5. Equivalência de capitais Flashcards by Tiago Victor

PARA FIXAR

O Diagrama do Fluxo de Caixa é a representação gráfica das operações de Capital (entradas e saídas) em uma reta horizontal crescente estabelecida como o tempo.

Por convenção, a entrada de Capital será representada com uma seta vertical para cima, enquanto que, a saída de Capital, uma seta vertical para baixo.

Ex da imagem: Investimento de R$ 100.000,00 no dia de hoje para recebimento de R$ 120.000,00 daqui a 4 anos.

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

PARA FIXAR

Exemplos de diagrama do fluxo de caixa:
Aplicação de R$ 25.000,00 e recebimento de 3 parcelas mensais sucessivas de R$ 10.000,00, sendo o primeiro recebimento 3 meses após a aplicação.

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Represente um fluxo de caixa de investimento inicial de 700 com receita de 500 no primeiro ano, 300 no segundo, 150 no quarto, 150 no sexto e desembolso de 100 no terceiro e no quinto ano.

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Represente no Diagrama de Fluxo de Caixa 6 aplicações mensais e sucessivas de R$ 2.000,00, sendo a primeira aplicação na data de hoje e mais 6 saques sucessivos de R$ 2.200,00, sendo o primeiro saque 1 mês após o final das aplicações.

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Há uma técnica para “transportar” uma parcela no tempo, ou seja, como levar uma parcela presente para o futuro (capitalização) e como trazer uma parcela do futuro para o presente (desconto ou descapitalização).
Qual a fórmula capitalização no regime de juros simples?

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

é o mesmo da capitalização só que isolando o valor futuro

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

é o mesmo da capitalização só que isolando o valor futuro

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

PARA FIXAR

VF = Valor Futuro
VP = Valor Presente (que é a mesma coisa que Valor Atual)

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

PARA FIXAR

No regime de capitalização/descapitalização, o Montante será sempre entendido como o Valor Futuro e o Capital, como Valor Presente.

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Determine o Valor Presente do Fluxo de caixa para uma taxa de juros simples de 10% ao mês.

1° passo: sempre contar os períodos através do gráfico para não deixar passar nenhum
2° passo:
VP nos juros simples = VF ÷ (1 + i × t)
VP = 2.800 ÷ (1 + 0,1 × 4)
VP = 2.800 ÷ 1,4
VP = 2.000

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Uma pessoa se interessou em adquirir um carro anunciado em uma concessionária. Negociou com o gerente e conseguiu comprá-lo a uma taxa de juros compostos de 5% ao ano. O primeiro pagamento será um ano após a aquisição do carro, e no valor de R$ 31.500. O segundo pagamento será efetuado um mês após o primeiro, e terá o valor de R$ 55.125. Qual é o valor à vista, em real, do carro?

1° passo: Nesse caso, precisamos realizar dois valores presente, dos 31.500 e dos 55.125. O valor presente total será a soma desses dois valores.
2° passo: calcular VP₁ e VP₂
VP₁ = VF ÷ (1 + i)ᵗ
VP₁ = 31.500 ÷ (1 + 0,05)¹
VP₁ = 31.500 ÷ 1,05
VP₁ = 30.000
———————-
VP₂ = 51.125 ÷ (1 + 0,05)²
VP₂ = 51.125 ÷ 1,05²
VP₂ = 51.125 ÷ 1,1025
VP₂ = 50.000
———————–
VP = VP₁ + VP₂
VP = 30.000 + 40.900
VP = 80.000

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Um banco comercial fez um acordo com uma empresa para liquidar um empréstimo de R$100.000,00 vencido há dois meses, e ainda antecipar o pagamento de outro de R$212.241,60 com três meses a decorrer do seu vencimento.
No acordo, a taxa de juros, em regime composto, foi estipulada em 2% ao mês para ambos os casos.
Qual será o valor total do pagamento dos dois empréstimos que a empresa deve fazer junto ao banco na data presente?

1° passo: desenhar o gráfico. Perceba que um já está vencido há dois meses e o outro ainda tem três meses pra vencer.
2° passo: calcular o valor futuro do empréstimo vencido e o valor presente do que está a vencer
VF = VP × (1 + i)ᵗ
VF = 100.000 × (1 + 0,02)²
VF = 100.000 × 1,0404
VF = 104.040
——————————-
VP = VF ÷ (1 + i)ᵗ
VP = 212.241,60 ÷ (1 + 0,2)³
VP = 212.241,60 ÷ 1,061208
VP = 200.000
3° passo: A questão pede o valor total dos dois pagamentos.
Logo, 104.040 + 200.000 = 304.040

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

PARA FIXAR

Deslocar para a direita = capitalização

Deslocar à esquerda = descapitalização (desconto)

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Uma empresa decide adquirir um imóvel em 4 prestações iguais de R$ 10.000,00 vencíveis em 30, 60, 120 e 180 dias, respectivamente. A taxa de juros composta cobrada foi de 5% ao mês.
Caso essa companhia quisesse comprar o imóvel em 1 só prestação vencível no TERCEIRO mês, qual seria a equação do valor que ela deveria desembolsar?

