3. Algebraické štruktúry Flashcards
Alg. Štr. definícia
(binárna) operácia na množine M
alg struktury s 1 binarni operaciou
U (uzavrenosť) (vysledok patri do mnoziny)
A (asociativita) (a *(b * c)=(a * b) * c)
En (neutrálny prvok) a * n = a
Ea^-1 (inverzny prvok) a * a^-1 = n
+ komutativita (ab=ba)
U = grupoid
U,A = pologrupa
U,A,En = monoid
vsetko = grupa
definice telesa
2.1. Definice. Množina T se dvěma binárními operacemi ” + ” a ”·” se nazývá
těleso, jestliže je alespoň dvouprvková a platí následující axiómy:
(i) ∀a, b, c ∈ T (a + b) + c = a + (b + c) ,
(ii) ∀a, b ∈ T a + b= b + a ,
(iii) ∃0 ∈ T ∀a ∈ T a + 0 = a ,
(iv) ∀a ∈ T ∃−a ∈ T a + (−a) = 0 ,
(v) ∀a, b, c ∈ T (a·b)·c = a·(b·c) ,
(vi) ∃1 ∈ T ∀a ∈ T 1·a = a·1 = a ,
(vii) ∀a ∈ T , a ̸= 0 ∃a−1 ∈ T a·a−1 = a−1
·a = 1 ,
(viii) ∀a, b, c ∈ T a·(b + c) = a·b + a·c ,
(ix) ∀a, b, c ∈ T (a + b)·c = a·c + b·c.
Jestliže je navíc splněn axióm
(x) ∀a, b ∈ T a·b= b·a ,
pak hovoříme o komutativním tělese nebo o poli.
definice grupy
Grupa je algebraická struktura s jednou binární operací, která má jisté vlast-
nosti. Podle toho, zda tuto operaci chápeme aditivně nebo multiplikativně, tj.
zda ji zapisujeme jako sčítání nebo násobení, má příslušná definice dvojí podobu.
Z metodických důvodů uvedeme obě verze.
5.1a. Definice. Množina G s binární operací ” + ” (sčítání) se nazývá grupa,
jestliže platí následující axiómy:
(i) ∀a, b, c ∈ G (a + b) + c = a + (b + c) ,
(iii) ∃0 ∈ G ∀a ∈ G a + 0 = 0 + a = a ,
(iv) ∀a ∈ G ∃−a ∈ G a + (−a) = (−a) + a = 0 .
Pokud ještě platí axióm
(ii) ∀a, b ∈ G a + b= b + a ,
pak hovoříme o komutativní grupě, resp. Abelově grupě.
5.1b. Definice. Množina G s binární operací ”· ” (násobení) se nazývá grupa,
jestliže platí následující axiómy:
(v) ∀a, b, c ∈ G (a·b)·c = a·(b·c) ,
(vi) ∃1 ∈ G ∀a ∈ G a·1 = 1·a = a ,
(vii) ∀a ∈ G ∃a−1 ∈ G a·a−1 = a−1
·a = 1 .
Pokud ještě platí axióm
(x) ∀a, b ∈ G a·b= b·a ,
pak hovoříme o komutativní grupě, resp. Abelově grupě.
def okruhu
3.1. Definice. Množina R se dvěma binárními operacemi ” + ” a ”· ” (sčítání
a násobení) se nazývá okruh, jestliže platí následující axiómy:
(i) ∀a, b, c ∈ R (a + b) + c = a + (b + c) ,
(ii) ∀a, b ∈ R a + b= b + a ,
(iii) ∃0 ∈ R ∀a ∈ R a + 0 = a ,
(iv) ∀a ∈ R ∃−a ∈ R a + (−a) = 0 ,
(v) ∀a, b, c ∈ R (a·b)·c = a·(b·c) ,
(viii) ∀a, b, c ∈ R a·(b + c) = a·b + a·c ,
(ix) ∀a, b, c ∈ R (a + b)·c = a·c + b·c.
Pokud platí axióm
(vi) ∃1 ∈ R ∀a ∈ R 1·a = a·1 = a ,
pak hovoříme o okruhu s jednotkovým prvkem.
Pokud platí axióm
(x) ∀a, b ∈ R a·b= b·a ,
pak hovoříme o komutativním okruhu.
Platí-li axiómy (x) a (vi), hovoříme o komutativním okruhu s jednotkovým prv-
kem.
Pokud v okruhu s jednotkovým prvkem existuje k prvku a prvek a−1, pro který
je
a·a−1
= a−1
·a = 1 ,
pak říkáme, že je prvek a invertibilní a že a−1 je inverzním prvkem k prvku a.
obor integrity
3.2. Definice. Komutativní okruh s jednotkovým prvkem se nazývá obor integ-
rity, jestliže platí axióm
(vii)∗ ∀a ∈ T, a ̸= (nerovne)0 ∀b ∈ T, b ̸= 0 a·b ̸= 0.
