ریاضی

Question 1

حله مسئله

Answer 1

حل مسئله فرآیندی است که طی آن یک فرد یا گروهی از افراد سعی می‌کنند راه‌حل‌هایی برای مشکلات یا چالش‌های مختلف بیابند و اجرا کنند. این فرآیند شامل چندین مرحله است که به صورت سیستماتیک دنبال می‌شوند تا از شناسایی دقیق مشکل تا
.اجرای موفقیت‌آمیز راه‌حل، همه‌چیز به خوبی پیش رود

Question 2

راهبرد الگو یابی

Answer 2

یا یک نظم بر اساس شکل ها (هندسی) پیدا میکنیم یا یک نظم بر
.اساس عددها و با آن خواسته ی مسئله را بدست می آوریم

Question 3

مراحل حل مسئله

Answer 3

مرحلۀ اول؛ فهمیدن مسئله
مرحلۀ دوم؛ انتخاب راهبرد مناسب
مرحلۀ سوم؛ حل کردن مسئله
مرحلۀ چهارم؛ بازگشت به عقب

Question 4

مرحلۀ اول؛ فهمیدن مسئله

Answer 4

برای درک مسئله باید آن را خوب بخوانید و درک کنید. کارهای زیر میتواند به شما در
:درک بهتر مسئله کمک کند
.مسئله را به زبان و کلمات خود بیان کنید
.خواستههای مسئله را معلوم کنید
.مسئله را خلاصه کنید
.شرطهای خاص مسئله را جدا کنید
.دادهها و اطلاعات مسئله را مشخص کنید
.مسئله را به صورت یک نمایش ساده اجرا کنید

Question 5

مرحلۀ دوم؛ انتخاب راهبرد مناسب

Answer 5

دانستن نام و کاربرد هر راهبرد به شما کمک میکند تا آن را
.مرور کنید و بدانید برای حل کدام مسئله، ممکن است مفید باشد
۱)راهبرد رسم شکل
۲)راهبرد الگو سازی
۳)راهبرد حذف حالت های نا مطلوب
۴)راهبرد الگو یابی
۵)راهبرد حدس و ازمایش
۶)راهبرد زیر مسئله
۷)راهبرد حل مسئله ساده تر
۸).راهبرد روش های نمادین

Question 6

مرحلۀ سوم؛ حل کردن مسئله

Answer 6

.با راهبردی که انتخاب کرده اید، مسئله را حل کنید
،اگر تشخیص دادید که مسئله با آن راهبرد به نتیجه نمیرسد
به مرحله ٔ دوم برگردید و راهبرد خود را تغییر دهید. گاهی
.اوقات لازم است به مرحله اول برگردید
شاید نکته ای در مسئله وجود داشته باشد که شما هنوز به آن
.توجه نکرده باشید

Question 7

مرحلۀ چهارم؛ بازگشت به عقب

Answer 7

بازگشت به عقب یک روش حل مسئله است که از طریق جستجوی همه‌جانبه و سیستماتیک در فضای حالت، راه‌حل‌ها را پیدا می‌کند. این روش با امتحان کردن تمام مسیرهای ممکن، و کنار گذاشتن مسیرهایی که به بن‌بست می‌رسند، به
.راه‌حل می‌رسد
بازگشت به عقب یک الگوریتم جستجو و حل مسئله است که با انتخاب و امتحان گزینه‌های مختلف در هر مرحله، و بازگشت به مرحله قبل در صورت بن‌بست، راه‌حل‌های ممکن را جستجو
.می‌کند

Question 8

مراحل مرحله ی بازگشت به عقب

Answer 8

.شروع از حالت اولیه: از یک نقطه شروع مشخص آغاز کنید
انتخاب و امتحان گزینه‌ها: در هر مرحله یکی از گزینه‌های
.ممکن را انتخاب و امتحان کنید
بررسی شرایط موفقیت: اگر به راه‌حل رسیدید، الگوریتم متوقف
.می‌شود
کنترل شرایط و بازگشت: اگر گزینه انتخابی به بن‌بست رسید، به
.مرحله قبل بازگردید و گزینه بعدی را امتحان کنید
ادامه جستجو: این مراحل را تا یافتن راه‌حل یا اتمام همه گزینه‌ها
.ادامه دهید