1° passo: Como queremos a parcela no tempo “3”, vamos deslocar todos os períodos para o 3.
2° passo: calcular os VP
VP₁ = 10.000 ÷ (1 + i)ᵗ
VP₁ = 10.000 ÷ 1,05¹
VP₁ = 9.523,80
————————–
VP₂ = 10.000 ÷ 1,05³
VP₂ = 10.000 ÷ 1,157
VP₂ = 8.643,04
2° passo: calcular os VF
VF₁ = 10.000 × (1+i)ᵗ
VF₁ = 10.000 × 1,05¹
VF₁ = 10.050
————————–
VF₂ = 10.000 × 1,052
VF₂ = 10.000 × 1,157
VF₂ = 11.570
4° passo: somar os valores para chegar ao valor total
VP₁ + VP₂ + VF₁ + VF₂
9.523,80 + 8.643,04 + 10.050 + 11.570
39.786,84

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

PARA FIXAR

Dois ou mais capitais, resgatáveis em datas distintas, são equivalentes quando, transportados para uma mesma data na linha do tempo à mesma taxa de juros, resultarem em valores iguais.

Quando verificarmos que dois (ou mais) Capitais são equivalentes em regime de Juros Compostos em uma data focal, essa equivalência permanecerá válida para qualquer outra data.
Explicando melhor. Suponha que você verificou que dois Capitais são equivalentes no tempo presente 𝑡 = 0. Isso quer dizer que, em regime de Juros Compostos, esses Capitais também serão equivalentes em 𝑡 = 1 , 𝑡 = 2 , 𝑡 = 3 , 𝑒𝑡𝑐.

Ou seja, em regime de Juros Compostos, a comparação de Capitais NÃO DEPENDE da data focal. Você pode escolher em qual data na linha do tempo irá proceder com a equivalência.

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Uma inscrição de concurso para Auditor fiscal pode ser paga à vista ou por meio de 3 prestações mensais, iguais e consecutivas, no valor de R$ 88,20, sendo a primeira delas paga no ato da inscrição.
Se a banca do concurso cobra juros compostos de 5% a.m. nos pagamentos parcelados, qual o valor à vista da inscrição?

VA = VA₁ + VA₂ + VA₃
Todas as opções devem ir ao tempo 0.

VA₁ = 88,20 (valor da primeira parcela, que é pago no ato)

VA₂ = VF ÷ (1 + i)ᵗ
VA₂ = 88,20 ÷ (1,05)¹
VA₂ = 84

VA₃ = VF ÷ (1 + i)ᵗ
VA₃ = 88,20 ÷ (1,05)²
VA₃ = 88,20 ÷ 1,1025
VA₃ = 80

VA = 88,20 + 84 + 80
VA = 252,20

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Uma loja de produtos eletrodomésticos anuncia duas condições para a compra de determinado produto:
− Compra com pagamento à vista no valor de R$ 1.900,00;
− Compra a prazo, sendo uma entrada no valor de R$ 500,00 e o pagamento de uma parcela adicional no valor de R$ 1.484,00 após 2 meses da data da compra.
Se a empresa utiliza o regime de capitalização simples, qual a taxa de juros simples, em percentual ao mês, cobrada na venda a prazo?

1900 = 500 + 1484 ÷ (1 + i × t)
todos devem ser equivalentes no tempo 0, como o 1900 é o próprio tempo zero, deve ser equivalente a ele
1900 = 500 + 1484 ÷ (1 + i × 2)
1900 - 500 = 1484 ÷ (1 + i × 2)
1400 = 1484 ÷ (1 + i × 2)
1400 x (1 + 2i) = 1484
1400 + 2800i = 1484
2800i = 1484 - 1400
2800i = 84
i = 84 ÷ 2800
i = 0,03 ou 3%

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

O que são rendas uniformes?

Uma série de fluxo de caixa efetuados em intervalos de tempos iguais onde as parcelas são constantes, isto é, pagamentos (ou recebimentos) iguais em intervalo de tempos iguais.

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Como também podem ser chamadas as rendas uniformes?

Rendas certas.

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

As rendas uniformes (rendas certas) possuem três tipos. Quais são?

