2. Juros Compostos Flashcards
Em Juros Compostos, a sequência formada pelos valores dos Montantes em cada período?
q = 1 + i
uma progressão aritmética crescente
Qual a equação para se chegar ao montante nos Juros Compostos?
𝑴 = 𝑪 × (𝟏 + 𝒊)ᵗ
PARA FIXAR
ATENÇÃO
- 1) Atente-se para as unidades do Tempo e da Taxa de Juros. OBRIGATORIAMENTE elas devem estar na mesma unidade de grandeza.
Então, se a Taxa, por exemplo, estiver em “por cento ao mês”, a unidade de tempo NECESSARIAMENTE deve estar em “meses”. - 2) A Taxa de Juros deve ser inserida na equação na forma unitária, ou seja, em números decimais.
Qual a equação para se chegar ao valor dos juros?
J = M - C ou
J = C × (1 + 𝑖)ᵗ - C ou
J = C × [(1 + 𝑖)ᵗ - 1] C em evidência
PARA FIXAR
Nos juros compostos
1º - Calcula-se o Montante da operação pela seguinte fórmula: 𝑀 = 𝐶 × (1 + 𝑖)ᵗ
2º - Em seguida, calculam-se os Juros pela equação: 𝐽=𝑀−𝐶
PARA FIXAR
DICA
Potências da forma “um vírgula zero alguma coisa ao quadrado”: (1,0__)²
O macete consiste em “PRIMEIRO DOBRA, DEPOIS ELEVA AO QUADRADO”.
- 1,01² → Pegamos o que está depois da vírgula (01). Primeiro dobra 01 × 2 = 02. Depois eleva ao quadrado 01² = 01. Resultado: 1,0201
- 1,02² → Pegamos o que está depois da vírgula (02). Primeiro dobra 02 × 2 = 04. Depois eleva ao quadrado 02² = 04. Resultado: 1,0404
- 1,03² → Pegamos o que está depois da vírgula (03). Primeiro dobra 03 × 2 = 06. Depois eleva ao quadrado 03² = 09. Resultado: 1,0609
- 1,04² → Pegamos o que está depois da vírgula (04). Primeiro dobra 04 × 2 = 08. Depois eleva ao quadrado 04² = 16. Resultado: 1,0816
- 1,05² → Pegamos o que está depois da vírgula (05). Primeiro dobra 05 × 2 = 10. Depois eleva ao quadrado 05 = 25. Resultado: 1,1025
- 1,06² → Pegamos o que está depois da vírgula (06). Primeiro dobra 06 × 2 = 12. Depois eleva ao quadrado 06² = 36. Resultado: 1,1236
- 1,07² → Pegamos o que está depois da vírgula (07). Primeiro dobra 07 × 2 = 14. Depois eleva ao quadrado 07² = 49. Resultado: 1,1449
- 1,08² → Pegamos o que está depois da vírgula (08). Primeiro dobra 08 × 2 = 16. Depois eleva ao quadrado 08² = 64. Resultado: 1,1664
- 1,09² → Pegamos o que está depois da vírgula (09). Primeiro dobra 09 × 2 = 18. Depois eleva ao quadrado 09² = 81. Resultado: 1,1891
Um cliente de um banco fez um investimento inicial de R$ 5.000. Ao final de 3 anos tinha um montante de R$ 8.640.
Sabendo que ∛1,728 = 1,2 e supondo que a taxa de juros utilizada pelo banco é composta e que não se alterou ao longo do tempo, qual a taxa de juros anual aplicada ao investimento?
M = C × (1 + i)ᵗ
8.640 = 5.000 × (1 + i)³
8.640 ÷ 5000 = 1 + i³
1,728 = 1 + i³
∛1,728 = 1 + i (∛1,728 = 1,2)
1,2 = 1 + i
1,2 - 1 = i
i = 0,2 ou 20%
De acordo com o evidenciado, qual o valor da segunda parcela?
1) É o montante dos dois primeiros meses do empréstimo a juros compostos.
