3. Bivariate Deskriptivstatistik: Produkt-Moment-Korrelation (fl)

Question 1

Erkläre den bivariaten Zusammenhang.

welche Zusammenhangsmasse bei metrischen Variablen gibt es?

Answer 1

• Zusammenhang zwischen zweier Merkmalen
• gemeinsame Verteilung von zwei Merkmalen
• Zusammenhangsmasse bei metrischen Variablen
  
  • Kovarianz
  • Korrelation nach Bravais-Pearson (Produkt-Moment-Korrelation).

Wenn zwei Merkmale korrelieren, kann man von der Ausprägung der einen Variabel auf die Ausprägung der anderen Variabel schliessen.

Question 2

Was ist die gleichsinnige oder positive Korrelation?

Answer 2

Zwei Merkmale sind bei den meisten Merkmalsträger einer Stichprobe ähnlich ausgeprägt:

bei einer Person beide stark und bei der anderen Person beide schwach

“Je religiöser, desto zufriedener”.

Question 3

Beschreibe die gegensinnige oder negative Korrelation.

Answer 3

Hohe Ausprägung einer Variable

vs.

niedrige Ausprägung einer anderen Variable.

“Je länger die Therapie, desto geringer der Leistungsdruck”.

Question 4

Was ist das Kreuzprodukt? Wann liegt ein positives Kreuzprodukt vor / wann ein negatives?

Nenne die Formel.

Answer 4

Das Produkt aus beiden Abweichungen -> KP

Wird positiv, wenn eine Person..

• in beiden Variablen über dem Mittelwert liegt
• in beiden Variablen unter dem Mittelwert liegt

Wird negativ, wenn eine Person..
- in einer der beiden Variablen über dem Mittelwert liegt, in der anderen Varbiable unter dem Mittelwert liegt

Question 5

Was ist die Kreuzproduktsumme?
Nenne die Darstellung in der Tabelle für

• positiv
• negativ
• Null

Answer 5

oder: Summe der Abweichungsprodukte -> KPS

Wird positiv
wenn es relativ mehr Personen gibt, die eine gleichsinnige Abweichung vom Mittelwert beider Variable aufweisen. (siehe Tabelle)

Wird negativ
wenn das Gegenteil der Fall ist.

Wird Null
wenn sich die Personen mit gleichsinniger Abweichung und Personen mit gegenseitiger Abweichung in etwa die Waage halten.

-> Grösse der Abweichung ist ebenfalls wichtig!

Question 6

Nenne die Eigenschaften der Kreuzproduktsumme

Answer 6

• positiv -> wenn entweder beide Variablen überdurchschnittlich oder beide Variable unterdurchschnittliche Werte haben
• negativ -> wenn eine der Variable überdurchschnittlich und die andere Variable unterdurchschnittlichne Wert haben.
• Wenn überwiegend positive Produkte der Summe = positive Kreuzproduktsumme -> positive Korrelation. (Das Gegenteil bei negativer)
• hängt von der Anzahl der Merkmalsträgern (n) und von der Streuung der beiden beteiligten Variablen ab.
• Wenn sich positive und negative Produkte die Waage halten -> Kreuzproduktsumme 0 oder Nahe an 0 => Es besteht kein oder geringer Zusammenhang zwischen den Merkmalen.

Question 7

Erkläre die Kovarianz. Nenne die Formel.

Answer 7

Mittelwert der Kreuzprodukte.

• durchschnittliche Gleichsinnigkeit (+)
• durchschnittliche Gegensinnigkeit (-)

Question 8

Nenne die Eigenschaften der Kovarainz.

Answer 8

• Ist eine der beiden Variabeln eine Konstante (d.h jeder Merkmalsträger hat denselben Messwert) -> Kovarianz immer gleich 0!
• Kovarianz nimt überproportional zu, je weiter die Messwerte vom Mittelwert entfernt sind. -> reagiert sensibel auf Ausreisser!
• Addition von Konstanten a und b zu den Messwerten ändern nichts.
• bei einer multiplikativer Konstante a verändert sich die Kovarianz (–> S_XY * a )

Question 9

Was ist die Korrelation?

Answer 9

Systematische Beobachtung über gemeinsame Varriation von Ereigenissen oder Merkmale -> Zusammenhang

Korrelationsmethode: statistische Methode, die den Zusammenhang von Variablen überprüft.

Vorteile
Erkennen von Zusammenhängen, umfangreiche statistische Möglichkeiten -> allg. Schlussfolgerung in der Population

Nachteile
Beziehungen zwischen Variablen können nur beschrieben, nicht aber erklärt werden!

Question 10

Was ist die Korrelation nach Bravais - Pearson (Produkt-Moment-Korrelation)?

Answer 10

Am Produkt der Standartabweichung der beteiligten Variablen relativierte Kovarianz, die damit unabhängig von der Skalierung und der Varianz der Variabel wird.

Het jemand en bessere beschrieb?

Erinnerung:

s_x -> empirische Standartabweichung bei univariater statistischen Methode

s_xy -> Kovarianz

r_xy -> Korrelation

Question 11

Was ist der Korrelationskoeffizient?

Answer 11

Nach Bravais und Person:

• Mass für den linearen Zusammenhang zweier statistischer Variabeln
• d.H gibt die Richtung der linearen Gerade und der Stärke an
• IMMER zwischen -1 und 1!
• Sensibel auf Ausreisser

Question 12

Nenne die Formel der Kovarianz, Standartabweichung und der Korrelation.

