4. Zobrazení

Question 1

definice zobrazení

Answer 1

finkce, ktera priradzuje kazdemu prvku z mnoziny A prave jeden prvok z mnoziny B
pre kazde x z D(f) existuje prave jedno y z H(f) takove, ze f(x) = y

Question 2

Definicnym oborom rozumime mnozinu:

Answer 2

Df= {x ∈ A : ∃y ∈ B : (x, y) ∈ f }.

Question 3

oborom hodnot rozumime mnozinu:

Answer 3

Hf= {y ∈ B : ∃x ∈ A : (x, y) ∈ f }.
Hf= {f (x) : x ∈ Df }.

Question 4

Říkáme, že relace f ⊆ A × B je zobrazením množiny A do množiny B, jestliže

Answer 4

∀x ∈ A ∃! y ∈ B; (x, y) ∈ f.
Definičním oborem je v tomto případě přímo množina A. Je-li f zobrazení množiny A do
množiny B, můžeme tento fakt stručně zapisovat takto: f : A → B.
Pokud by takové y existovalo nejvýše jedno (nikoli tedy nutně právě jedno), tak bychom
obdrželi definici zobrazení z A do B

Question 5

rozdiel medzi zobrazenim “A do B” a “z A do B”

Answer 5

• Zobrazení množiny A do množiny B: zde se zobrazuje každý prvek množiny A. Definice
definičního oboru je v tomto případě snadná: je to samotná množina A.
Zápis A → B označuje právě zobrazení množiny A do množiny B.
• Zobrazení z množiny A do množiny B: zde se zobrazuje ne nutně každý prvek množiny A.

Question 6

5. Jaký je rozdíl mezi funkcí a zobrazením?

Answer 6

• Předně: funkce je speciálním případem zobrazení, každá funkce je tedy zobrazením.
Funkcí zpravidla nazýváme takové zobrazení,
jehož obor hodnot je podmnožinou nějaké číselné množiny
• Proč jsou zobrazení, jejichž hodnoty jsou čísla, tak důležitá? Lze s nimi počítat. Např.
součet funkcí f a g (na neprázdném průniku jejich definičních oborů) je definován pomocí
součtu funkčních hodnot (tj. pomocí součtu obrazů):
(f + g)(x) := f (x) + g(x).
Jelikož jsou obrazy čísla, je definován jejich součet (a další operace s nimi).
Počítat lze i s jinými objekty, než jen s čísly. Hovoříme tedy také např. o vektorových
funkcích (obrazy jsou vektory), maticových funkcích (obrazy jsou matice) a podobně

Question 7

1. Zopakujte si definici zobrazení prostého, na, vzájemně jednoznačného (injekce, surjekce,
   bijekce).

Answer 7

Říkáme, že zobrazení f z množiny A do množiny B je:
• prosté (injektivní), je-li ∀x1, x2 ∈ Df : x1 ̸= x2 = ⇒ f (x1) ̸= f (x2);
• Jednoduchá charakterizace injekce: také f−1 je zobrazení.
• Injekci lze definovat i takto (viz obměněná implikace: (A= ⇒ B) ⇐⇒ (¬B= ⇒ ¬A)):
∀x1, x2 ∈ Df : f (x1) = f (x2) = ⇒ x1 = x2.

• na (surjektivní, zobrazením na množinu B), jestliže ∀y ∈ B ∃x ∈ A; y= f (x);
• Jednoduchá charakterizace surjekce: Hf= B.

• vzájemně jednoznačné (bijektivní), je-li zároveň prosté a na.