2.2 Dynamische Spiele mit unvollständigen Informationen

Question 1

Ein System von Beliefs in einem extensiven Spiel

ist eine Zuordnung von…

Answer 1

…Wahrscheinlichkeiten µ(x) ∈ [0, 1] für
jeden Entscheidungsknoten x in dem Spiel, so dass
Summe(µ(x)) = 1 mit x∈H(x) für alle Informationsbezirke H

Question 2

Ein perfektes Bayesianisches Gleichgewicht

besteht aus…

Answer 2

….einem Strategienvektor und einem System von
Beliefs, die Forderungen 1-4 erfüllen.
- Forderung 1: An jedem Informationsbezirk muss der Spieler, der am Zug ist, einen Belief darüber haben, welcher Knoten in seinem Informationsbezirk durch das Spiel erreicht wurde
- Forderung 2: Die Strategien der Spieler müssen (gegeben ihre Beliefs) sequentiell rational sein
- Forderung 3: In Informationsbezirken auf dem
Gleichgewichtspfad ist der Belief µ durch die
Gleichgewichtsstrategien der Spieler σ gemäß Bayes’ Regel bestimmt.
- Forderung 4: In Informationsbezirken außerhalb des
Gleichgewichtsspfads ist der Belief µ durch die Gleichgewichtsstrategien der Spieler σ gemäß Bayes’ Regel bestimmt, wenn immer dies möglich ist (Prob(H|σ) > 0). Ansonsten wird der Belief so gewählt, dass er das
Gleichgewicht stützt.

Question 3

Sequentielle Rationalität

Answer 3

Für jeden Informationsbezirk ist die Aktion des Spielers, der am Zug ist (und die Folgestrategie dieses Spielers) optimal, gegeben die Folgestrategien der anderen Spieler

Question 4

Für ein gegebenes Gleichgewicht in einem Spiel in

extensiver Form, liegt ein Informationsbezirk…

Answer 4

• …auf dem Gleichgewichtspfad falls dieser Informationsbezirk mit positiver Wahrscheinlichkeit erreicht wird, ….
• …außerhalb des Gleichgewichtspfads, falls dieser Informationsbezirk mit Null Wahrscheinlichkeit erreicht wird, …

…. wenn die Spieler ihre Gleichgewichtsstrategien benutzen

Question 5

Ein Signalisierspiel ist ein…

Answer 5

…dynamisches Spiel mit unvollständiger Information und zwei Spielern: einem Sender (S) und einem Receiver (R)

Question 6

Die Strategie des Senders wird genannt:

…pooling

Answer 6

(typverheimlichend), falls jeder Typ des Senders

dieselbe Nachricht sendet

Question 7

Die Strategie des Senders wird genannt:

…separating

Answer 7

(typoffenbarend), falls jeder Typ des Senders

eine andere Nachricht sendet

Question 8

Die Strategie des Senders wird genannt:

…teilweise pooling

Answer 8

falls innerhalb einer Gruppe von Typen die gleiche Nachricht gesendet wird; verschiedene Gruppen von Typen senden jedoch unterschiedliche Nachrichten

Question 9

Die Strategie des Senders wird genannt:

…teilweise separating

Answer 9

falls bei mehr als zwei Typen die gleiche Nachricht gesendet wird; verschiedene Gruppen von Typen senden jedoch unterschiedliche Nachrichten

Question 10

Die Strategie des Senders wird genannt:

…hybrid

Answer 10

falls einer der Typen eine Nachricht mit Sicherheit wählt, während ein anderer Typ zwischen den möglichen Nachrichten mischt

Question 11

In Informationsbezirken auf dem Gleichgewichtspfad ist der Belief µ durch die Gleichgewichtsstrategien der Spieler σ gemäß Bayes’ Regel bestimmt.