Answer 12

Question 13

Was passiert bei der Korrelation, wenn eine Variable konstant ist?

Answer 13

Nicht definierte Korrelation

r_xy ist nicht definierbar -> 0 ist verboten.

Question 14

Zeichne eine perfekte positive Korrelation im Koordinatensystem.

Answer 14

Schwarze Linie repräsentiert die perfekte lineare Abhängigkeit / Beschreibung.

Question 15

Zeichne eine perfekt negative Korrelation im Koordinatensystem.

Answer 15

Question 16

Zeichne eine Nullkorrelation im Koordinatensystem.

Worin besteht die Gefahr bei Nullkorrelationen?

Answer 16

Kein linearer Zusammenhang.

Gefahr besteht darin, dass durch die Nullkorrelation die Subgruppen übersehen werden. Trotz Nullkorrelation kann zwischen den Subgruppen eine Korrelation bestehen.

s_xy -> 0,00

r_xy -> 0,00

Question 17

Wie reagieren Korrelationen auf Ausreisser?

Answer 17

Erinnerung: Sensibel auf Ausreisser reagieren..

• Korrelation
• Arithmetische Mittel
• Varianz

-> winsorisierte Mittel und getrimmte Mittel sind bei Korrelation zwischen zwei Variablen und Varianz möglich!

Erklärung Koordinatensystem
die lineare Gerade repräsentiert die bestmögliche Beschreibung der Werte. Diese zeigt an, dass die Steigung gross ist -> wenn man von der X-Achse “nach oben” geht, ändert sich der Wert. D.h der Wert verändert sich stark, trotz Nullzusammenhang.

Question 18

Nenne die Eigenschaften der Kovarianz.

Answer 18

• Varianz = Kovarianz der Variable mit sich selbst. z.B Aus zwei gleichen Variablen “Anstrengung und Anstrengung” die Kovarianz berechnen.
• Additive Konstante haben keine Effekt auf die Kovarianz
  
  • z.B Additive Konstante -> zu jeder Person werden Konstanen hinzugefügt oder weggenommen. -> Bei der Transformation der Variablen x und y beleibt die Kovarianz gleich (analog Varianz)
• Multiplikative Konstante verändern die Kovarianz und die Varianz.
  
  • Multiplikative Konstanz verändert die Varianz, um das Quadrat der Konstante.

Question 19

Was sind die Eigenschaften (2) der Korrelation?

Nenne die Formel und ein Beispiel für die 2 Eigenschaft.

Answer 19

• Korrelation einer Variable mit sich selbst ist stets 1.
• die lineare Transformation der Werte ändert den Betrag der Korrelation nicht. Das Vorzeichen der Korrelation ändert sich dagegen durch die Multiplikation einer der beiden Variablen mit einer Konstante mit entgegengesetzem Vorzeichen.

Question 20

Nenne die Merkmale zu.. sowie die entsprechende Formel der

• Stichproben-Kovarianz
• Stichproben-Standartabweichung
• Stichproben-Korrelation = empirische Korrelation

Answer 20

• Stichprobe-Kovarianz -> Betrag immer grösser als die empirische Stichpr.
• Stichprobe-Varianz (Standartabweichung) ->Betrag immer grösser als die emprische Varianz.
• Kein Unterschied bei der Korrelation => Stichprobe-Korrelation = emp. Korr.

Question 21

Nenne eine alternative Formel zur Berechnung der Stichprobenstandardabweichung, wenn empirische Varianz vorliegt.

Answer 21

Question 22

Nenne eine alternative Formel zur Berechnung der empirischen Kovarianz und Stichprobenkovarianz bei vorliegendem s_xy.

Answer 22

Question 23

Was sind Selektionsfehler (2) bei der Korrelation?

Answer 23

Die hellblauen Ovale zeigen Ausschnitte aus den bivariaten Verteilungen, die den interessierenden Wertebereich der beiden Variablen verfälscht repräsentieren.

2. Möglichkeiten vom Selektionsfehler
   - > Bei NUR der Betrachtung der Gesamtpopulation übersieht man, dass die Subgruppen unterschiedliche Zusämmenhänge im Verhältnis zur Gesamtpopulation haben.
   - > Verallgemeinerung von Subgruppe auf die Gesamtgruppe

Question 24

Erkläre die 3 Stufen der Stärke vom Zusammenhang der Produkt-Moment-Korrelation & die Eigenschaften der Korrelation.

Answer 24

• r_xy = 0,10 -> schwacher Zusammenhang / Effekt
• r_xy = 0,30 -> mittlerer Zusammenhang/ Effekt
• r_xy = 0,50 -> starker Zusammenhant / Effekt
• > reagiert sensibel auf Ausreisser
• > ist die Kovarianz der z-transformierten (standardisierten) Variable.
• > Lineare Transformationen der Variablen ändern den Betrag der Korrelation nicht.
• > Korrelation ist nicht definiert, wenn eine der beiden Variablen eine Kostante ist.

Question 25

In welchem Verhältnis stehen die Variabeln x und y in Bezug auf die Korrelation und die Kausalität in der folgenden Abbildung?

Answer 25

1. Korrelation
2. / 3. Verursachung
3. Gegenseitige Verursachung
4. keine Kausalität dazwischen, ABER von einer Z-Variable verursacht

Korrelationen dürfen ohne Zusatzinformationen nicht kausal interpretiert wertden (-> Kausalitätstheorie)

Question 26

Zusammenfassung Korrelation.

Answer 26