1.2 Dynamische Spiele

Question 1

Was ist ein dynamisches Spiel?

Answer 1

Die Spieler können sequentiell und auch mehr als

einmal entscheiden

Question 2

dynamische Spiele - Strategie

Answer 2

vollständiger Verhaltensplan, der für jeden Spieler

und jede Möglichkeit, bei der dieser Spieler zum Zug kommen könnte, eine mögliche Aktion vorschreibt

Question 3

Dynamische Spiele mit vollständiger und vollkommener

Information:

Answer 3

· Es gibt einen Entscheidungsablauf
· Alle vorhergehenden Entscheidungen werden beobachtet, bevor die nächste Aktion gewählt wird
· Die Auszahlungen aller Spieler bei allen möglichen
Kombinationen von Aktionen sind allgemein bekannt

Question 4

Rückwärtsinduktion

Answer 4

• Lösung der Spiele dieser Klasse: Rückwärtsinduktion
• Zweite Stufe: Spieler 2
· beobachtet die Aktion von Spieler 1 a1
· wählt seine beste Antwort (Reaktion) auf die Aktion von
Spieler 1 a1, R2(a1),
d.h., Spieler 2 löst das Maximierungsproblem max a2∈A2 u2(a1, a2)
• Die beste Antwort kann eine Funktion oder eine
Korrespondenz sein

• Erste Stufe: Spieler 1
· antizipiert die Reaktion von Spieler 2 auf jede Aktion a1
· wählt seine beste Antwort (auf die beste Antwort von Spieler 2), d.h., Spieler 1 löst das Maximierungsproblem
max a1∈A1 u1(a1, R(a1))
• Das Rückwärtsinduktionsergebnis des Spiels ist (a∗1, R(a∗1))
• Das Ergebnis bei Rückwärtsinduktion schließt unglaubwürdige Drohungen aus

Question 5

Dynamische Spiele mit vollständiger und unvollkommener Information

Answer 5

• Es gibt einen Zugablauf
• Nicht alle vorhergehenden Züge werden beobachtet, bevor der nächste Zug gewählt wird (d.h., innerhalb einer Stufe kann es simultane Entscheidungen)
  · Die Auszahlungen aller Spieler bei allen möglichen
  Kombinationen von Zügen sind allgemein bekannt

Question 6

Das teilspielperfekte Ergebnis ist das Analogon zu dem….

Answer 6

…Rückwärtsinduktionsergebnis bei Spielen mit vollkommener Information

Question 7

Informationsbezirk

Answer 7

Ein Informationsbezirk ist eine Menge von
Entscheidungsknoten, für die gilt:
(1) Der Spieler muss an jedem Knoten in dem
Informationsbezirk eine Entscheidung treen
(2) Wenn beim Spielen des Spiels einen Entscheidungsknoten
in einem Informationsbezirk erreicht wird, weiß der Spieler, der am Zug ist, nicht welchen Knoten in dem
Informationsbezirk erreicht (bzw. nicht erreicht) wurde
⇒ Für jeden Spieler muss die gleiche Menge von Aktionen an jedem Entscheidungsknoten in einem Informationsbezirk verfügbar sein

Question 8

Forderung der sequentiellen Rationalität:

Answer 8

In jedem Entscheidungsknoten muss die Aktion des Spielers, der am Zug ist, optimal sein, gegeben die Folgestrategien der anderen Spieler

Question 9

Wiederholte Spiele

Answer 9

Spiele, die darin bestehen, dass ein Spiel (Basisspiel)
wiederholt gespielt wird
• Alle Spieler werden über das Ergebnis der letzten Runde (Stufe) informiert, bevor die nächste Runde (Stufe) beginnt
• Frage: Können Drohungen oder Versprechen über das
Verhalten in der Zukunft, gegenwärtiges Verhalten
beeinflussen?
Notation:
- G Spiel in Normalform (Basisspiel des wdh. Spiels G(T))
- G(T) bezeichnet (T-mal) wiederholte Spiel G

