4. Wahrscheinlichkeitstheorie 1.1 (VL 4, bis Seiten 1-30) (lm/)

Question 1

Definieren Sie bitte: Ergebnis, Ergebnisraum und Ereignis.

Answer 1

• Ergebnis: Resultat eines Zufallsexperiments. zB. Einfacher Münzwurf
• Ergebnnisraum: Menge Ω aller möglichen Ergebnissen (ω) eines Zufallsexperiments. Beispiel Münzwurf: *_Ω = {K,Z} (K = Kopf, Z = Zahl) _ Beispiel Würfel: _Ω = {1,2,3,4,5,6} _ *
• Ereignis: Zusammenfassung von Ergebnissen eines Zufallsexperiments. zB. ,,Eine gerade Zahl würfeln’’. Also: {2, 4, 6}

Question 2

Nenne vier Arten von Ereignissen.

Answer 2

Elementarereignis

Einelementige Teilmengen von Ω. zB: {ω¹}, {ω²},…

Unmögliches Ereignis

Das mit der leeren Menge identische Ereignis. A=ø

Sicheres Ereignis

Das mit der Ergebnismenge Ω identische Ereignis. A=Ω

Disjunktes Ereignis

Zwei Ereignisse sind disjunkt, wenn sie nicht zusammen eintreten. A ∩ B = ∅

Question 3

Was bedeuten die folgenden Zeichen:

1. x∈A
2. A∩B
3. A∪B
4. A\B

Answer 3

1. x∈A x ist Element der Menge A
2. A∩B ,,A geschnitten mit B’’ Die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch B sind. (Schnittmenge)
3. A∪B Menge aller Elemente, die in A oder B sind. (Vereinignungsmenge)

4. A\B Menge aller Elemente, die in A aber nicht in B sind. (Differenzmenge)

Question 4

Was ist…

1. eine Kopmplementärmenge?
2. eine Potenzmenge?

Answer 4

Komplementärmenge

Die Menge aller Elemente von Ω, die nicht in A sind.

                        Hier als C(A) : ![http://www.mathematik.de/ger/fragenantworten/erstehilfe/mengenlehre/bilder/komplement.jpg](http://www.mathematik.de/ger/fragenantworten/erstehilfe/mengenlehre/bilder/komplement.jpg)  

Potenzmenge

Die Potenzmenge P(A) ist die Menge aller Teilmengen (inkl. leere Menge) von A.

Hier im Beispiel mit der Menge A, die: a, b und c beinhaltet.

Question 5

Was gibt die Mächtigkeit der Menge A an?

Answer 5

Die Mächtigkeit von A gibt an, wie viele Elemente in A enthalten sind.

|A| = Mächtigkeit von A

Wenn: A={1,2,3,4,5)

Dann: |A|=5

Question 6

Pierre Simon Marquis de Laplace war ein französischer Mathematiker und Vater der Warscheinlichkeitsrechnung. Welche nach ihm benannte Formel benutzen wir in der Statistik?

Und wenn wir schon dabei sind, bitte auch ein Beispiel dazu:

_ Dreimaliger Münzwurf_

A P(mind. einmal Kopf)

B P(keinmal Kopf)

C P(genau zweimal kopf)

Answer 6

**P(A) = A/K **

        ![http://upload.wikimedia.org/math/7/5/5/755029a07a1b7c5ff7b334dcdb4fea8e.png](http://upload.wikimedia.org/math/7/5/5/755029a07a1b7c5ff7b334dcdb4fea8e.png)

Dreifacher Münzwurf

K: Ω={(K,K,K),(K,K,Z),….,(Z,Z,Z)} (8x)

A: P(A)= 7/8

B: P(B)= 1 - P(A) = 1 - 7/8 = 1/8

C: P(C)= 3/8

Question 7

Kombinatorik

Welche vier Arten des Urnenmodells gibt es?

Answer 7

1. Modell mit Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge
2. Modell mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
3. Modell ohne Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge
4. Modell ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge

Question 8

Was bedeuten in der Kombinatorik die Variablen:

1. k
2. K
3. n
4. k!