Question 9

مزایا و معایب مرحلۀ ی بازگشت به عقب

Answer 9

مزایا:

.جامعیت: تمامی مسیرهای ممکن را بررسی می‌کند
انعطاف‌پذیری: در مسائل مختلف از جمله معماها و مسائل
.بهینه‌سازی قابل استفاده است
معایب:

.هزینه زمانی: ممکن است زمان زیادی ببرد
.پیچیدگی: به حافظه و زمان زیادی نیاز دارد

Question 10

یک مثال از مرحلۀ ی بازگشت به عقب

Answer 10

یکی از مثال‌های مشهور برای بازگشت به عقب، حل مسئله هشت وزیر است. در این مسئله، باید هشت وزیر را بر روی یک صفحه شطرنج 8×8 قرار دهید به طوری که هیچ‌کدام از وزیرها
.نتوانند یکدیگر را بزنند

:مراحل حل مسئله هشت وزیر با استفاده از بازگشت به عقب

                 .شروع با قرار دادن اولین وزیر در اولین ستون
 قرار دادن وزیر دوم در ستونی که با وزیر اول تداخل نداشته 
                                                               .باشد
                    .ادامه دادن این روند تا رسیدن به وزیر هشتم اگر در هر مرحله‌ای نتوانید وزیری را قرار دهید که شرایط مسئله را رعایت کند، بازگشت به عقب انجام دهید و موقعیت 
                                            .وزیر قبلی را تغییر دهید این فرآیند تا زمانی ادامه می‌یابد که یا تمامی وزیرها به درستی قرار گیرند یا تمامی مسیرها بررسی شوند و به این نتیجه برسیم   .که راه‌حلی وجود ندارد

بازگشت به عقب یک روش قوی و موثر برای حل مسائل پیچیده است که نیاز به جستجوی کامل در فضای حالت دارند و می‌تواند به خوبی در ترکیب با دیگر روش‌های حل مسئله مورد استفاده
.قرار گیرد

Question 11

راهبرد (رسم شکل) در حل مسئله

Answer 11

کشیدن یک شکل مناسب میتواند به حل مسئله کمک کند یا بهطور کامل آن را حل کند؛ بهطوریکه نیازی به
نوشتن عملیات و محاسبه نباشد. گاهی ممکن است شکل را فقط
،تصور کنید و آن را رسم نکنید. منظور از رسم شکل
.نقاشی نیست؛ بلکه میتوانید برای این کار شکلهای ساده بکشید

Question 12

راهبرد (الگوسازی) در ریاضی

Answer 12

برای حل بعضی از مسئله ها باید همه حالتهای ممکن را بنویسید. برای اینکه هیچ حالتی از قلم نیفتد، لازم است آنها را با نظم، الگو و ترتیبی مشخص بنویسید. الگوسازی به شما کمک میکند تا
. مطمئن شوید همه حالتها را نوشته اید
بنابراین در مسئلههایی که لازم است همه جوابها و پاسخهای ممکن را بنویسید، میتوانید از این راهبرد استفاده کنید. با
توجه به نظم و ترتیبی که میسازید، به این راهبرد، تفکر نظامدار
.نیز میگویند

Question 13

راهبرد (حذف حالت های نامطلوب) در ریاضی

Answer 13

به شرایط و اطلاعات مسئله توجه کنید و حالتهای نامطلوب و نادرست را کنار بگذارید؛ آنگاه پاسخ مسئله یا
همان حالتهای مطلوب به دست میآیند. برای پیداکردن تمام حالتهای ممکن میتوانید از راهبرد الگوسازی استفاده
کنید. ابتدا فهرستی از تمام حالت ها به دست آورید؛ سپس با توجه به شرایط گفته شده در مسئله، حالت های نامطلوب را
.حذف کنید

