was gilt allgemein für einseitige/zweiseitige Tests?

1. Nenne Zusammenhänge zwishen β und der Grösse des Effekts.
2. Nenne Zusammenhänge zwishen β und Signifikanzniveau α.
3. Nenne Zusammenhänge zwishen β und der Streuung der Populationsverteilung
4. Nenne Zusammenhänge zwishen β und des Stichprobenumfangs

Answer 8

Die Teststärke ist bei einem einseitigen Test grösser als bei einem zweiseitigen Test.

1. Je grösser ε, desto kleiner β
2. je grösser α, desto grösser β
3. je kleiner die Merkmalstreuungsverteilung, je Steiler die Verteilung, desto kleiner ist β
4. je grösser n, desto grösser β

Question 9

Welche Hypothese braucht man,
um den α Fehler zu bestimmen und
welche für den β -Fehler?

Answer 9

• α-Fehler = braucht nur H₀ Hypothese
• β -Fehler = braucht zusätzlich eine /zwei sezifische Hypothese

Question 10

Führe einen vergleich eines Stichprobenmittelweres mit einem Populationsmittelwert bei bekannter Populationsvarianz durch. Was fällt auf?

Answer 10

Vergleich eines Stichprobenmittelwertes mit einem Populationsmittelwert bei bekannter Populationsvarianz

Einstichproben-Gauss-Test

z_emp= 3.58

z_krit(1) = -1.96

z_{krit(2) =} +1.96

z_empkrit(1)

z_emp>=z_krit(2)

Einstichproben-t-Test

t_emp= 3.25

t_krit(1) = -2.09

t_krit(2) =+2.09

t_empkrit(1)

t_emp>=t_krit(2)

wobei der geschätzte Stichprobenmittelwet bei 2.46 liegen würde.

Question 11

Was ist die Eigenschaft eines p-Werts in einem zweiseitigen Test?

Answer 11

• Wahrscheinlichkeit, unter H₀ den beobachteten Prüfgrössenwert oder einen (in Richtung Alternative) noch extremeren Wert zu erhalten .
• Bezieht sich auf Betrag der Prüfgrösse
• Gleicher Wert der Prüfgrösse geht beim zweiseitigen Test - im Vergleich zum einseitigen Test - mit doppeltem p-Wert einher.
• Einseitiger Test hat mehr Power!

Question 12

Wie verändert sich die ungerichtete Nullhypothese
und Alternativhypothese bei einem zweiseitigen Test?

Answer 12

• Nullhypothese:
  
  • Die Person (bzw. Stichprobe) stammt aus einer Population mit einem Mittelwert von µ = 50
  • allgemein H0: µ = µ0
• Alternativhypothese:
  
  • Bsp. Die Person (bzw. Stichprobe) stammt nicht aus einer Population mit einem Mittelwert von µ = 50
  • allgemein: H1: µ ≠ µ0

Question 13

Worin unterschiedet sich der p-Wert und α-Fehler?

Answer 13

• Überschreitungswahrscheinlichkeit p -> empirisches Ereignis
• Irrtumswahrscheinlichkeit von α -> vor der Untersuchung festgelegt

Question 14

Wie sieht der Ablehnungsbereich von einem zweiseitigen Test aus?

Was gilt es bei β zu beachten?

H₀ : µ = 0

H₁ : µ ≠ 0 (ungerichtet)

Answer 14

Ablehnung der H₀ beim zweiseitigen Testen
⇒ der Mittelwert muss einseitig viel extremer als der
Ablehnungsbereich x_krit(1) = -2,94, x_krit(2) = 2,94 sein

• Alternativhypothese, ungerichtet
  vom Mittelwert Links -> negative Werte
  vom Mittelwert Rechts -> positive Werte

Für die Berechnung von β muss ein gerichteter Effekt aufgestellt werden!

Question 15

Wofür wird der Einstichproben-Gauss-Test (z-Test) verwendet?
Was gilt es beim zweiseitigen Test zu betrachten?

Answer 15

Vergleich eines Stichprobenmittelwertes mit einem Populationsmittelwert bei bekannter Populationsvarainz -> Varianz muss bekannt sein!

Formulierung analog der gerichteten oder ungerichteten Null- und Alternativhypothese

Zweiseitiger Test
Gleiche Prüfgrosse wie beim einseitigen Test, aber andere kritische Werte!

z.b z_krit(1) = - 1, 96 z_emp ≤ z_krit(1)

z_{krit (2)}= + 1,96 z_emp ≥ z _krit(2)

Question 16

Was ist der Unterschied und die Gemeinsamkeit zwischen
dem Einstichproben-Gauss-Test (z-Test) und dem Einstichproben-t-Test

Answer 16

• Unterschied
  
  • Einstichproben-Gauss-Test (z-Test)
    Populationsvarianz ist bekannt z.B Intelligenztest µ = 100
  • Einstichproben-t-Test
    Populationsvarianz ist unbekannt -> Nötig: Schätzung des Standartfehlers des Mittelwerts aus Stichprobendaten
• Gemeinsamkeit
  Gleiche Formulierung der Hypothesen und
  gleiche Schätzung des Standartfehlers des Mittelwerts aus Stichprobendaten

Question 17

Wann wird der Einstichproben-t-Test eingesetzt?