Rendas Certas Postecipadas
Rendas Certas Antecipadas e
Rendas Certas Diferidas.

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

No que consistem as rendas certas postecipadas?

As rendas em que os pagamentos/recebimentos ocorrem ao final de cada período.
perceba que o pagamento é depois que finaliza o período, portanto, não tem como ser no tempo 0

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

No que consistem as rendas certas antecipadas?

As rendas em que os pagamentos/recebimentos ocorrem no início de cada período.
perceba que o pagamento é realizado antes do período, por isso contabiliza o tempo 0

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

No que consistem as rendas certas diferidas?

As rendas em que os pagamentos/recebimentos ocorrem a partir de uma data posterior ao fim do primeiro período. A esse prazo damos o nome de carência.

As rendas certas diferida são as rendas em que os pagamentos/recebimentos ocorrem a partir de uma data posterior ao fim do primeiro período. Qual o nome dado a esse prazo?

Carência.

Qual o Valor Atual (VA) de uma série de rendas certas Postecipadas?

O valor no momento “0”, também chamado de Valor Presente (VP).

Numa série de rendas certas Postecipadas o valor no momento “0” é chamado de Valor Presente (VP) ou Valor Atual (VA). Qual o valor presente numa série de renda certa postecipada?

A soma de todas as **n** rendas certas **P** descontadas pela mesma taxa de juros i. *vai ficar mais claro depois*

Qual a fórmula do Valor Atual (VA) ou Valor Presente (VP) numa série de rendas certas Postecipadas?

- 𝑉𝐴 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑡𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑐𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠 - 𝑃 = 𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 - 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 - 𝑖 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑜𝑢 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜 *Tem que decorar as duas, infelizmente pois dependendo da banca, pode ser que ela dê uma informação importante que encaixe com uma ou outra fórmula: Algumas questões trazem o valor de (1 + 𝑖)ⁿ enquanto outras fornecem o valor de (1 + 𝑖)⁻ⁿ*

**PARA FIXAR** Você pode decorar apenas a primeira fórmula e caso a banca forneça (1 + 𝑖)⁻ⁿ, faça o inverso do valor e obtenha (1 + 𝑖)ⁿ. Na matemática básica é igual à imagem.

Qual é o valor presente, aproximado, de uma sequência de 5 pagamentos mensais iguais a R$ 1.000,00, sendo o primeiro com vencimento em 30 dias contados da data de hoje, e os outros, nos quatro meses subsequentes, considerando-se uma taxa de juros de 1% a.m. Considere 1,01⁻⁵ = 0,95146.

Qual o Fator de Valor Atual de uma série de renda certa postecipada?

*é o fator que multiplica a Parcela na fórmula do Valor Atual*

**PARA FIXAR** O fator de valor atual de uma série de renda certa postecipada pode ser encontrado na questão pela seguinte simbologia da imagem.

**PARA FIXAR** Algumas bancas, ao invés de fornecer para os cálculos, o Fator de Valor Atual, informam o Fator de Recuperação de Capital (FRC) que matematicamente significa o inverso do Fator de Valor Atual, que corresponde ao demonstrado na imagem.

**PARA FIXAR** Algumas bancas trazem o valor de 𝑎𝑛¬𝑖 da seguinte forma:

**PARA FIXAR**

**PARA FIXAR** Valor Futuro de uma Série de Rendas Certas Postecipadas O Valor Futuro (VF) de uma série de rendas certas Postecipadas é o valor no momento “n” que equivale a soma de todas as n rendas certas P capitalizadas pela mesma taxa de juros i. Em outras palavras, VF é a soma de todos os pagamentos/recebimentos _na mesma data do último pagamento/recebimento_.

Qual a fórmula do Valor Futuro (VF) de uma Série de Rendas Certas Postecipadas?

Qual é o valor futuro, aproximado, de uma sequência de 5 pagamentos mensais iguais a R$ 1.000,00, sendo o primeiro com vencimento em 30 dias contados da data de hoje, e os outros, nos quatro meses subsequentes, considerando-se uma taxa de juros de 1% a.m. Dado: 1,01⁵ = 1,051

O primeiro pagamento ocorrerá apenas 30 dias da data de hoje. Portanto, começará em t1.

Qual é o fator de valor futuro de uma série de venda certa postecipada?

*que é o favor que multiplica o capital*

Qual o Fator de Formação de Capital (FFC) de uma série de venda certa postecipada?

*significa o inverso do Fator de Valor Futuro.*

**PARA FIXAR** O Valor Atual (VA) de uma série de rendas certas _Antecipadas_ é o valor no momento “0”, também chamado de Valor Presente (VP), que _equivale a soma de todas as n rendas certas P descontadas pela mesma taxa de juros i_.