Question 14

راهبرد (الگویابی) در ریاضی

Answer 14

در ریاضی با دو نوع الگوی عددی یا هندسی روبه رو می شویم. کشف الگو، رابطه و نظم موجود بین دنباله های عددی یا هندسی کمک میکند تا بتوانید خواسته مسئله را به دست آورید.این راهبرد در مسئله هایی کاربرد دارد که بین شکل ها رابطه
.خاصی وجود داشته باشد

Question 15

راهبرد (حدس و آزمایش) در ریاضی

Answer 15

ممکن است یک مسئله، راه حل مستقیمی نداشته باشد یا راه رسیدن به جواب آن طولانی و دشوار باشد. شما
میتوانید با یک روش منطقی و منظم، پاسخ احتمالی مسئله را
حدس بزنید؛ سپس با توجه به شرایط گفته شده در مسئله، حدس خود را بررسی کنید و با توجه به نتیجه به دست آمده حدس بعدی
.را بزنید تا کم کم به پاسخ مسئله نزدیک شوید
برای نشان دادن حدس ها و آزمایش های خود راه حل مناسبی
.پیدا کنید

Question 16

راهبرد (زیرمسئله) در ریاضی

Answer 16

.مسئلهٔ پیچیده و چند مرحله ای را به چند مسئلهٔ ساده تبدیل کنید
از این زیرمسئله ها فهرستی درست کنید؛ سپس
به ترتیب به آنها پاسخ دهید. اگر ترتیب زیرمسئله ها را درست تشخیص داده باشید، حل هر زیرمسئله به حل مسئله بعدی کمک
.میکند تا در نهایت به خواسته اصلی مسئله برسید

Question 17

راهبرد (حل مسئلۀ ساده تر) در ریاضی

Answer 17

برای حل بعضی از مسئله ها،ابتدا مسئله ای ساده تر را که با مسئله اصلی در ارتباط است، حل می کنیم. سپس با استفاده از
ٔنتیجه و پاسخ مسئلهٔ ساده شده، جواب مسئله
اصلی را به دست می آوریم. برای ساده کردن مسئله میتوان از عددهای تقریبی یا عددهای کوچک تر استفاده کرد. برای نتیجه گیری و پیدا کردن پاسخ مسئله اصلی، از راهبرد الگویابی استفاده میکنیم و الگوی کشف شده در مسئله ساده را به مسئله
.اصلی مرتبط می کنیم

Question 18

راهبرد (روش های نمادین) در ریاضی

Answer 18

بسیاری از مسئله ها را میتوانیم به کمک نمادهای جبری به یک معادله تبدیل کنیم.از فصل سوم به بعد می توانید
از این راهبرد نیز برای حل مسئله استفاده کنید. در بعضی از
.مسئله ها هم می توانیم از مدل سازی هندسی استفاده کنیم
تبدیل مسئله به یک شکل هندسی و حل هندسی آن نیز نوعی
.روش نمادین یا مدلسازی به شمار میرود

Question 19

مرور راهبردها در ریاضی

Answer 19

در حل این مسئله ها از راهبردهایی که آموخته اید، استفاده کنید. ممکن است در حل مسئله ای راه جدیدی به ذهن
.شما برسد که با راهبردهای آموزش داده شده متفاوت باشد
ممکن است یک مسئله با چند راهبرد حل شود یا چند نفر از یک راهبرد استفاده کنند؛ ولی شیوهٔ به کاربردن آن ها متفاوت باشد. برای مثال چند نفر یک مسئله را با راهبرد رسم شکل حل میکنند؛ اما ممکن است نحوه شکل کشیدن آنها متفاوت باشد. در یک کلاس ریاضی خوب و فعال، تنوع راهبرد و راه حل وجود
.دارد

