5-Valores e vetores prórpios Flashcards
Vetor próprio de f se:
➤v≠0n
➤existe um nºreal ⇒f(v)=av
Valor próprio de f se:
➤v ∈ ℝ^n ⇒ v≠0n e f(v)=av
λ é valor próprio de A se e só se:
det(A - λIn) = 0
Polinómio característico de A
polinímio, na incógnita x, det(A - λIn)
equação característica de A
equação det(A - λIn) = 0
Se A é matriz triangular, valores próprios de A:
são as entradas da diagonal principal de A
vetor próprio de A é:
soluções não nulas do sistema homogénio (A - λIn)X=0⇨ vetores não nulo de N(A-λIn)
A é diagonalizável se:
existe matriz invertível P ∈ Mn ⇒ P^(-1) AP é matriz diagonal
⇩
P é matriz diagonalizante
matriz P é matriz diagonalizante de A se e só se:
➤colunas de P são vetores próprios de A
➤são linearmente independentes
Seja A ∈ Mn. Se A tem n valores prórpios distintos, então:
A é diagonizável
λ1, λ2,…,λr são todos os valores de A ∈ Mn então A é diagonizável se e só se:
mg(λ1) + mg(λ2)+ … + mg(λr)=n
Diagonalizar uma matriz A diagonizável
1ºDeterminar uma matriz P diagonalizante de A:
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a)Para cada valor próprio λ de A⇨determina-se uma base do subespaço próprio Eλ
b)Considera-se o conjunto {z1,…,zn} formado por todos os vetores das bases encontradas em a)
c)Constrói-se uma matriz P tendo z1,z2,…,zn como colunas
⇩
2ºa entrada (i,i) de P^(-1)AP é o valor próprio de A associado à coluna i de P