2) No final do segundo mês, ocorre o pagamento de R$ 46.000
3) O saldo devedor fica em R$ 60.900
4) Os juros continuarão incidindo sobre este Saldo Devedor por mais três meses, uma vez que o pagamento da segundo parcela
acontece ao final do quinto mês. Logo, para quitar este financiamento, o pagamento da segunda parcela, ao final do quinto mês, deverá ser de R$ 65.661,96.
No que consiste a taxa efetiva?
Taxa de Juros em que a unidade de tempo da Taxa é coincidente com a unidade de tempo do período de capitalização.
Ex: i₅ = 5% ao mês capitalizado mensalmente (taxa de juros ao mês e capitalização ao mês)
i₃ = 3% ao trimestre capitalizado trimestralmente (taxa de juros ao trimestre e capitalização ao trimestre)
i₁₅ = 15% ao ano capitalizado anualmente
No que consiste a taxa nominal?
Taxa de Juros em que a unidade de tempo da Taxa NÃO É coincidente com a unidade de tempo do período de capitalização.
Ex: i₅ = 5% ao mês capitalizado trimestralmente (taxa de juros ao mês e capitalização trimestral)
i₃ = 3% ao trimestre capitalizado semestralmente (taxa de juros ao trimestre e capitalização ao semestre)
i₁₅ = 15% ao semestre capitalizado anualmente
PARA FIXAR
SEMPRE CONVERTER A TAXA NOMINAL EM TAXA EFETIVA!!!
Quem manda é o período de capitalização.
COLOQUE ISSO NA CABEÇA!
O período de capitalização vai ser sempre o denominador e a taxa de juros o numerador.
Ex: taxa de juros 15% ao ano para passar para capitalização mensal.
15 ÷ 12 = 1,25% ao mês
Calcule a taxa efetiva bimestral de 12% ao semestre com capitalização bimestral.
- Um semestre tem 3 bimestres.
- Logo, 12 ÷ 3 = 4% ao bimestre.
Calcule a taxa efetiva anual de 15% ao semestre capitalizados anualmente.
- 1 ano tem dois semestres.
- Logo, 15 x 2 = 30% ao ano.
João faz um investimento de R$ 10.000,00 a uma taxa de juros compostos de 12% a.a. com capitalizações bimestrais.
Após 4 meses, por estar passando por dificuldades financeiras, João resolve sacar R$ 1.904,00 e deixar o restante aplicado.
10 meses após o início do investimento, qual o valor aproximadamente que João terá na sua conta investimento?
1ª parte
- Taxa efetiva bimestral = 12 ÷ 6 = 2% ao bimestre
- M = C × (1 + i)ᵗ
- M = 10.000 × (1 + 0,02)² o período t corresponde a dois bimestres
- M = 10.000 × (1,02)²
- M = 10.000 x 1,0404
- M = 10.404
João saca 1.904 e fica com 8.500 aplicado.
2ª parte
- 10 meses são 5 bimestres mas 2 já passaram, então faltam 3.
- M = C × (1 + i)ᵗ
- M = 8.500 × (1 + 0,02)³
- M = 8.500 × (1,02)³
- M = 8.500 × 1,0612
- M = 9.020,27
No que consistem as taxas equivalentes?
Taxas de juros com unidades de tempo diferentes que aplicadas a um mesmo Capital, por um mesmo período, sob o regime de juros compostos, produziriam o mesmo Montante (e, por consequência, mesmo Juro).
Qual a Taxa composta bimestral Equivalente a 5% ao mês?
- (1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙)² = (1 + 𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙)
a mensal está elevada ao quadrado porque é bimestral - (1 + 0,05)² = (1 + 𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙)
- (1,05)² = (1 + 𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙)
- 1,1025 = 1 + 𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
- 1,1025 - 1 = 𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
- 𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,1025 ou 10,25%
Isso quer dizer que, se aplicarmos 10,25% de taxa de juros ao bimestre em regime de Juros Compostos, produziria o mesmo Montante do que uma aplicação de 5% ao mês a taxa de juros composta.
Qual a Taxa composta anual Equivalente a 16% ao semestre?