Qual a fórmula do Valor Atual de uma Série de Rendas Certas Antecipadas?

**PARA FIXAR** Observe que a única diferença da fórmula do Valor Atual de uma Série de Rendas Certas Antecipadas para a fórmula das rendas certas postecipadas é a multiplicação final por (1 + 𝑖).

**PARA FIXAR** O Valor Futuro (VF) de uma série de rendas certas Antecipadas é o valor no momento “n” que equivale a soma de todas as n rendas certas P capitalizadas pela mesma taxa de juros i. Em outras palavras, VF é a soma de todos os pagamentos/recebimentos na mesma data do último pagamento/recebimento.

Qual a fórmula do Valor Futuro (VF) de uma Série de Rendas Certas Antecipadas?

Após passar no concurso dos seus sonhos, João comprou um veículo financiado, sem entrada, em 36 prestações mensais e consecutivas de R$ 5.000,00. A primeira prestação vence um mês após a aquisição. Sabendo que o financiamento cobra juros compostos de 1,5% ao mês, qual seria, aproximadamente, o valor à vista do veículo? Adote: 1,015⁻³⁶ = 0,5875

Como ele fala que a prestação ocorre 30 dias após a aquisição, se trata de uma venda postecipada. Ele quer saber o valor à vista. Logo, se trata do valor atual de uma série de rendas postecipadas, ou seja, a soma de todas as 36 rendas certas de R$ 5.000,00 descontadas pela mesma taxa de juros de 1,5% a.m. Precisamos trazer o valor futuro para o valor atual.

Qual a fórmula do Valor Futuro de uma série de Rendas Variáveis em Progressão Geométrica?

𝑃 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑝ó𝑠𝑖𝑡𝑜 𝑞 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑝ó𝑠𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑖 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑛 = 𝑞𝑛𝑡𝑑 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑝ó𝑠𝑖𝑡𝑜𝑠

A fim de compor recursos para uma compra futura, César fará uma série de 12 depósitos mensais antecipados. O primeiro depósito será de R$ 3.700,00 e cada um dos demais será 20% maior do que aquele imediatamente anterior. O montante será resgatado no dia do último depósito. Se, durante todo o período, desde o primeiro depósito até o resgate, os valores forem capitalizados mensalmente à taxa de juros compostos de 1,5% ao mês, qual o valor líquido resgatado? Utilize as seguintes aproximações: 1,015¹² = 1,20 1,20¹² = 9,00

Perceba que as rendas crescem em Progressão Geométrica (P.G.) de razão 1,2 pois cada depósito é 20% (0,2) maior que o depósito anterior.

Qual a fórmula do Valor Presente de uma série de Rendas Variáveis em Progressão Geométrica?

Para se chegar ao Valor Presente, primeiro se calcula o VF de uma série variável em PG e depois divide por (1 + i)ⁿ

VERIFICAR A QUESTÃO (EXEMPLO 2) DA PÁGINA 48

**PARA FIXAR**

**PARA FIXAR** RENDAS PERPÉTUAS CONSTANTES DE TERMOS ILIMITADOS O termo perpetuidade sugere fluxos (seja pagamentos ou recebimentos) de duração infinita (sem limite) ou, mais precisamente, números de prestações que não podem ser determinadas exatamente.

Qual a fórmula do Valor Atual de uma série de Rendas Perpétuas Postecipadas?

𝑃 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑝é𝑡𝑢𝑎 𝑖 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠

Qual a fórmula do Valor Atual de uma série de Rendas Perpétuas Postecipadas com crescimento?

g = taxa de crescimento

Qual a fórmula do Valor Atual de uma série de Rendas Perpétuas Antecipadas?

**PARA FIXAR** Algumas questões citam apenas “Rendas Perpétuas” sem especificar o período de pagamento. Quando isso ocorrer, _usamos a primeira fórmula (referente a Rendas Perpétuas Postecipadas)_.

Uma casa está alugada por R$ 1.550,00 mensais e um investidor pretende comprá-la, com a condição de que a taxa de retorno com o aluguel seja de pelo menos 0,9% a.m. Para atender essa condição, qual o máximo que ele deve pagar pela casa?

Um indivíduo pretende acumular um capital C e aplicá-lo à taxa fixa efetiva de 2% ao mês, de modo a poder fazer saques mensais de R$ 1.000,00 perpetuamente. Se o primeiro desses saques ocorrerá no momento da aplicação desse capital, qual o valor de C?

Observe que, nessa questão, o enunciado deixa explícito que o primeiro saque ocorrerá no momento da aplicação, isto é, trata-se de uma série de rendas perpétuas antecipadas.