Question 10

Eine Strategie in einem Spiel in extensiver Form

ist ein…

Answer 10

…vollständiger Verhaltensplan, der für jeden Spieler und
jede Möglichkeit, bei der dieser Spieler zum Zug kommen könnte, eine mögliche Aktion vorschreibt

Extensive Form (Spielbaumdarstellung)

-> jedes Spiel in extensiver Form kann als Normalform-Spiel dargestellt werden

Question 11

Theorem von Zermelo

Answer 11

Jedes endliche Spiel (endliche Menge von Spielern, endlich vielen Strategien) in extensiver Form mit vollkommener Information hat ein Nash-GG in reinen Strategien, das durch Rückwärtsinduktion
abgeleitet werden kann.
Falls keiner der Spieler an je zwei Endknoten, dieselbe
Auszahlung erhält, so ist das so gefundene Nash-GG eindeutig

Question 12

Alternative Definitionen von (un)vollkommenen Information mit Hilfe von Informationsbezirken

Answer 12

· Spiel mit vollkommener Information: alle Informationsbezirke aller Spieler bestehen nur aus einem Entscheidungsknoten
· Spiel mit unvollkommener Information: mindestens ein Spieler hat einen Informationsbezirk, der mehr als einen
Entscheidungsknoten enthält

Question 13

Ein Teilspiel eines Spiels in extensiver Form ist

eine Teilmenge des Spiels mit folgenden Eigenschaften:

Answer 13

(1) Es beginnt an einem Informationsbezirk, der nur einen
Entscheidungsknoten enthält
(2) Es enthält alle Nachfolger (unmittelbare und spätere)
dieses Entscheidungsknotens; Es enthält nur diese Knoten
(3) Es gibt keine durchgetrennten Informationsbezirke (falls der Entscheidungsknoten X zum Teilspiel gehört, so gehört jeder Entscheidungsknoten aus dem Informationsbezirk von X
auch zum Teilspiel)

Question 14

(Selten, 1965): Ein Nash-Gleichgewicht in einem

Spiel in extensiver Form ist teilspielperfekt, falls es …

Answer 14

… in jedem Teilspiel dieses Spiels ein Nash-Gleichgewicht induziert.
• Jedes teilspielperfektes Gleichgewicht ist ein Nash-GG, aber nicht jedes Nash-GG ist teilspielperfekt

Question 15

Gleichgewicht im extensiven Spiel:

Answer 15

Sammlung von Strategien (vollständigen Verhaltensplänen)

Question 16

Ergebnis im extensiven Spiel:

Answer 16

Beschreibung, was passiert, wenn sich die Spieler an

den GG-Strategien halten

Question 17

• Wenn das Basispiel G ein eindeutiges Nash-GG hat, so hat das endlich oft wiederholte Spiel G(T) …

Answer 17

… ein eindeutiges teilspielperfektes GG: das Nash-GG des Basisspiels wird auf jeder Stufe gespielt

Question 18

Wenn das Basisspiel G mehr als ein Nash-GG hat, so kann das …

Answer 18

…. endlich oft wiederholte Spiel ein TSP-GG besitzen, in dem auf einer Stufe t < T kein Nash-GG des Basisspiels gespielt wird

Question 19

Definition unendlich oft wiederholtes Spiel

Answer 19

• G ist ein Spiel in Normalform
• Dann bezeichnet G(∞, δ) das unendlich oft wiederholte
  Spiel G, bei dem das Spiel G andauernd gespielt wird, und alle Spieler den Diskontfaktor δ mit 0 < δ < 1 haben
  (Auszahlungen aus späteren Stufen werden mit dem Faktor δ per Stufe abdiskontiert).
  [ δ ist quasi das 1/(1+i) aus I&F]
• Seien π1, π2, … die Auszahlungen auf jeder Stufe. Die
  Auszahlung für das Gesamtspiel für jeden Spieler ist der
  Gegenwartswert des Auszahlungsstroms π1, π2, …