- (1 + 𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙)² = (1 + 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙)
- (1 + 0,16)² = (1 + 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙)
- 1,16² = 1 + 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙
- 1,3456 = 1 + 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙
- 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 1,3456 − 1
- 𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟎, 𝟑𝟒𝟓𝟔 𝒐𝒖 𝟑𝟒,𝟓𝟔%
Isso quer dizer que se fizermos uma aplicação de 16% ao semestre em um regime de juros compostos, produziria o mesmo montante de aplicarmos a uma taxa de 34,56% ao ano.
Qual a Taxa composta mensal Equivalente a 33,10% ao trimestre?
- (1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙)³ = (1+ 𝑖𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 )
- (1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙)³ = (1 + 0,331)
- (1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 )³ = 1,331
- 1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = ∛1,331
- 1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = 1,1
- 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = 1,1 - 1
- 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = 0,1 ou 10%
Qual a Taxa composta bimestral Equivalente a 14,49% ao quadrimestre?
- (1 + 𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 )² = (1 + 𝑖𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 )
- (1 + 𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙)² = (1 + 0,1449)
- (1 + 𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙)² = 1,1449
- 1 + 𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = √1,1449
- 1 + 𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 1,07
- 𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 1,07 - 1
- 𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,07 ou 7%
Qual a Taxa composta trimestral Equivalente a 6% ao semestre capitalizados mensalmente?
- A questão nos fornece uma Taxa Nominal, que é 6% ao semestre capitalizados mensalmente. Então devemos converter primeiramente em taxa efetiva.
- 6% ao semestre capitalizado mensalmente = 6% ÷ 6 = 1%
- (1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙)³ = (1 + 𝑖𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙)
- (1 + 0,01)³ = (1 + 𝑖𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 )
- 1,01³ = 1 + 𝑖𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
- 1,030301 = 1 + 𝑖𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
- 𝑖𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 1,030301 - 1
- 𝑖𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 ≅ 0,0303 ou 3,03%
Um financiamento, sob regime de juros compostos, é firmado com taxa semestral de juros de 12% capitalizados bimestralmente.
Qual a taxa semestral efetiva nessa contratação?
- A questão nos fornece uma Taxa Nominal, que é 12% ao semestre capitalizados bimestralmente. Então devemos converter primeiramente em taxa efetiva.
- Um semestre tem 3 bimestres. Logo, 12% ÷ 3 = 4% a.b.
- (1 + 𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙)³ = (1 + 𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙)
- (1 + 0,04)³ = (1 + 𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 )
- 1,04³ = 1 + 𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
- 1,1249 = 1 + 𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
- 𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 1,1249 - 1
- 𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,1249 ou 12,49%
Em um sistema composto de capitalização, a taxa de 5% ao mês é equivalente a uma taxa anual de quanto?
Dado: 1,05⁶ = 1,3401
- (1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙)¹² = (1 + 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙)
- (1 + 0,05)¹² = (1 + 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙)
- 1,05¹² = 1 + 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙
- (1,05)⁶ × (1,05)⁶ = 1 + 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙
- 1,3401 × 1,3401 = 1 + 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙
- 1,7959 = 1 + 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙
- 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 1,7959 - 1
- 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 0,7959 ou 79,59%
PARA FIXAR
A raiz quadrada de um número é a mesma operação que elevar este número a 1/2.
Por ex: √x = x¹ᐟ² (ou x⁰ᶥ⁵)
Uma financeira deseja aplicar uma taxa mensal, no regime de capitalização composta, que é equivalente a taxa bimestral de 5,0625%.
Desse modo, qual a taxa aplicada pela financeira?
Considere os seguintes dados:
- (1,050625)⁰ᶥ⁵ = 1,025
- (0,050625)⁰ᶥ⁵ = 0,225
- (1,50625)⁰ᶥ⁵ = 1,2273
- (1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙)² = (1 + 𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙)
- (1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙)² = (1 + 0,050625)
- 1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = √1,050625
A raiz quadrada de um número é igual a esse número elevado a 1/2 ou 0,5. - 1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = (1,050625)⁰ᶥ⁵
- 1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = 1,025
- 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = 1,025 - 1
- 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = 0,025 ou 2,5%
