1 Flashcards
Ziel der Intervallschätzung
Auf Basis der Realisationen x1 x2, …, xn aus unserer einfachen Zufallsstichprobe ein Intervall I (x1, x2, … xn) bestimmen, dass die auf der Basis der Stichprobe plausiblen Werte für den Parameter θ enthält.
Die Länge dieses Intervalls sollte hierbei die Genauigkeit unserer Schätzung wiederspiegeln:
Kleines Intervall – wenige Werte sind plausibel – hohe Genauigkeit
Großes Intervall – viele Werte sind plausibel - geringe Genauigkeit
Zufallsvariablen U und O → zufälliges und konkretes Intervall
Wir können zwei Zufallsvariablen U und O definieren, die jedem möglichen Ergebnis des Zufallsexperiments (Ziehung einer einer einfachen Stichprobe) – also jeder möglichen Stichprobe – jeweils die aus ihr berechnete Untergrenze U und Obergrenze O des Intervalls zuordnen.
Hierdurch erhalten wir ein zufälliges Intervall I(X1, X2, …, Xn)=[U,O], dessen Grenzen die Zufallsvariablen U und O sind.
In der Stichprobe berechnen wir ein konkretes Intervall I(x1, x2, …, xn), dessen Grenzen die Realisationen u und o der Zufallsvariablen U und O sind.
Vorgehen Intervallschätzung
Im Rahmen der Intervallschätzung
- berechnen wir auf Basis der Realisationen x1, x2, …, xn in unserer Stichprobe eine Untergrenze u und eine Obergrenze o eines Intervalls [u,o].
- resultiert bei wiederholter Ziehung der einfachen Zufallsstichprobe jedes Mal eine andere Untergrenze u und eine andere Obergrenze o und daher ein anderes Intervall [u,o].
- betrachten wir die Zufallsvariablen U und O, deren Realisationen u und o sind.
- formulieren wir mithilfe der Eigenschaften der Zufallsvariablen U und O Gütekriterien, um beurteilen zu können, ob ein bestimmtes Intervall geeignet ist.
Gütekriterien für Intervalle
- Konfidenzniveau
- Minimale erwartete Länge
Konfidenzintervall
Dann bezeichnet man das zufällige Intervall I(X1, X2, … Xn) als Konfidenzintervall (kurz: KI) für θ zum Konfidenzniveau 1 − α, falls
P(θ ∈ I(X1, X2, … Xn)) = P(U≤θ≤O) = 1 − α
In Worten: Die Wahrscheinlichkeit, dass das zufällige Intervall I(X1, X2, … Xn) mit seinen zufälligen Grenzen U und O den wahren Wert des Parameters θ enthält, ist gleich 1 − α.
Die Realisation I(x1, x2, … , xn) = [u, o] eines Konfidenzintervalls I(X1, X2, … Xn) = [U, O] ist ein konkretes Konfidenzintervall.
Bedeutung/Interpretation der Eigenschaft P(U≤θ≤O)=1−α eines Konfidenzintervalls
(frequentistische Interpretation von Wahrscheinlichkeit) Falls wir unendlich oft eine einfache Zufallsstichprobe ziehen und in jeder dieser Stichproben das konkrete Konfidenzintervall berechnen, enthalten
100*(1−α) Prozent dieser konkreten Konfidenzintervalle den wahren Parameterwert θ.
Offensichtlich sollte das Konfidenzniveau 1−α also hoch sein.
Ob das einzelne in unserer Stichprobe berechnete Konfidenzintervall den wahren Wert enthält, wissen wir nicht.
Minimale Erwartete Länge
(Grund für Formulierung eines weiteren Gütekriteriums außer dem Konfidenzniveau: Das triviale Intervall [−∞, ∞] hat stets ein Konfidenzniveau von 100%.)
Die erwartete Länge eines Konfidenzintervalls I(X1, X2, … , Xn)=[U,O] ist
E(O−U) = E(O)−E(U).
Ein Konfidenzintervall mit Konfidenzniveau 1 − α hat eine minimale erwartete Länge, falls es unter allen Konfidenzintervallen mit Konfidenzniveau 1 − α die kleinste erwartete Länge aufweist.