Question 20

انواع اعداد

Answer 20

۱) مختلط (C)
1.1)موهومی
۲)حقیقی (R)
2.1)گنگ
2.1.1)اعداد گنگ جبری
2.1.2)ترافرازنده
3) گویا (Q)
3.1)کسری
3.1.1)متناوب
4) صحیح (Z)
4.1)اعداد صحیح منفی
5) حسابی
5.1) صفر:0
6) طبیعی (N)
6.1) یک: 1
6.2) اعداد اول
6.3) اعداد مرکب

Question 21

(N) اعداد طبیعی

Answer 21

N={1,2,3,4,5,……}

Question 22

(w) اعداد حسابی

Answer 22

w={0,1,3,4,5,….}

Question 23

(Z) اعداد صحیح

Answer 23

Z={ …., -3 , -2 , -1 , 0 , +1 , +2 , +3 ,… }

Question 24

گسترده عدد صحیح

Answer 24

یعنی براساس جایگاه ارقام نوشته شود. مثال:
395 = 300+90+5 = 3100+910+5*1

Question 25

(Q) اعداد گویا

Answer 25

Q={ .... , -1/2 , -1/1 , -1 , 0 , +1 , 1/1 , 1/2 , .... } Q={ ... , -0/2 , -0/1 , 0 , +0/1 , +0/2 , ... }

Question 26

(موارد استفاده از از عددهای صحیح (علامت دار

Answer 26

از عددهای صحیح (عالمت دار) میتوان برای بیان وضعیت سرما و گرمای هوا، همچنین .عمق و ارتفاع نسبت به سطح زمین یا سطح دریا استفاده کرد

Question 27

.پشت پرانتز همیشه ..... است

Answer 27

ضرب

Question 28

برای بدست اوردن حاصل عبارت داخل پرانتز از کجا شروع میکنیم؟

Answer 28

۱-درونی ترین پرانتز ۲- توان ۳- ضرب و تقسیم ۴-جمع و تفریق

Question 29

در جمع و تفریق اعداد گویا اگر هم علامت باشند عملیات ...... و در صورت هم علامت نبودن عملیات ..... انجام میگیرد و علامت حاصل علامت عدد...... است

Answer 29

۱- جمع ۲-تفریق ۳-بزرگ تر

Question 30

حال ضرب یا تقسیم اعداد گویا اگر هم علامت باشند .است و اگر هم علامت نباشند .............. است............

Answer 30

مثبت- منفی-

Question 31

نقطه (Point)

Answer 31

در هندسه، نقطه به عنوان یکی از ابتدایی‌ترین و اصلی‌ترین واحدهای هندسی شناخته می‌شود. نقطه هیچ بُعدی (طول، عرض، یا ارتفاع) ندارد و فقط یک مکان را در فضا نشان می‌دهد. به عبارت دیگر، نقطه مشخص‌کننده یک مکان خاص در صفحه یا فضا .است که اندازه و شکلی ندارد

Question 32

نقطه (Point) ویژگی های

Answer 32

.بدون ابعاد: نقطه هیچ طول، عرض، یا ارتفاعی ندارد .مکان خاص: هر نقطه مکان خاصی را در فضا یا صفحه نشان می‌دهد نام‌گذاری: نقاط معمولاً با حروف بزرگ الفبای انگلیسی مانند A,B,Cو..... .نام‌گذاری می‌شوند

Question 33

نقطه (Point) کاربردهای

Answer 33

پایه‌های هندسی (Geometric Foundations) . نقاط به عنوان پایه و اساس بسیاری از مفاهیم هندسی عمل می‌کنند **************** تعریف اشکال (Defining Shapes) نقاط برای تعریف اشکال هندسی استفاده می‌شوند. به عنوان مثال، مثلث با سه نقطه، مربع با چهار نقطه و دایره با مجموعه‌ای از نقاطی که فاصله‌ای ثابت از یک .نقطه مرکزی دارند، تعریف می‌شوند ********************** نقطه تقاطع (Intersection Point) .نقاط می‌توانند محل تقاطع خطوط، پاره‌خط‌ها و سایر اشکال هندسی باشند