Answer 11

Das heisst, für alle Informationsbezirke H mit
Prob(H|σ) > 0 (beim Spiel von σ wird H mit positiver
Wahrscheinlichkeit erreicht) muss gelten:
µ(x) = Prob(x|σ) / Prob(H|σ) für alle x ∈ H

Question 12

Ablauf Signalspiel

Answer 12

1. Der Zufall wählt ti ∈ T, wobei p(ti) > 0
2. Sender erfährt ti und wählt dann Nachricht mj ∈ M (M = alle möglichen Nachrichten)
3. Receiver beobachtet mj (aber nicht ti) und wählt dann ak ∈ A (A = alle möglichen Aktionen)
4. Es werden die Auszahlungen Us(ti, mj, ak) bzw. Ur(ti, mj, ak) realisiert

Question 13

Strategie des Senders:

Answer 13

Eine Funktion von T nach M

D.h., eine Nachricht für jeden möglichen Typen: m(ti) für alle Typen ti ∈ T

Question 14

Strategie des Receivers:

Answer 14

Eine Funktion von M nach A

D.h., eine Aktion für jede mögliche Nachricht des Senders: a(mj) für alle mj ∈ M

Question 15

Wenn die Strategie des Senders pooling bzw. separating ist, wird das entsprechende Gleichgewicht…

Answer 15

… pooling bzw. separating genannt.

Question 16

Verfeinerung des PBGG:
Forderung 5: In einem Informationsbezirk außerhalb des
GG-Pfads sollten die Beliefs eines Spielers einem Knoten…

Answer 16

…Wahrscheinlichkeit 0 zuordnen, wenn dieser Knoten nur dann erreicht werden kann, wenn ein Spieler in irgendeinem Fortsetzungsspiel eine strikt dominierte Strategie gewählt hat (es muss wenigstens ein anderer Knoten in diesem Informationsbezirk existieren, der durch eine nicht strikt dominierte Strategie erreicht werden konnte)

Question 17

Definition: In einem Signalisierspiel ist die Nachricht mi aus M für den Sender vom Typ ti genau dann strikt dominiert, …

Answer 17

wenn es eine andere Nachricht mj aus M gibt, so dass
min (über ak ∈ A) {Us (ti ;mj ; ak )} > max (über ak ∈ A)
{US (ti ;mi ; ak )}
(d.h., die niedrigstmögliche Auszahlung für ti bei mj ist größer als die höchstmögliche Auszahlung für ti bei mi )

Question 18

Verfeinerung des PBGG:
Forderung 5S: Wenn der Informationsbezirk, der nach einer Botschaft erreicht wird, außerhalb des GG-Pfads liegt, und wenn diese Botschaft für den Sender vom Typ ti strikt dominiert ist, …

Answer 18

…dann sollte der Receiver dem Typ ti die Wahrscheinlichkeit 0 zuordnen (vorausgesetzt, es existiert wenigstens ein anderer Typ tj , für den diese Botschaft nicht strikt dominiert ist).

Question 19

Gegeben ein PBGG in einem Signalisierspiel ist die
Nachricht mj aus M für den Sender vom Typ ti
gleichgewichtsdominiert, wenn ….

Answer 19

… die gleichgewichtige Auszahlung für den Typ ti , Us* (ti ), größer als die höchstmögliche Auszahlung für ti bei mj ist:
Us(ti ;m(ti ); a(m(ti ))) > max {ak ∈ A} (Us (ti ;mj ; ak))

Question 20

Forderung 6S (das "Intuitive Kriterium", Cho&Kreps,
1987): Wenn der Informationsbezirk, der nach Botschaft mj erreicht wird, auÿerhalb des GG-Pfads liegt, und wenn die Botschaft mj für den Sender vom Typ ti
gleichgewichtsdominiert ist, ...

Answer 20

…dann sollte der Belief des Receivers µ(ti | mj ) dem Typ ti die Wahrscheinlichkeit 0 zuordnen (vorausgesetzt, es existiert wenigstens ein anderer Typ tj für den mj nicht gleichgewichtsdominiert ist)