4. Operações com descontos

Question 1

PARA FIXAR

Entendendo as operações com descontos

Imagine que você tenha um direito monetário de R$ 100.000,00 para receber em 8 meses. Porém, com a necessidade de ter esse valor imediatamente, você recorre a um banco para poder antecipar o que irá receber.
Então, o banco te propõe pagar um certo valor por esse direito e, assim, a instituição financeira ficará com esse título até o vencimento que, como vimos, ocorrerá em 8 meses. Ocorrerá uma mudança na titularidade do direito.
Sendo assim, o banco vai descontar um valor. O banco não te pagará os R$ 100.000,00, obviamente. Haverá um desconto em cima desse valor. Esse desconto vai depender da modalidade adotada, da taxa de juros e do prazo de antecipação. Ou seja, você, certamente, receberá menos que o Valor que consta no título.

Question 2

PARA FIXAR

Operação com descontos consiste em um detentor de um direito (título) monetário receber por ele um valor antecipado antes do seu vencimento. Uma vez que o detentor antecipou o prazo de vencimento, receberá por ele um valor menor ao que receberia caso aguardasse todo o decurso do prazo.
Na matemática financeira, descontar é: antecipar o valor de um recebível.

Question 3

No que consiste o valor nominal?

Answer 3

O montante, o valor declarado do quanto o portador do título terá para receber ao final do prazo de vencimento.
Ex: Uma pessoa possui um direito monetário de R$ 100.000,00 para receber em 8 meses. Porém, com a necessidade de ter esse valor imediatamente, você recorre a um banco para poder antecipar o que irá receber.
O valor nominal é R$ 100.000

Question 4

Como também pode ser chamado o valor nominal?

Answer 4

Valor de Face, Valor Futuro, Montante, Valor Final.

Question 5

Como é representado o valor nominal?

Answer 5

Pela letra N.

Question 6

No que consiste o Valor Atual?

Answer 6

Valor que o titular do direito receberá antecipadamente por ele depois de efetuar o desconto.

Question 7

Como também pode ser chamado o Valor Atual?

Answer 7

Valor Descontado ou Valor Presente.

Question 8

No que consiste o Desconto?

Answer 8

A diferença entre o valor Nominal e o valor Atual.

D = N - A

Question 9

PARA FIXAR

Independentemente da modalidade, o Desconto sempre será a diferença entre o Valor Nominal e o Valor Atual. Ou seja, a fórmula D = N - A é válida para todos os tipos de descontos.

Question 10

Quais as duas modalidades de descontos?

Answer 10

Desconto Racional e Desconto Comercial.

Question 11

Os Descontos possuem duas modalidades: Desconto Racional e Desconto Comercial.
Como também pode ser chamado o Desconto Racional?

Answer 11

Por dentro.

Question 12

Os Descontos possuem duas modalidades: Desconto Racional e Desconto Comercial.
Como também pode ser chamado o Desconto Comercial?

Answer 12

Por fora ou bancário.

Question 13

Quais os regimes de descontos podemos ter dentro das modalidades de desconto?

Answer 13

Regime de desconto simples ou o regime composto.

Question 14

Qual valor o Desconto Racional toma como base para o cálculo do Desconto?

Answer 14

O Valor Atual do título.

Question 15

Qual valor o Desconto Comercial toma como base para o cálculo do Desconto?

Answer 15

O Valor Nominal do título.

Question 16

O Desconto Racional pode ser de regime simples ou composto.
Qual a fórmula do Desconto Racional Simples?

Answer 16

Dᵣₛ = A × i × t

A = Valor atual
i = taxa de juros
t = tempo de antecipação

Question 17

Qual a fórmula do Valor Atual no Desconto Racional Simples?

Answer 17

Question 18

PARA FIXAR

As fórmulas do Desconto Racional Simples são análogas (semelhantes) às do Juros Simples, mudando apenas as incógnitas (que nada mais são que sinônimos).

𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜 → 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 → 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 → 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Question 19

Qual a fórmula dos juros simples?

Answer 19

J = C × i × t

Question 20

PARA FIXAR

Question 21

Qual a fórmula do Montante no regime de juros simples?