Question 34

خط مستقیم (Straight Line)

Answer 34

یک مسیر مستقیم و بی‌نهایت طولانی است که هیچ ابتدا و .انتهایی ندارد نامحدود بودن: از هر دو طرف تا بی‌نهایت ادامه دارد و هیچ .ابتدا و انتهایی ندارد .راست بودن: کاملاً مستقیم است و هیچ انحنایی ندارد تعریف با دو نقطه: هر خط مستقیم را می‌توان با دو نقطه متمایز روی آن تعریف کرد. مثلاً خط 𝐴𝐵 𝐴 خطی است که از نقطه 𝐵 و نقطه .عبور می‌کند نمودار: برای نمایش معمولاً یک خط راست کشیده می‌شود و دو فلش در دو انتهای آن قرار می‌گیرد تا بی‌نهایت بودن آن را .نشان دهد نمادگذاری: خط AB به صورت ↔ AB .نشان داده می‌شود محورهای مختصات در ریاضی که به صورت نامحدود در دو .جهت امتداد دارند، نمونه‌ای از خط هستند

Question 35

نیم‌خط (Ray)

Answer 35

نیم‌خط از یک نقطه شروع می‌شود و در یک جهت به بی‌نهایت ادامه می‌یابد. به عبارت دیگر، نیم‌خط یک نقطه شروع دارد ولی .انتها ندارد .یک نقطه شروع (مبدأ) دارد .در یک جهت به بی‌نهایت ادامه دارد .از نقطه مبدأ به سوی بی‌نهایت می‌رود .راست بودن: نیم‌خط کاملاً مستقیم است نمودار: برای نمایش نیم‌خط، یک خط راست کشیده می‌شود که از یک نقطه شروع شده و در یک انتها فلش دارد تا بی‌نهایت بودن .آن را نشان دهد AB نمادگذاری: نیم‌خط به صورت → AB 𝐴 نشان داده می‌شود، که 𝐵 نقطه شروع و .نقطه‌ای است که جهت را نشان می‌دهد پرتوی نور از یک منبع نوری مانند چراغ قوه نمونه‌ای از نیم‌خط است، چرا که از منبع نور شروع می‌شود و در یک جهت به .سمت بی‌نهایت ادامه دارد

Question 36

پاره‌خط (Line Segment)

Answer 36

پاره‌خط قسمتی از یک خط است که بین دو نقطه معین قرار دارد .و شامل تمامی نقاط بین آن‌ها است .نقطه‌های انتهایی: پاره‌خط دو نقطه انتهایی مشخص دارد .طول مشخص و محدودی دارد .راست بودن: پاره‌خط کاملاً مستقیم است نمودار: برای نمایش پاره‌خط، یک خط راست کشیده می‌شود که .دو انتهای آن با نقاطی مشخص شده‌اند AB نمادگذاری: پاره‌خط به صورت ـــــ AB نشان داده می‌شود، که 𝐴 و 𝐵 .نقاط انتهایی آن هستند لبه‌های میز یا قطعات چوبی که طول معینی دارند، نمونه‌هایی از .پاره‌خط هستند

Question 37

(تفاوت ها و شباهت های (خط مستقیم/نیم خط/پاره خط

Answer 37

:شباهت‌ها هر سه مفهوم (خط، نیم‌خط، و پاره‌خط) راست و بدون انحنا .هستند .هر سه می‌توانند توسط نقاط روی آن‌ها تعریف شوند ************** :تفاوت‌ها .خط بی‌نهایت طولانی است و هیچ ابتدا و انتهایی ندارد .نیم‌خط یک نقطه شروع دارد ولی انتها ندارد .پاره‌خط دو نقطه انتهایی معین دارد و طول مشخصی دارد

