6-Produto interno e espaço euclidiano

Question 1

Produto interno de u=(u1,u2,…,un) e v=(v1,v2,…,vn)

Answer 1

u•v= u1v1 + u2v2 + … + unvn

Question 2

Norma de v

Answer 2

||v||=√(v•v) = √(v1^2 + v2^2 + … + vn^2)

Question 3

Se u•v=0

Answer 3

São ortogonais

Question 4

d(P,Q)=

Answer 4

||Q-P|| = √[(q1-p1)^2 + … + (qn-pn)^2]

Question 5

Desigualdade de Cauchy

Answer 5

1) |u•v| ≤ ||u|| • ||v||

2) |u•v| =||u|| • ||v|| se e só se os vetores u e v são l.d.

Question 6

Desigualdade triangular

Answer 6

||u+v|| ≤ ||u|| + ||v||

Question 7

Ângulo dos vetores

Answer 7

cosθ = (u•v) / ||u|| • ||v||

Question 8

Projeção ortogonal de u sore a

Answer 8

proj_(a)u=(u•a/ ||a||^2) a

Question 9

Vetores ortogonais dois a dois

Answer 9

conjunto de vetores em que cada vetor é ortogonal a cada um dos outros

Question 10

Base ortogonal

Answer 10

base de F constituída por vetores ortogonais dois a dois

Question 11

Base ortonormada

Answer 11

base ortogonal de F cujos vetores têm todos norma 1

Nota:base vanónica de ℝ^n é uma base ortonormada de ℝ^n

Question 12

Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt

Answer 12

Seja F subespaço de ℝ^n e v(v1,…,vp) uma base de F

z1=v1
z2=v2-proj_(z1)v2
z3=v3-proj_(z1)v3 - proj_(z2)v3
                   .
                   .
zp= vp - proj_(z1)vp - ... - proj_(zp-1)vp

Question 13

Produto externo de ℝ^3

Answer 13

Seja u(u1,u2,u3) e v(v1,v2,v3) ⋲ ℝ^3

       |u2  u3| ,   -  |u1  u3| ,   |u1  u2| u x v= |v2   v3| ,   -  |v1  v3| ,   |v1  v2|

Question 14

Se u e v são vetores de ℝ^3, l.i. e θ é o ângulo entre u e v, então:

Answer 14

||u x v|| = ||u|| ||v|| sen(θ)

Question 15

Área do paralelogramo

Answer 15

||u x v||

Question 16

Produto misto em ℝ^3

Answer 16

|u1 u2 u3|
(u x v) • w = |v1 v2 v3|
|w1 w2 w3|

Question 17

volume do paralelepípedo

Answer 17

|(u x v) • w|

Question 18

Matriz A ⋲ Mn é ortogonal se:

Answer 18

➤ É invetível
➤ A^(-1) = A^T

Nota: A é ortogonal ⇔ AA^T = In e A^T A= In

Question 19

Proposições das marizes ortogonais

Answer 19

1) A inversa de uma matriz ortogonal é ortogonal
2) A transposta de uma matriz ortogonal é ortogonal
3) O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal
4) Se Q é ortogonal, então det(Q)=1 ou det(Q)=-1

Question 20

Seja Q ⋲ Mn então:

Answer 20

1) Q é ortogonal
2) As linhas de Q formam uma base ortonormada de ℝ^n
3) As colunas de Q formam uma base ortonormada de ℝ^n

Question 21

Se A é simétrica então:

Answer 21

➤é diagonizável
➤existe uma matriz diagonalizante de A que é ortogonal
⇓
existe Q oretogonal tal que Q^(T)AQ é diagonal