#3 Konvexe Optimierung

Question 1

Konvexkombinationen

rechnerisch

Answer 1

Als Konvexkombination zweier Vektoren a,b aus IR bezeichnet man jeden Vektor der Form

r * a + ( 1 - ­r ) * b mit 0 ≤ r ≤ 1

Question 2

Konvexkombinationen

geometrische Deutung

Answer 2

2 Vektoren
Konvexkombination zweier Vektoren gehört gerade zu Punkten auf der Verbindungsstrecke mit den durch die beiden Vektoren festgelegten Randpunkten

1/2 * a + 1/2 b ist dabei der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke

3 Vektoren
Konvexkombination dreier Vektoren gehört gerade zu Punkten in dem Dreieck mit den durch die drei Vektoren festgelegten Eckpunkten

1/3 * a + 1/3 * B + 1/3 * c ist dabei der Schwerpunkt des Dreiecks

4 Vektoren
Konvexkombination von vier Vektoren gehört gerade zu Punkten in der Dreieckspyramide mit den durch die vier Vektoren festgelegten Eckpunkten

1/4 * a + 1/4 * b + 1/4 * c + 1/4 * d ist dabei der Schwerpunkt der Dreieckspyramide

Question 3

Konvexe Menge

Answer 3

Eine Teilmenge X wird konvex genannt, wenn sie mit zwei Vektoren a, b aus X auch sämtliche Konvexkombinationen dieser Vektoren enthält.

• Menge darf keine Einstülpungen haben

Eine Menge ist genau dann konvex, wenn in ihr jede Verbindungsstrecke enthalten ist, die zwischen zwei ihrer Punkte verläuft.

Question 4

Gradient

Answer 4

- Allgemein ist der Gradient die ersten Ableitungen übereinander
grad f(x;y) = f´x über f´y

• der Gradient in einem Punkt zeigt stets in die Richtung der stärksten Anstiegs
• der Betrag des Gradienten entspricht der stärke des Anstiegs

Question 5

Hesse Matrix

Answer 5

• Bildung aller Ableitungen zweiten Grades
• bei Ableitungen 2. Grades kommt es nicht auf die Reihenfolge an f´´xy = f´´yx

2x2
x y
x fxx fxy
y fyx fyy

3x3
     x     y      z
x  fxx  fxy  fxz
y  fyx  fyy  fyz
z  fzx  fzy  fzz

Question 6

Stationäre Stellen

Answer 6

• x und y ermitteln aus der Ableitung 1. Grades