Question 38

هرگاه چند نقطه‏ی متمایز(جدا از هم)،بر روی یک خط راست باشند تعداد نیم خط ها ازچه فرمولی به دست می آید

Answer 38

تعداد نیم خط ها =تعداد نقطه*۲

Question 39

هرگاه چند نقطه‏ی متمایز(جدا از هم)،بر روی یک خط راست باشند تعداد پاره خط ها ازچه فرمولی به دست می آید

Answer 39

۲ ÷ (تعداد فاصله ها × تعداد نقطه ها ) = تعداد پاره خط ها توجه : تعداد فاصله‏ها همیشه یکی کم‏تر از تعداد نقطه‏ها است.

Question 40

انواع خط به همراه تعریف مختصر

Answer 40

1. خط مستقیم (Straight Line) .بی‌نهایت طولانی و کاملاً مستقیم 2. نیم‌خط (Ray) .یک نقطه شروع دارد و به بی‌نهایت در یک جهت ادامه دارد 3. پاره‌خط (Line Segment) .دارای دو نقطه انتهایی مشخص و طول معین 4. خط موازی (Parallel Lines) .هیچ نقطه تقاطعی ندارند و فاصله ثابت بین آن‌ها حفظ می‌شود 5. خط متقاطع (Intersecting Lines) .دارای یک نقطه تقاطع هستند 6. خط عمود (Perpendicular Lines) .زاویه‌ای قائم (90 درجه) بین آن‌ها وجود دارد 7. خط منحنی (Curved Line) .دارای انحنا و ممکن است به صورت بسته یا باز باشد 8. خطوط مورب (Oblique Lines) .زاویه‌ای بین 0 تا 90 درجه با هم تشکیل می‌دهند 9. خطوط متشابه (Skew Lines) .در سه بعدی فضا تعریف می‌شوند و هیچ نقطه تقاطعی ندارند 10. خطوط مماس (Tangent Lines) در یک نقطه خاص با منحنی تماس دارد و زاویه‌ای با منحنی .تشکیل نمی‌دهد 11. خطوط عادی (Normal Lines) زاویه 90 درجه با خط مماس در نقطه تماس منحنی تشکیل .می‌دهد

Question 41

برای نامگذاری نقطه از .......... و برای نام گذاری خط ، از حروف ......... در دوسر آن استفاده میکنیم.

