2.1 Statische Spiele mit unvollständigen Informationen (Auch: statische Bayesianische Spiele)

Question 1

Unvollständige Information

Answer 1

Mindestens ein Spieler ist unsicher über die Auszahlungsfunktion eines anderen Spielers

Question 2

Wie werden die privaten Informationen eines anderen Spielers dargestellt?

Answer 2

Die private Information des Spielers i wird in seinem “Typen” ti ∈ Ti zusammengefasst;
Ti - Menge aller möglichen Typen (Typenraum) von Spieler i
⇒ Zu jedem Typen ti gehört eine andere Auszahlungsfunktion

Question 3

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung pi(t−i | ti) repräsentiert…

Answer 3

…den Belief (die Erwartung) des Spielers i über die Typen, t−i , der anderen Spieler, gegeben, dass er selbst vom Typen ti ist

Question 4

Harsanyi’s Trick (1967)

Answer 4

• Überführung eines Spiels mit unvollständiger Information in ein Spiel mit unvollkommener Information
• Zeitliche Reihenfolge der Ereignisse in einem statischen Spiel mit unvollständiger Information:
  1. Die “Natur” zieht einen Typen für jeden Spieler, d.h.
  bestimmt den Typenvektor t = (t1, …,tn), ti ∈ Ti, gemäss
  einer Wahrscheinlichkeitsverteilung über alle möglichen
  Typenprofile ( “common knowledge” )
  2. Spieler i erfährt seinen Typen ti nicht aber die Typen der anderen Spieler
  Nun kann er seine Beliefs mit Hilfe der Bayesschen Regel bestimmen:
  pi(t_i | ti) = p(t_i ,ti ) / p(ti )
  mit p(ti) = Summe {von t_i ∈T_i} (p(t_i ,ti ))

3. Die Spieler wählen gleichzeitig ihre Aktionen;
   Spieler i wählt ai, ai ∈ Ai
4. Die Spieler erhalten die Auszahlungen ui(a1, …, an;ti)

Question 5

Annahmen Harsanyi’s Trick

Answer 5

• Es ist “common knowledge”, dass im Schritt (1) die “Natur” den Typenvektor t = (t1, …,tn) entsprechend der Wahrscheinlickkeitsverteilung p(t) bestimmt
• Die Typen der Spieler sind stochastisch unabhängig
  voneinander, d.h., pi(t_i | ti) hängt nicht von ti ab
  ⇒ pi(t_i | ti) = pi(t_i) = p(t_i)

Question 6

Strategie für ein statisches Spiel mit unvollständigen Informationen

Answer 6

G = (I; {Ai}; {Ti}; {pi}; {ui})

• Eine Strategie des Spielers i enthält eine Entscheidung für jeden Typen, auch wenn Spieler i seinen Typen kennt, wenn eine Aktion gewählt wird

Question 7

Jedes endliche statische Spiel mit unvollständiger Information hat…

Answer 7

… ein Bayesianisches Nash-Gleichgewicht (möglicherweise in gemischten Strategien)

Question 8

Betrachten Sie das folgende Signalisierspiel. Finden
Sie alle pooling und separating perfekten Bayesianischen Gleichgewichte in reinen Strategien.
- Lösungsweg

Answer 8

1) Prüfen, ob für Sender (pro Typ) strikt dominierte Strategien existieren
2) Verbleibende Kandidaten auf PBGG prüfen
a) pooling
- Signal nicht informativ?!
- BA von Empfänger
- BA von Sender
- Verbesserung durch Wahl von … ?
- wenn möglich: konsistente Beliefs? (Wie wählt man die Wkt. damit Belief konsistent?)
- wenn nein: strikt besser, kein GG
b) seperating
- p= 0 q= 1 Signal ist informativ
- Was wird nach L und R gespielt vom Empfänger?
- Für beide Typen Spiel aufstellen mit L und R & was spielt Empfänger, Präferenzen von L & R bestimmen
- bei keinen Widersprüchen PBGG