Answer 21

M = C (1 + i × t)

Question 22

PARA FIXAR

Comparando com a fórmula do Valor Atual do Desconto Racional Simples:

Question 23

PARA FIXAR

Comparando a fórmula do desconto com a fórmula dos juros.

Question 24

PARA FIXAR

A associação de fórmulas NÃO é válida para o Desconto Comercial, uma vez que no Desconto Comercial a base de cálculo de incidência é o Valor Nominal.

Question 25

O _Desconto Comercial Simples_ é calculado em cima do Valor Nominal do título. Qual a sua fórmula?

Answer 25

Question 26

Qual a fórmula para calcular o Valor Atual no Desconto Comercial Simples?

Answer 26

Question 27

**PARA FIXAR**

Question 28

Uma nota promissória de valor de face de R$ 72.350,75 é descontada 7 meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 18% ao ano. Qual o valor do Desconto dessa operação?

Answer 28

_1° passo_: converter a taxa anual para taxa mensal - 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = 18 ÷ 12 = 1,5% a.m _2° passo_: Aplicar a fórmula do desconto comercial simples: - Dᶜₛ = N × i × t - Dᶜₛ = 72.350,75 × 0,015 x 7 - Dᶜₛ = 72.350,75 × 0,105 - Dᶜₛ = **7.596,83**

Question 29

Uma nota promissória de valor de face de R$ 50.000,00 foi descontada 3 meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto comercial simples de 3% ao mês. Sobre esse desconto, houve cobrança de impostos com alíquota simples de 18% ao ano sobre o valor de face. Houve também uma taxa fixa de despesa bancária de 2% sobre o valor do desconto. Qual o valor descontado?

Answer 29

_1° Passo_: Nesta questão, o Valor Descontado (Valor Atual) será: - A = N - Dᶜₛ - Imposto - taxa de despesa bancária Precisamos calcular cada um desses itens _2° passo_: fórmula do desconto comercial simples - Dᶜₛ = N × i × t - Dᶜₛ = 50.000 × 0,03 × 3 - Dᶜₛ = 50.000 × 0,09 - Dᶜₛ = 4.500 _3° passo_: calcular os impostos com alíquota de 18% ao ano - 18 ÷ 12 = 1,5 a.m. - 50.000 × 0,015 × 3 - 50.000 × 0,045 = 2.250 _4° passo_: houve uma taxa fixa de despesa bancária de 2% sobre o valor de Desconto - 4.500 × 0,02 = 90 _5° passo_: - A = N - Dᶜₛ - Imposto - taxa de despesa bancária - A = 50.000 - 4.500 - 2.250 - 90 - **A = 43.160**

Question 30

Suponha um título que sofre um Desconto Comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Qual a fórmula para encontrar o Desconto se esse mesmo título fosse descontado na modalidade racional simples?

Answer 30

Chamada fórmula de relação.

Question 31

Um título que sofre um Desconto Comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Qual o valor de desconto utilizando a modalidade racional simples?

Answer 31

- 9.810 = Dᵣₛ × (1 + 𝑖 × 𝑡) - 9.810 = Dᵣₛ × (1 + 0,03 × 3) - 9.810 = Dᵣₛ × 1,09 - Dᵣₛ = 9.810 ÷ 1,09 - **Dᵣₛ = 9.000** Ou seja, se esse mesmo título fosse descontado pela modalidade racional simples, o Desconto seria de R$ 9.000,00. Se não tivéssemos decorado essa fórmula, teríamos que, primeiro, encontrar o Valor Nominal do título que foi descontado comercialmente simples e depois utilizar as fórmulas do desconto racional simples para calcular o valor do desconto questionado pelo enunciado.

Question 32

No Desconto Racional Composto, qual a fórmula para se chegar ao Valor Atual?

Answer 32

Question 33

No Regime de Juros Compostos, qual a fórmula para o cálculo do Montante?

Answer 33

M = C × (1 + i)ᵗ

Question 34

No Regime de Juros Compostos, qual a fórmula para o cálculo do Capital?

Answer 34

*só saber a fórmula do M e passar o (1 + i)ᵗ dividindo* *outra obs.: é igual ao cálculo do valor atual do desconto racional composto, substituindo pelos termos correspondentes, mas essa sistemática só vale para o desconto racional, não é válida para o comercial*

Question 35

No Desconto Comercial Composto, qual a fórmula para se chegar ao Valor Atual do título?