Answer 41

حروف بزرگ انگلیسی کوچک انگلیسی

Question 42

از دو نقطه فقط ....... میگذرد

Answer 42

یک خط راست یا بی نهایت خط

Question 43

قراردادی برای جهت های مثبت و منفی

Answer 43

1. محورهای مختصات در صفحه (2D Cartesian Coordinate System) محور x: .جهت مثبت: به سمت راست (مثبت x) .جهت منفی: به سمت چپ (منفی x) محور y: .جهت مثبت: به سمت بالا (مثبت y) .جهت منفی: به سمت پایین (منفی y) 2. محورهای مختصات در فضا (3D Cartesian Coordinate System) محور x: .جهت مثبت: به سمت راست (مثبت x) .جهت منفی: به سمت چپ (منفی x) محور y: .جهت مثبت: به سمت بالا (مثبت y) .جهت منفی: به سمت پایین (منفی y) محور z: جهت مثبت: به سمت بیرون از صفحه (یا به سمت بالا در سه .(مثبت z)(بعدی جهت منفی: به سمت داخل صفحه (یا به سمت پایین در سه بعدی) .(منفی z) 3. اعداد حقیقی بر روی خط اعداد .اعداد مثبت: به سمت راست از صفر .اعداد منفی: به سمت چپ از صفر 4. جهت‌های برداری بردارهای مثبت: بردارهایی که در جهت مثبت محورهای .مختصات حرکت می‌کنند بردارهای منفی: بردارهایی که در جهت منفی محورهای .مختصات حرکت می‌کنند 5. جهت‌های زاویه‌ای زاویه‌های مثبت: در جهت خلاف عقربه‌های ساعت (Counterclockwise). .زاویه‌های منفی: در جهت عقربه‌های ساعت (Clockwise) 6. سیستم مختصات قطبی r (فاصله از مبدأ): .مثبت: فاصله‌ای که از مبدأ در جهت مشخص حرکت می‌کند .منفی: کمتر معمول است و به مفهوم فاصله منفی ندارد θ (زاویه): مثبت: زاویه‌ای که در جهت خلاف عقربه‌های ساعت اندازه‌گیری .می‌شود منفی: زاویه‌ای که در جهت عقربه‌های ساعت اندازه‌گیری .می‌شود 7. سیستم‌های فیزیکی و مهندسی جریان الکتریکی: .جهت مثبت: جریان از قطب مثبت به قطب منفی (توافقی) شتاب و سرعت: .جهت مثبت: در جهت حرکت مورد نظر تعریف شده .جهت منفی: در خلاف جهت حرکت مورد نظر تعریف شده ********************************** این قراردادها به وضوح جهت‌ها و اندازه‌گیری‌ها کمک می‌کنند و توافقی بین دانشمندان و مهندسان ایجاد می‌کنند تا از تضادها و .اشتباهات جلوگیری شود

Question 44

قرینهٔ قرینه ی یک عدد صحیح

Answer 44

خود همان عدد است

Question 45

تبدیل مسائل زندگی روزمره به عبارت ها و معادله های ریاضی .را ......... میگویند

Answer 45

مدلسازی

Question 46

...........،در جبر .نمادهایی برای بیان عددهای نامعلوم یا مقادیر غیرمشخص اند

Answer 46

متغیرها

Question 47

نماد رایج مساحت و محیط

Answer 47

نماد رایج مساحت: (A) "Area".(S)"Surface". نماد رایج محیط: (P) "Perimeter" .

Question 48

فرمول محیط و مساحت اشکال هندسی زیر به همراه نماد هاشون ۱-مربع ۲-مستطیل ۳-مثلث ۴-دایره

Answer 48

۱-مربع P=4×a A=a^2 .طول ضلع مربع است 𝑎 که ۲-مستطیل P=2×(l+w) A=l×w .عرض مستطیل است 𝑤 طول و 𝑙 که ۳-مثلث P=a+b+c .طول اضلاع مثلث هستند ( 𝑎، 𝑏و 𝑐) که A= h*b*0.5 . ارتفاع مثلث است ℎ طول قاعده و 𝑏 که ۴-دایره P=2×π×r A=r^2×π .شعاع دایره است 𝑟 که

Question 49

عبارات جبری (Algebraic Expression)

Answer 49

عبارات جبری شامل ترکیبی از اعداد، متغیرها و عملگرهای ریاضی هستند که با استفاده از آن‌ها می‌توان معادلات و .نامعادلات مختلف را تشکیل داد عبارات جبری بخش اساسی و پایه‌ای ریاضیات هستند که در بسیاری از زمینه‌ها از جمله علوم، مهندسی، اقتصاد و دیگر حوزه‌ها کاربرد دارند. درک ویژگی‌ها و عملیات مختلف بر روی این عبارات، پایه‌های لازم برای حل معادلات و نامعادلات .پیچیده‌تر و تحلیل مسائل ریاضی پیچیده‌تر را فراهم می‌کند

Question 50

ساختار عبارات جبری (Structure of an Algebraic Expression)

Answer 50

شامل یک یا چند جمله است که توسط عملگرها به هم مرتبط .می‌شوند

Question 51

ویژگی‌های مهم عبارات جبری

Answer 51

1. متغیرها و ضرایب 2. درجه یک عبارت جبری 3. ثابت‌ها و جملات ثابت 4. عبارات چندجمله‌ای 5. عبارات تک‌جمله‌ای 6. عبارات کسری 7. عملگرهای جبری 8. خاصیت توزیعی 9. تجزیه و فاکتورگیری 10. معادله‌های جبری 11. نامعادله‌های جبری

