4-Aplicações lineares

Question 1

f é injetiva se:

Answer 1

➤para qualquer w,u ∈ E, se w ≠ u, então f(w) ≠ f(u)

➤cada imagem tem apenas um objeto

Question 2

f é sobrejetiva se:

Answer 2

➤para qualquer v ∈ V, existe w ∈ E tal que f(w)=v

➤todas as imagens têm pelo menos um objeto

Question 3

f é bijetiva se:

Answer 3

f é injetiva e sobrejetiva

Question 4

(g○f)(x)=

Answer 4

g(f(x))

Question 5

Aplicação linear:

Answer 5

➤f(u+w) = f(u) + f(w), para quaisquer u,w ∈ ℝ^n
➤f(au) = af(u), para qualquer a ∈ ℝ equalquer u ∈ ℝ^n

Question 6

Matriz canónica, M(f):

Answer 6

Se:
➤f(1,0,...,0) = (a11,..,am1)
➤f(0,1,...,0) = (a12,...,am2)
➤f(0,0,...,1) = (a1n,..,amn)
M(f) é matriz do tipo mxn:
       a11      a12    .  .  .  a1n
       a21     a22   .  .  .  a2n
          .          .                .
          .          .                .
       am1     am2  .  .  .  amn

Question 7

Se f e g são aplicações lineares, então:

Answer 7

➤g○f é aplicação linear

➤M(g○f) = M(g) M(f)

Question 8

Núcleo de f, Nuc f:

Answer 8

Nuc f = {(y1,…,yn) ∈ ℝ^n : f(y1,…,yn) = 0m}

Question 9

Seja f aplicação linear e seja A=M(f) (pelo que A é do tipo m x n), tem-se:

Answer 9

➤Nuc f = N(A) ➝ é subespaço de  ℝ^n
➤Im f = C(A) ➝ é subespaço de  ℝ^m
➤f é injetiva se e só se Nuc f = {0n}
➤dim(Nuc f) = n - r(A)
➤dim(Im f) = r(A)

Question 10

Seja f aplicação linear, tem-se:

Answer 10

1) Se n>m, então f não é injetiva

2) Se n

Question 11

Se f é aplicação linear bijetiva, então:

Answer 11

f^(-1) é aplicação linear

Question 12

Se f é aplicação linear e A=M(f), então f é bijetiva se e só se:

Answer 12

A é invertível➝ A^(-1)=M(f^(-1))