Answer 35

Question 36

**PARA FIXAR**

Question 37

Um título financeiro com valor nominal de R$ 40.000,00 será descontado hoje, seis meses antes do seu vencimento. Para a quitação do título, o seu valor atual será calculado por meio do desconto racional composto. Se a taxa de desconto é de 7% ao mês, qual é o valor atual desse título financeiro? Dados: 1,07⁶ = 1,5008

Answer 37

N = 40.000 i = 7% t = 6 - A = N ÷ (1+i)ᵗ - A = 40.000 ÷ (1 + 0,07)⁶ - A = 40.000 ÷ 1,07⁶ *a questão informa que 1,07⁶ = 1,5008* - A = 40.000 ÷ 1,5008 - **A = 26.652,45**

Question 38

Uma duplicata tem valor nominal de R$ 4.000,00 e vencerá daqui a dois meses. Se ela for descontada hoje pelas regras do desconto comercial composto, à taxa de desconto de 10% ao mês, qual o valor será descontado?

Answer 38

No desconto comercial composto o valor atual é: 𝐴 = 𝑁 × (1 − 𝑖)ᵗ 𝑁 = 4.000 𝑖 = 0,1 ᵗ = 2 - 𝐴 = 𝑁 × (1 − 𝑖)ᵗ - 𝐴 = 4.000 × (1 − 0,1)² - 𝐴 = 4.000 × (0,9)² - 𝐴 = 4.000 × 0,81 - 𝐴 = 4.000 × 0,81 - **𝐴 = 3.240**

Question 39

Um título é resgatado cinco anos antes do seu vencimento pelas regras do desconto comercial composto. A taxa de desconto utilizada nessa transação é de 10% ao ano. Se o desconto é de R$ 1.148,00, qual o valor resgatado? Dados: - 1,1⁵ = 1,61 - 0,9⁵ = 0,59

Answer 39

A primeira equação dos descontos nos diz que: - D = N - A - 1.148 = N - A - A = N - 1.148 Devemos substituir o A pela fórmula do Valor atual no desconto comercial composto: - N - 1.148 = N × (1 - i)ᵗ *N - 1.148 = A* - N - 1.148 = N × (1 - 0,1)⁵ - N - 1.148 = N × (0,9)⁵ - N - 1.148 = N × 0,59 - N - 1.148 = 0,59N - N - 0,59N = 1.148 - 0,41N = 1.148 - N = 1.148 ÷ 0,41 - _N = 2.800_ Como ele pede o valor resgatado (que é o valor atual), então temos: - A = N - D - A = 2.800 - 1.148 - **A = 1.652**

Question 40

No que consiste a taxa efetiva?

Answer 40

A taxa de juros que, aplicada sobre o Valor Atual, gera, no período considerado, o Valor Nominal.

Question 41

**PARA FIXAR** Para calcularmos a taxa efetiva da operação de desconto, devemos substituir os dados obtidos no Desconto Comercial em uma fórmula do Desconto Racional. Taxa efetiva da operação de desconto: 1. Calcular os dados (geralmente o Valor Atual) no Desconto Comercial. 2. Substituir os dados calculados em uma fórmula do Desconto Racional.

Question 42

CERTO OU ERRADO No Desconto Comercial, a taxa que incide sobre o Valor Nominal é uma taxa efetiva.

Answer 42

ERRADO! É uma taxa não efetiva.

Question 43

Uma pessoa possui um título a receber no valor nominal de R$ 600 e deseja antecipá-lo 5 meses antes do prazo de vencimento. Considerando que, na operação de desconto, seja usado o desconto comercial simples de 4% ao mês, qual será a taxa efetiva da operação?