Answer 8

1. k = Anzahl der möglichen Einzelergebnisse
2. K = Anzahl K aller möglichen Ergebnisse
3. n = Anzahl Ziehungen
4. k! = Anzahl der möglichen Anordnungen (Permutationen) der k Objekte unter Berücksichtigung der Reihenfolge

k ! = k ⋅ (k − 1) ⋅ (k − 2 ) ⋅ … ⋅ (k − (k − 1))

5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 100

Question 9

Wie Berechnet man Anzahl K der möglichen Ergebnisse bei einer Ziehung mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge?

Answer 9

Beispiel mit k=3 und n=2:

K = 3² =9

Ωk = {1,2,3}

ΩK = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}

Question 10

Wie Berechnet man Anzahl K der möglichen Ergebnisse bei einer Ziehung mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge?

Answer 10

Beispiel mit k = 3 und n = 2:

K = (3+1)! / (2!*2!)

= 4! /4

= (4*3*2*1)/4

= 6

Ωk = (1,2,3) ΩK = {{1,1},{1,2},{1,3},{2,2},{2,3},{3,3}

Question 11

Wie Berechnet man Anzahl K der möglichen Ergebnisse bei einer Ziehung ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge?

Answer 11

Beispiel mit k = 3 und n = 2:

K = 3! / (3-2)!

= (3*2*1) / 1

= 6

Ωk = {1,2,3} ΩK = {(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}

Question 12

Wie Berechnet man Anzahl K der möglichen Ergebnisse bei einer Ziehung ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge?

Answer 12

Diesen Ausdruck bezeichnet man als Binominalkoeffizient (k tief n)

,,Auf wie viele verschiedene Arten kann man n Objekte aus einer Menge von k verschiedenen Objekten auswählen?’’

Beispiel mit k = 3 und n = 2:

K = 3! / ((3-2)! * 2!)

= (3*2) / 2

= 3

Question 13

Was sind die drei Axiome von Kolmogoroff?

Answer 13

• *Axiom 1** (Nichtnegativität) : P (A) ≥ 0
• *Axiom 2** (Normiertheit) : P (Ω ) = 1
• *Axiom 3** (Additivität) : Falls A∩B = ∅, so ist P(A∪B) = P(A)+P(B)

Question 14

Bitte wenden Sie den Additionssatz an.

Gegeben: Ω = {1,2,3,4,5,6} A = {1,3} B = {3,4,5}

Gesucht: P (A ∪ B)

Answer 14

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

Ω = {1,2,3,4,5,6} A = {1,3} B = {3,4,5}

1. A ∪ B = {1, 3, 4, 5} A ∩ B = {3}
2. P (A) = 2/6 P (B) = 3/6
3. P( A ∩ B ) = 1/6

4. P (A ∪ B) = 2/6 + 3/6 − 1/6 = 4/6

Question 15

Nehmen wir an, dass ,,rauchen’’ A und ,,weiblich’’ B ist. Wie ist die Beziehung (siehe Bsp.) dieser zwei Variablen zu einander in den jeweiligen Feldern? Um welche Art von Wahrscheinlichkeiten handelt es sich bei: 16.3, 30.1, 11.0 und 42.6?

Beispiel: 16,3% –> A∩B

Answer 15

Bedingte Wahrscheinlichkeiten!

Bemerkung vom Autor: Theoretisch könnte man P(A) und P(B) auch als bedingte Wahrscheinlichkeiten von Ω betrachten. Da aber P(Ω) 1 ist, müssen wir es bei der Berechnung nicht berücksichtigen.

Question 16

Wie berechnet man bedingte Wahrscheinlichkeiten?

Answer 16

Daraus folgt: P(A∩B) = P(A|B)⋅P(B) oder ** ** P (B|A)⋅P(A)

Also:

Question 17

Zähle die 6 Rechungsregeln für Wahrscheinlichkeitsrechnen auf.

(sorry <3 )

Answer 17

Falls Ergebnisraum Ω:

1. 0 ≤ P (A) ≤ 1 für A ⊂ Ω

2. P (∅) = 0

3. P (A) ≤ P (B), falls A ⊂ B und A,B ⊂ Ω

4. P (A) = 1 − P (A) mit A = Ω \ A

5. P (A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Ak ) = P (A1 ) + P (A2 ) + … + P (Ak ) falls: A1 , A2 , …, Ak paarweise disjunkt und A ⊂ Ω , i = 1,…,k

6. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)