5. Relace

Question 1

definice relace

Answer 1

Definice: Množina R ⊆ A × B se nazývá binární relací z množiny A do množiny B.
Je-li A= B, říkáme, že R je (binární) relací v množině A.
Jednotkovou (binární) relací v množině A rozumíme relaci E(A) = {(a, a) : a ∈ A}.
Poznamenejme, že i prázdná množina může být relací.

Question 2

Definice: Binární relace R v množině A (tj. R ⊆ A × A) se nazývá:

Answer 2

• reflexivní, jestliže ∀x ∈ A: xRx
• symetrická, jestliže ∀x, y ∈ A: xRy= ⇒ yRx
• tranzitivní, jestliže ∀x, y, z ∈ A: xRy ∧ yRz= ⇒ xRz
• antisymetrická, jestliže ∀x, y ∈ A: xRy ∧ yRx= ⇒ x = y
• antireflexivní, jestliže ∀x ∈ A: ¬ (xRx)

Question 3

relace ekvivalence

Answer 3

Říkáme, že relace R v množině A je relací ekvivalence, je-li reflexivní, symetrická a tranzitivní.

Question 4

častecne usporadani

Answer 4

Říkáme, že relace R v množině A je (částečným) uspořádáním, je-li reflexivní, antisymetrická
a tranzitivní. Ještě můžeme rozlišovat ostré a neostré uspořádání:
• neostré uspořádání – tak se nazývá relace, která je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní;
• ostré uspořádání – tak se nazývá relace, která je antireflexivní, antisymetrická a tranzitivní.
Je-li v množině A dána relace uspořádání R, pak uspořádanou dvojici (A, R) nazýváme uspořádanou
množinou.

Question 5

Bellova cisla

Answer 5

Bellova čísla jsou posloupnost čísel, která počítají počet rozdělení n-prvkové množiny na neprázdné podmnožiny. Jinými slovy, Bellovo číslo Bn udává, kolika různými způsoby lze rozdělit množinu n prvků do skupin (podmnožin), přičemž každá podmnožina musí být neprázdná.

Question 6

částecne usporadanou mnozinou rozumime?

Answer 6

Částečně uspořádanou množinou rozumíme dvojici (M, ≼), kde M je množina a ≼ je částečné
uspořádání na této množině. Často stručně hovoříme jen o uspořádané množině tj. příslovce
„částečně“ vynecháváme.

Question 7

linearne usporadani

Answer 7

Je-li částečné uspořádání ≼ na M navíc dichotomické, tj.
∀ a, b ∈ M : a ≼ b ∨ b ≼ a ,
říkáme, že je toto uspořádání úplné (nebo také lineární ).
Všimněme si, že dichotomie je vlastně podmínkou vyjadřující požadavek, že každé dva prvky
jsou porovnatelné. Odtud také plyne název tohoto uspořádání: „úplné“.

Question 8

prvek usporadane mnoziny muze byt? (max,min, naj)

Answer 8

4. Definice: Říkáme, že prvek a ∈ M uspořádané množiny (M, ≤) je
   • největší, pokud je ∀b ∈ M : b ≤ a,
   • nejmenší, pokud je ∀b ∈ M : a ≤ b,
   • maximální, pokud neexistuje žádné b ∈ M takové, že a < b,
   • minimální, pokud neexistuje žádné b ∈ M takové, že b < a.