Answer 43

1° passo: calcular o desconto comercial simples - 𝐴 = 𝑁 × (1 − 𝑖 × 𝑡) - 𝐴 = 600 × (1 − 0,04 × 5) - 𝐴 = 600 × (1 − 0,2) - 𝐴 = 600 × 0,8 - 𝑨 = 𝟒𝟖𝟎 2° passo: substituir o valor em uma fórmula do Desconto Racional (no nosso caso, Racional Simples pois estamos trabalhando com regime simples de desconto) e calcular a taxa efetiva. - 𝐴 = 𝑁 ÷ (1 + 𝑖𝑒𝑓 × 𝑡) - 480 = 600 ÷ (1 + 𝑖𝑒𝑓 × 5) - 480 = 600 ÷ (1 + 5𝑖𝑒𝑓) - 1 + 5𝑖𝑒𝑓 = 600 ÷ 480 - 1 + 5𝑖𝑒𝑓 = 1,25 - 5𝑖𝑒𝑓 = 1,25 - 1 - 5𝑖𝑒𝑓 = 0,25 - 𝑖𝑒𝑓 = 0,25 ÷ 5 - **𝑖𝑒𝑓 = 0,05 ou 5%**

Question 44

Se a questão nos fornece a _taxa do desconto comercial simples (𝑖𝐶𝑆)_, qual fórmula podemos usar para calcular a taxa efetiva diretamente?

Answer 44

*veja como fica a aplicação no exemplo acima* *O custo benefício de decorar essa fórmula é muito baixo mas fica a título de conhecicento*

Question 45

Se a questão nos fornece a _taxa do desconto comercial composto (𝑖𝐶c)_, qual fórmula podemos usar para calcular a taxa efetiva diretamente?

Answer 45

*O custo benefício de decorar essa fórmula é muito baixo mas fica a título de conhecimento*

Question 46

**PARA FIXAR** O Desconto Racional Simples, o Desconto é igual a: Drs = A × i × t Já no Desconto Comercial Simples, o Desconto é igual a: Dcs = N × i × t Observe que, como vimos, o Desconto Racional incide sobre o Valor Atual do título enquanto que o Desconto Comercial incide sobre o Valor Nominal. Então, para um mesmo título de Valor Nominal , descontado a uma taxa de i% em um prazo x de antecipação, o Desconto Comercial será sempre maior que o Desconto Racional. **Dcs > Drs** Perceba que "i × t" é comum nas 2 equações. O que difere uma equação da outra é o termo A e N. Ora, o Valor Nominal sempre será maior que o Valor Atual A, uma vez que o Valor Atual é igual ao Valor Nominal N menos o Desconto.

Question 47

Um título de Valor Nominal R$ 1.200,00 foi descontado a uma taxa de 5% ao mês, 4 meses antes do seu vencimento. Qual será maior, o Desconto Comercial Simples ou o Desconto Racional Simples?

Answer 47

Dcs = N × i × t Dcs = 1200 × 0,05 × 4 Dcs = 1200 × 0,2 Dcs = 240 Utilizando a fórmula de relação dos descontos, temos: Dcs = Drs (1 + i × t) 240 = Drs (1 + 0,05 x 4) 240 = 1,20Drs Drs = 240 ÷ 1,2 Drs = 200 **O desconto comercial simples, aplicado os mesmos valores, será sempre maior que o desconto comercial simples**

Question 48

**PARA FIXAR** Se o Desconto Comercial é maior que o Desconto Racional, logicamente, o Valor Atual no Comercial será menor que no Racional. Como o Valor Atual do título é dado pela diferença entre seu Valor Nominal e o Desconto, então quanto mais é descontado, menor será o Valor Atual, e vice-versa.

Question 49

Um título de Valor Nominal R$ 1.200,00 foi descontado a uma taxa de 5% ao mês, 4 meses antes do seu vencimento. Qual será maior valor atual, no Desconto Comercial Simples ou o Desconto Racional Simples?

Answer 49

Dcs = N × i × t Dcs = 1200 × 0,05 × 4 Dcs = 1200 × 0,2 Dcs = 240 Utilizando a fórmula de relação dos descontos, temos: Dcs = Drs (1 + i × t) 240 = Drs (1 + 0,05 x 4) 240 = 1,20Drs Drs = 240 ÷ 1,2 Drs = 200 Valor atual é o nominal menos o desconto: Acs = 1200 - 240 = 960 Ars = 1200 - 200 = 1000 **Aplicado os mesmos valores, o valor atual será sempre maior no desconto racional simples, pois o desconto dele é menor que o comercial simples.**