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Question 1

Wahrscheinlichkeitsverteilung P_X̅ von X̅

Answer 1

Ausgangssituation: X_i~N(μ,σ²) (iid) für i=1, 2, … ,n

In diesem Falle ist für μ eine erwartungstreue, effiziente und konsistente Schätzfunktion:

Man kann zeigen, dass unter der Voraussetzung, dass alle X_i unabhängig und normalverteilt sind, auch X̅ normalverteilt ist (Beweis sehr schwierig).

Den Erwartungswert und die Varianz von X̅ haben wir bereits in der letzten Vorlesung bestimmt:

E(X̅)=μ

Var(X̅)=σ²/n

Daraus ergibt sich: X̅_~N(μ/(σ²/n))

Question 2

z-Standardisierung von Schätzfunktionen

Answer 2

Schätzfuntionen können wie jede Zufallsvariable z-standardisiert werden:

Question 3

z-Standardisierung der Schätzfunktion X̅ für μ

Answer 3

Im konkreten Fall der Schätzfunktion X̅ für μ ergibt sich wegen E(X̅)=μ und SE(X̅)=σ2/n:

Da X̅ normalverteilt ist, und letzterer Ausdruck die z-Standardisierung von X̅ ist → Z ist standardnormalverteilt Z~(0,1)