Answer 17

Beim Vergleich eines Stichprobenmittelwerts mit einem Populationsmittelwert, wenn die Populationsvarianz unbekannt ist!

Formulierung analog der gerichteten oder ungerichteten Null- und Alternativhypothese &

Schätzung des Standardfehlers des Mittelwerts aus Stichprobendanten (n=20)

Zweiseitiger Test
Gleiche Prüfgrösse wie beim einseitigen Test, aber andere kritische Werte!

z. b t_krit(1) = - 2,09 t_emp ≤ t_krit(1)
* t*_{krit (2)}= + 2,09 t_emp ≥ t_krit(2)

Question 18

Was ist der zweiseitiger Test: p-Wert?

Answer 18

• Wahrscheinhlichkeit, unter H₀ den beobachteten Prüfgrössenwert oder einen in Richtung der Alternative noch extremeren Wert zu erhalten.
• Bezieht sich auf den Betrag der Prüfgrösse -> Summe der Fläche links + rechts der kritischen Werte.
• Gleicher Wert der Prüfgrösse beim zweiseitigen Test -> Doppelter p-Wert!

Question 19

Bisher war µ = 0. Wie kann µ genauer spezifiziert werden?

Answer 19

Konfidenzintervall!

Liegt der Mittelwert im Konfidenzintervall -> nicht signifikant
Liegt der Mittelwert nicht im Konfidenzinvervall -> signifikant!

Question 20

Wie ist der Zusammenhang zwischen Konfidenzintervall und dem Signifikanztest?

Answer 20

Vergleich eines Stichprobenmittelwerts mit einem Populationsmittelwert

Liegt der Populationsmittelwert µ₀ nicht im Konfidenzintervall des Stichprobenmittelwerts, dann wird die Nullhypothese verworfen

Konfidenzintervall wird um den Mittelwert gebaut zum Festlegen von µ.

Test nur mit Nullhypothese, häuftig bei skalierten Tests

Question 21

Es ist schwierig, Stichproben miteinander zu vergleichen, in denen Effekte mit unterschiedlicher Metrik (unter. Anzahl von Fragen, Skalen..) erfasst wurde.

Wie muss man Vorgehen, um einen a-priori-Poweranalyse = erforderliche Stichprobengrösse zu erhalten?

Wie wird Cohens δ hierfür verwendet?

Answer 21

Standardisierte Effektgrösse der Population (e = äbsylon; kein Symbol gefunden) ist die Differenz zwischen µ₁ und µ₀ zur Aussage über die Schätzung.

Cohens δ zur Transformation der Effektgrösse in die Standardabweichung für den wahren Populationswert.

Wie gut die Cohens δ Schätzung ist, kann mit dem 95% -Konfidenzintervall für Cohens δ überprüft werden.

Question 22

Welche Heuristiken wurden von Cohens δ festgelegt?

Answer 22

Question 23

Interpretiere die Tabelle in Bezug auf den Zusammenhang
zwischen Stichprobengrösse (n) und Teststärke (1 - β)
in Abhängigkeit der grösse des Effekts δ?

Answer 23

• bei grossen Effekten δ₁ = 0,8 Power schnell in Richtung 1 (ab n= 25)
• für kleinere Effekte brauchen wird grössere Stichproben! δ₁ = 0, 2

Question 24

Zusammenfassung der Schritte beim statistischen Testen, Teil I
Punkt 1 bis 3

Answer 24

Question 25

Zusammenfassung der Schritte beim statistischen Testen, Teil II
Punkt 4 bis 9

Answer 25

Question 26

Was sind die wichtigesten Merkpunkte zum Thema Hypothesentesten,
die du wissen musst?

Answer 26

• nicht-signifikantes Ergebnis zeigt nicht, dass die H₀ wahr ist, sondern dass wir sie ablehnen
• Signifikanzniveau muss vor der Untersuchung festgelegt werden -> α
• Formulierung der Hypothesen vor der Untersuchung
• Formulierung der Hypothesen anhand von Zusammenhängen in den Daten, dann müssen diese Hypothesen an den neuen Daten überprüft werden!
• Signifikantes Ergebnis heisst nicht, dass der Effekt genau gschätz wurde, deshalb sind Konfidenzintervalle notwendig!
• Der p-Wert entspricht NICHT der Wahrscheinlichkeit mit der die H0 wahr ist