Question 20

Gegenwartswert der unendlichen Auszahlungen, wenn diese in jeder Stufe gleich sind

Answer 20

π/(1-δ)

Bzw. Allgemein: Summe {von t=1 bis ∞} (δ^(t-1)*πt

Question 21

Teilspiele in endlich oft wiederholten Spielen:

Ein Teilspiel im endlich oft wiederholten Spiel G(T), das in der Stufe t + 1 beginnt, ist das…

Answer 21

…T − t-mal wiederholte Spiel G.
Das Teilspiel wird mit G(T − t) bezeichnet.
Es gibt viele Teilspiele, die in der Stufe t + 1 beginnen, ein für jede mögliche “Historie” des Spiels bis zur Stufe t

Question 22

Teilspiele in unendlich oft wiederholten Spielen:

Ein Teilspiel im unendlich oft wiederholten Spiel G(∞, δ), das in der Stufe t + 1 beginnt, ist ….

Answer 22

… identisch mit dem Originalspiel G(∞, δ).
Es gibt so viele Teilspiele, die in der Stufe t + 1 beginnen, wie es verschiedene mögliche “Historien” des Spiels bis zur Stufe t gibt

Question 23

Eine Strategie im unendlich oft wiederholten Spiel G(∞, δ) spezifiziert…

Answer 23

… eine Aktion für den Spieler in jeder Stufe und für

jede mögliche Historie des Spiels bis zur vorhergehenden Stufe

Question 24

Trigger Strategie

Answer 24

1. Das Spiel beginnt mit gegenseitiger Kooperation.
2. Es wird solange kooperiert, bis mindestens einer der Spieler defektiert.
3. Daraus folgt als Bestrafung Defektion in den nachfolgenden Runden.

Question 25

grim Trigger

Answer 25

Bestrafung bis zum Ende des Spiels

Question 26

Tit for Tat

Answer 26

(Wie du mir, so ich dir)

Bestrafung nur in der nächsten Runde

Question 27

Für einen gegebenen Diskontfaktor δ ist die
Durchschnittsauszahlung des unendlichen
Auszahlungsstroms π1, π2, π3, …

Answer 27

(1 − δ)Summe{von t=1 bis ∞} (δ^(t−1)πt)

Question 28

Durchnittsauszahlung und Gegenwartswert

Answer 28

Die Durchschnittsauszahlung ist lediglich eine Reskalierung des Gegenwartswerts: Die Maximierung der Durchschnittsauszahlung ist äquivalent zur Maximierung des Gegenwartswerts
• Vorteil der Durchschnittsauszahlung im Vergleich zum
Gegenwartswert: die Durchschnittsauszahlung ist direkt mit den Auszahlungen aus dem Basisspiel vergleichbar

Question 29

Folk-Theorem (Friedman, 1971)

Answer 29

Sei G ein endliches, statisches Spiel mit vollständiger Information. Seien (e1, . . . , en) die Auszahlungen eines Nash-Gleichgewichts von G. Seien (x1, . . . , xn) beliebige realisierbare Auszahlungen in G. Falls xi > ei für alle i = 1, …, n und falls δ hinreichend nahe bei 1 ist, so gibt es ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht des unendlich oft wiederholten Spiels von G, in dem (x1, . . . , xn) als Durchschnittsauszahlungen erreicht werden

Question 30

Ein unendlich oft wiederholtes Spiel verfügt über

Answer 30

… eine unendliche Vielfalt von teilspielperfekten Gleichgewichten mit extrem unterschiedlichen Spielergebnissen
⇒ Das Folk-Theorem hat einen geringen Vorhersagewert
• “Fast alle” Auszahlungen können als teilspielperfektes Ergebniserreicht werden, wenn die Spieler ausreichend geduldig sind