空间平面方程和直线方程

Question 1

点法式方程的标准形式是什么？

Answer 1

A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0

此方程形式用于确定平面

Question 2

给定点 (1, -2, 3) 和法向量 (2, -1, 4)，平面方程是什么？

Answer 2

2(x - 1) - (y + 2) + 4(z - 3) = 0 implies 2x - y + 4z - 16 = 0

这是一个具体示例

Question 3

平面的一般式方程的形式是什么？

Answer 3

Ax + By + Cz + D = 0

其中 (A, B, C) 为法向量，且 A, B, C 不同时为零

Question 4

什么是平行于 yz 平面的平面方程？

Answer 4

x = k

这里 k 为常数

Question 5

三点式方程的步骤是什么？

Answer 5

1. 取不共线的三点 P_1, P_2, P_3
2. 构造向量 P_1P_2 和 P_1P_3
3. 计算法向量 n = P_1P_2 × P_1P_3
4. 代入点法式方程

适用于已知三点的情况

Question 6

通过三点 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) 确定的平面方程是什么？

Answer 6

x + y + z = 1

这是三点式方程的具体示例

Question 7

直线的参数式方程的条件是什么？

Answer 7

已知直线上一点 P(x_0, y_0, z_0) 及方向向量 v = (a, b, c)

参数式方程用于描述直线的形式

Question 8

直线的参数式方程的标准形式是什么？

Answer 8

x = x_0 + at, y = y_0 + bt, z = z_0 + ct

这里 t ∈ R

Question 9

给定点 (2, -1, 3) 和方向向量 (4, 2, -5)，直线的方程是什么？

Answer 9

x = 2 + 4t, y = -1 + 2t, z = 3 - 5t

这是一个具体示例

Question 10

直线的对称式方程的形式是什么？

Answer 10

\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}

用于描述直线的另一种形式

Question 11

如何求两平面交线的一般式方程？

Answer 11

1. 联立两平面方程
2. 求方向向量 v = n_1 × n_2
3. 找直线上一点，即设z=0,求解其他两个坐标

这里 n_1 和 n_2 为两平面法向量
从线性代数的角度看，非其次线性方程组的解系是齐次的通解+特解，即齐次部分为方向向量，特解为起始点，由此才有了空间直线

Question 12

给定平面方程 x + 2y - z = 4 和 3x - y + z = 2，求方向向量。

Answer 12

v = (1, -4, -7)

这是计算方向向量的具体示例

Question 13

判断直线 x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t 是否与平面 x + y + z = 6 相交的步骤是什么？

Answer 13

将直线方程代入平面方程，得 t = 0

交点为 (1, 2, 3)，故相交

Question 14

平面与直线的方程类型及核心条件是什么？

Answer 14

平面：点与法向量；直线：点与方向向量

这总结了两种方程的基本形式

Question 15

平面的一般式方程中，法向量的条件是什么？

Answer 15

A, B, C 不同时为零

确保方程有效