6-Produto interno e espaço euclidiano Flashcards
Produto interno de u=(u1,u2,…,un) e v=(v1,v2,…,vn)
u•v= u1v1 + u2v2 + … + unvn
Norma de v
||v||=√(v•v) = √(v1^2 + v2^2 + … + vn^2)
Se u•v=0
São ortogonais
d(P,Q)=
||Q-P|| = √[(q1-p1)^2 + … + (qn-pn)^2]
Desigualdade de Cauchy
1) |u•v| ≤ ||u|| • ||v||
2) |u•v| =||u|| • ||v|| se e só se os vetores u e v são l.d.
Desigualdade triangular
||u+v|| ≤ ||u|| + ||v||
Ângulo dos vetores
cosθ = (u•v) / ||u|| • ||v||
Projeção ortogonal de u sore a
proj_(a)u=(u•a/ ||a||^2) a
Vetores ortogonais dois a dois
conjunto de vetores em que cada vetor é ortogonal a cada um dos outros
Base ortogonal
base de F constituída por vetores ortogonais dois a dois
Base ortonormada
base ortogonal de F cujos vetores têm todos norma 1
Nota:base vanónica de ℝ^n é uma base ortonormada de ℝ^n
Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt
Seja F subespaço de ℝ^n e v(v1,…,vp) uma base de F
z1=v1
z2=v2-proj_(z1)v2
z3=v3-proj_(z1)v3 - proj_(z2)v3
.
.
zp= vp - proj_(z1)vp - ... - proj_(zp-1)vp
Produto externo de ℝ^3
Seja u(u1,u2,u3) e v(v1,v2,v3) ⋲ ℝ^3
|u2 u3| , - |u1 u3| , |u1 u2| u x v= |v2 v3| , - |v1 v3| , |v1 v2|
Se u e v são vetores de ℝ^3, l.i. e θ é o ângulo entre u e v, então:
||u x v|| = ||u|| ||v|| sen(θ)
Área do paralelogramo
||u x v||
Produto misto em ℝ^3
|u1 u2 u3|
(u x v) • w = |v1 v2 v3|
|w1 w2 w3|
volume do paralelepípedo
|(u x v) • w|
Matriz A ⋲ Mn é ortogonal se:
➤ É invetível
➤ A^(-1) = A^T
Nota: A é ortogonal ⇔ AA^T = In e A^T A= In
Proposições das marizes ortogonais
1) A inversa de uma matriz ortogonal é ortogonal
2) A transposta de uma matriz ortogonal é ortogonal
3) O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal
4) Se Q é ortogonal, então det(Q)=1 ou det(Q)=-1
Seja Q ⋲ Mn então:
1) Q é ortogonal
2) As linhas de Q formam uma base ortonormada de ℝ^n
3) As colunas de Q formam uma base ortonormada de ℝ^n
Se A é simétrica então:
➤é diagonizável
➤existe uma matriz diagonalizante de A que é ortogonal
⇓
existe Q oretogonal tal que Q^(T)AQ é diagonal
