空间几何

Question 1

向量的加减法公式是什么？

Answer 1

设向量 (\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z))，(\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z))，则：(\mathbf{a} \pm \mathbf{b} = (a_x \pm b_x, a_y \pm b_y, a_z \pm b_z))

几何意义：平行四边形法则或三角形法则

Question 2

标量乘法（数乘）的定义是什么？

Answer 2

设标量 (k \in \mathbb{R})，则：(k\mathbf{a} = (k a_x, k a_y, k a_z))

几何意义：缩放向量长度，若 (k < 0) 则反向

Question 3

数量积的定义是什么？

Answer 3

(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta)

其中 (\theta) 为两向量夹角

Question 4

数量积（点积）的性质有哪些？

Answer 4

• 交换律：(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a})
• 分配律：(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c})
• 正交条件：(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \iff \mathbf{a} \perp \mathbf{b})

Question 5

如何计算向量的模长？

Answer 5

(|\mathbf{a}| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}})

也可用于求夹角：(\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|})

Question 6

向量积（叉积）的定义是什么？

Answer 6

(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ a_x & a_y & a_z \ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = \left( a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x \right))

几何意义：模长为平行四边形的面积，方向垂直于 (\mathbf{a}) 和 (\mathbf{b}) 所在平面

Question 7

向量积（叉积）的性质有哪些？

Answer 7

• 反交换律：
• 平行条件：(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0} \iff \mathbf{a} \parallel \mathbf{b})
• 分配律：(\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c})

Question 8

混合积的定义是什么？

Answer 8

(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \ b_x & b_y & b_z \ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix})

几何意义：绝对值等于以 (\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) 为棱的平行六面体体积

Question 9

混合积的性质有哪些？

Answer 9

• 轮换对称性：(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) = \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}))
• 共面条件：(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = 0 \iff \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) 共面 即平行六面体体积为0，在同一平面上

Question 10

判断向量垂直的条件是什么？

Answer 10

(\mathbf{a} \perp \mathbf{b} \iff \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0)

若点积为零，则向量垂直

Question 11

判断向量平行的条件是什么？

Answer 11

(\mathbf{a} \parallel \mathbf{b} \iff \exists k \in \mathbb{R}, \ \mathbf{a} = k\mathbf{b} \quad \text{或} \quad \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0})

若叉积为零或分量成比例，则向量平行

Question 12

如何判断向量的正交与共面关系？

Answer 12

• 点积为零则垂直
• 叉积为零或分量成比例则平行
• 混合积为0则共面