5 Pyöriminen ja gravitaatio Flashcards
Heittoliike vaaka- ja pystysuunnassa
Heittoliikkeessä olevan kappaleen liikettä voidaan tarkastella vaaka- ja pystysuunnissa toisistaan riippumattomina yksiuloitteisina liikkeinä
Vaakasuunnassa voidaan käyttää
tasaisen liikkeen mallia v_x = v₀_x = vakio
kappaleen paikka: x(t) = v₀_x*t
Pystysuunnassa käytetään
tasaisesti kiihtyvän liikkeen mallia
v₀_y = 0, joten y(t) = a_yt = -gt
kappaleen paikka: y(t) = 1/2 a_yt² = -1/2gt²
Tasainen liike
v = vakio x = vt
Tasaisesti kiihtyvä liike
a = vakio v = v₀ + at x = v₀t + 1/2 at²
Nopeuden muutos
∆v̅ = v̅₁- v̅₂
Keskikiihtyvyys
a̅_k = ∆v̅ / ∆t = (v̅₂ - v̅₁) / (t₂ - t₁)
Normaalikiihtyvyys
a̅_n = v²/r
Tasaisen ympyräliikkeen liikeyhtälö
∑F̅ = ma̅_n
Muuttuvan ympyräliikkeen kiihtyvyys
a = √(a_t² + a_n²)
Kiihtyvyyden suunta
tan α = a_t / a_n
Tangenttikiihtyvyyden suuruus
a_t = ∆v / ∆t
Gravitaatiovuorovaikutus
Kahden kappaleen välillä vaikuttaa gravitaatiovuorovaikutus, joka aiheuttaa näihin kappaleisiin yhtä suuret mutta vastakkaissuuntaiset gravitaatiovoimat.
Newtonin gravitaatiolaki
F = γ(m₁m₂/r²)
Gravitaatiokentän voimakkuus
on suoraan verrannollinen kappaleen massaan ja kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön
Gravitaatiovuorovaikutus kentässä
- Kappale A synnyttää ympärilleen gravitaatiokentän
2. Gravitaatiokenttä aiheuttaa voiman siinä olevaan kappaleeseen B
Satelliitin liikeyhtälö
F̅ = Fa_n = γ(mM/r²) * v²/r = ma̅
Keplerin I laki
Planeetat liikkuvat ellipsiratoja pitkin. Ratojen toisessa polttopisteessä on Aurinko
Keplerin II laki
Auringosta planeettaan piirretty jana rajaa yhtä pitkinä aikaväleinä yhtä suuret pinta-alat
Keplerin III laki
Planeettojen kiertoaikojen T neliöt ovat verrannollisia niiden ja Auringon välisten etäisyyksien r kuutioihin
T₁² / T₂² = r₁³ / r₂³
eli T² = kr³
Kappaleen kokonaisenergia gravitaatiokentässä
E = 1/2 mv² + (-γ(mM/r²)) = vakio
Gravitaatiovaikutuksen potentiaalienergia
E_p = -γ(mM/r)
Momentti on suure
joka kuvaa voiman vääntövaikutusta
Voiman varsi r
on voiman vaikutussuoran kohtisuora etäisyys pyörimisakselista
Momentti akselin suhteen
M_A = Fr
yksikkö 1 Nm = 1 kgm²/s²
Tasapainon voimaehto
∑F̅ = F̅₁ + F̅₂ + … = =̅
Tasapaino pyörimisen suhteen
∑M_A = F₁r₁ - F₂r₂ =0
Momenttipiste
on kohta, jossa todellinen tai kuviteltu pyörimisakseli lävistää kappaleen
Jäykkä kappale
on sellainen kappale, jonka muoto ei muutu, kun siihen kohdistetaan voimia
Jäykän kappaleen tasapaino etenemisen ja pyörimisen suhteen
Voimaehto ∑F̅ = 0
Momenttiehto ∑M_A = 0
Painopisteen laskeminen
x_pp = (x₁m₁ + x₂m₂ + ... + x_n*m_n) / (m₁+ m₂ + ... + m_n) y_pp = (y₁m₁ + y₂m₂ + ... + y_n*m_n) / (m₁+ m₂ + ... + m_n)
Tasapainolajit
vakaa, horjuva, epämääräinen
Kiertokulman suuruus
φ = s / r
Keskikulmanopeus
ω_k = ∆φ / ∆t = (φ₂ - φ₁) / (t₂ - t₁)
Keskikulmakiihtyvyys
α_k = ∆ω / ∆t = (ω₂ - ω₁) / (t₂ - t₁)
Kaaren pituuden ja kiertokulman yhteys
s = rφ
Ratanopeuden ja kulmanopeuden yhteys
v = ωr
Normaalikiihtyvyys
a_n = v²/r = rω²
Tangenttikiihtyvyyden ja kulmakiihtyvyyden yhteys
a_t = r*a_n
Pyörimisnopeus
n = N / ∆t
N on kierrosten lukumäärä
yksikkö 1/s
Kulmanopeuden ja pyörimisnopeuden yhteys
ω = 2πr
yksikkö 1/s
Tasainen pyörimisliike
kulmanopeus ω = vakio
kiertokulma
φ = φ₀ + ωt
Tasaisesti kiihtyvä pyörimisliike
kulmanopeus
ω = ω₀ + αt
kiertokulma
φ = φ₀ + ω₀t + 1/2 αt²
Hitausmomentti J
kuvaa, miten kappale vastustaa pyörimisliikkeen muutosta, vastaavalla tavalla massa kuvaa, miten kappale vastustaa liiketilan muutosta etenemisliikkeessä
Pyörimisen jatkavuus
Jos pyörivään kappaleeseen ei vaikuta momenttia, kappaleen pyörimisliike ei muutu
Pyörimisen peruslaki
∑M_A = J_A*α ∑M = Jα
Pyörimismäärä
L = Jω
Jos ulkoinen momentti on nolla
pyörimismäärä säilyy eli
J₁ω₁ = J₂ω₂
Pyörimisenergia eli rotaatioenergia
E_r = 1/2 Jω
Kappaleen kokonaisliike-energia
E_k = E_t + E_r = 1/2mv² + 1/2J_p*ω²
Etenemisenergia eli translaatioenergia
E_t = 1/2 mv²
Vierimisehto
v_p = rω a_p = αr s = rφ
Momentin tekemä työ
W = Fs = Fr∆φ = M∆φ
yksikkö 1 Nm = 1 J
Pyörimisen työperiaate
W = ∑M∆φ = 1/2Jω² - 1/2Jω₀²
