2. Množiny

Question 1

co je mnozina

Answer 1

Definice množiny

Množina je základní matematický pojem, který označuje soubor nebo kolekci dobře definovaných a navzájem odlišných objektů, které nazýváme prvky množiny.

Question 2

mohutnost mnoziny

Answer 2

hovorime, ze mnoziny A a B maju rovnaku mohutnost pokial existuje bijekce mnoziny A na mnozinu B (a naopak)

intuitivne: u konecnej mnoziny je mohutnost rovna poctu prvkov

znacenie |A|

Question 3

bijekce

Answer 3

bijekce – vzájemně jednoznačné zobrazení, tj. zobrazení, které je zároveň prosté (injektivní ) a na
(surjektivní ).

Question 4

konecne mnoziny

Answer 4

obsahuju konecny pocet prvkov, ich mohutnost vieme vyjadrit celym cislom

Question 5

nekonecne mnoziny

Answer 5

obsahuju nekonecne mnoho prvkov, delime ich na
- spocetne (vieme bijektivne zobrazit na N, ich mohutnost je alef nula (pise sa jak pisane H)
- nespocetne (napr. realne cisla) mohutnost continua

Question 6

nejvyse spocetne mnoziny

Answer 6

take ktore su bud konecne alebo spocetne

Question 7

charakterizace nekonecnych mnozin pomoci podmnozin

Answer 7

Množina A je nekonečná, pokud existuje její vlastní podmnožina B (lezi v )A, která je ekvivalentní s A (tj. existuje bijekce mezi A a B). To je formální definice nekonečnosti v teorii množin.

Například:
• Množina přirozených čísel {N} je nekonečná, protože množina sudých čísel 2{N} = {2, 4, 6, …} (lezi v){N} je ekvivalentní s {N} (bijekce: f(n) = 2n).

Question 8

mohutnost Z

Answer 8

spocetna, bijekce 0,1,-1,2,-2,3,-3,…

Question 9

mohutnost Q+

Answer 9

1/1(1) 1/2(2) 1/3(4)
2/1(3) 2/2(5) 2/3
3/1(6) 3/2 3/3
…
spocetna

Question 10

mohutnost R

Answer 10

nespocetna, Cantorov diagonalni argument
Důkaz:
sporom
pohybujeme sa v intervale [0,1]
kazde cislo zapiseme v tvare nekonecneho desatinneho rozvoja
x1 = 0, a11a12a13…
x2 = 0, a21a22a23…
…
zostrojime nove cislo ktore nie je v zozname a to tak, ze od kazdeho cisla sa bude lisit aspon na 1 desatinnej pozicii
napr: a11 -> zmenime
a22 zmenime atd

tym padom nove cislo nepayri do zoznamu a takychto cisel vieme vytvarat nekonecne vela takze R je nespocetna

Question 11

potencni mnozina

Answer 11

Potenční množina

Potenční množina je množina, která obsahuje všechny podmnožiny dané množiny.

Definice:

Pokud máme množinu A pak její potenční množina (označuje se P(A) je množina všech podmnožin množiny A. To zahrnuje:
1. Prázdnou množinu ().
2. Jednoprvkové podmnožiny.
3. Víceprvkové podmnožiny.
4. Samotnou množinu A

Příklad:

Pokud A = {1,2}, pak:
P(A)={0, {1},{2},{1,2}}

Počet prvků v potenční množině:

Pokud má množina A n prvků, pak její potenční množina P(A) obsahuje 2^n prvků.
• Důvod: Každý prvek množiny A může buď být, nebo nebýt v podmnožině, což dáva 2n kombinací

Vlastnosti potenční množiny:
1. Prázdná množina: Potenční množina prázdné množiny P(0) je {0}. Obsahuje právě jednu podmnožinu, a to samu prázdnou množinu.
2. Mohutnost: Pokud A je konečná množina, pak |P(A)| = 2^|A|. Pokud A je nekonečná, její potenční množina má vždy väčšiu mohutnosť než A (Cantorova veta)
3. Relace k binární reprezentaci: Potenční množinu lze chápat jako všechny možné kombinace přítomnosti/neprítomnosti prvkov v množine (0,1)

Question 12

hypotéza kontinua + formulace

Answer 12

Vzniká otázka, zda mezi mohutností množiny přirozených čísel (ℵ0) a mezi mohutností množiny
reálných čísel (mohutnost kontinua c) existuje ještě nějaká další mohutnost.
• 1882 zformuloval Georg Cantor hypotézu, že žádná taková mohutnost neexistuje; této hypotéze
se říká hypotéza kontinua.
• 1940 dokázal Kurt Gödel, že tuto hypotézu nelze v rámci teorie množin vyvrátit.
• 1963 dokázal Paul Cohen, že tuto hypotézu nelze v rámci teorie množin dokázat.
Hypotéza kontinua je tedy na axiomech teorie množin (Zermelo-Fraenkelův systém axiómů)
nezávislá

Formulace hypotézy kontinua
• Mohutnost množiny všech reálných čísel (tj. mohutnost kontinua) je nejmenší nespočetnou
mohutností