Question 52

متغیر ها (Variable)

Answer 52

متغیرها نقش حیاتی در تحلیل‌ها و محاسبات ریاضی و علمی دارند. شناخت ویژگی‌های متغیرها، نحوه نامگذاری، نوع، نقش و .ابعاد آن‌ها به فهم بهتر و استفاده صحیح از آن‌ها کمک می‌کند

Question 53

نام گذاری متغیر ها

Answer 53

متغیرها معمولاً با حروف (لاتین یا یونانی) نشان داده می‌شوند، (𝜃,𝑧,𝑦,𝑥) مانند در برخی مواقع، نام متغیرها می‌تواند نشان‌دهنده نوع خاصی از داده باشد (مثلاً ( برای شعاع 𝑟 ،برای زمان 𝑡

Question 54

انواع متغیر ها با توضیح

Answer 54

متغیرهای گسسته: متغیرهایی که فقط می‌توانند مقادیر مشخص و .مجزا داشته باشند (مثل تعداد دانش‌آموزان در یک کلاس) متغیرهای پیوسته: متغیرهایی که می‌توانند هر مقداری در یک .بازه مشخص داشته باشند (مثل دما، قد)

Question 55

متغیر های مستقل

Answer 55

متغیرهای مستقل: متغیرهایی که مقدار آن‌ها تعیین می‌شود و بر در معادله (𝑥 سایر متغیرها تأثیر می‌گذارد (مثل 𝑦=𝑚𝑥+𝑏

Question 56

متغیرهای وابسته

Answer 56

. متغیرهایی که مقدار آن‌ها به متغیرهای دیگر بستگی دارد (در معادله 𝑦 مثل) y=mx+b

Question 57

متغیرهای ثابت

Answer 57

متغیرهایی که مقدارشان در طول مطالعه یا محاسبه تغییر نمی‌کند

Question 58

متغیرهای متغیر

Answer 58

متغیرهایی که مقدارشان می‌تواند تغییر کند

Question 59

(در محور مختصات) متغیرهای ........ ممکن است با خطوط پیوسته نمایش داده شوند، در حالی که متغیرهای ........ با نقاط مشخص نشان داده .می‌شوند

Answer 59

پیوسته گسسته ***************** متغیرها در نمودارها معمولاً روی محورها نشان داده می‌شوند (در نمودارهای دکارتی 𝑦 و 𝑥 مثل محور)

Question 60

بعد ها در متغیر ها

Answer 60

برخی متغیرها بدون بعد هستند (مثل ضریب‌های بی‌بعد)، در حالی که دیگران دارای ابعاد مشخصی هستند (مثل طول با بعد متر، زمان با بعد ثانیه)

Question 61

ضرایب (Coefficients) (عبارات جبری)

Answer 61

اعداد یا ثابت‌هایی که با متغیرها ضرب می‌شوند. به عنوان مثال، در عبارت 3x .است x عدد 3 ضریب

Question 62

درجه یک عبارت جبری (Degree of an Algebraic Expression)

Answer 62

.بالاترین توان متغیر در یک عبارت جبری

Question 63

ثابت‌ها و جملات ثابت (Constants and Constant Terms) (عبارات جبری)*

Answer 63

.ثابت‌ها : اعداد حقیقی که مقدار آن‌ها تغییر نمی‌کند جملات ثابت: جملاتی که شامل هیچ متغیری نیستند. به عنوان مثال، عدد 7 در عبارت 7 + 3𝑥

Question 64

عبارات چندجمله‌ای (Polynomial Expressions) (عبارات جبری)*

Answer 64

.عبارات جبری که شامل مجموع چندین جمله هستند مثال‌ها (Examples): 1+2x+3x ^2

Question 65

عبارات تک‌جمله‌ای (Monomial Expressions) (عبارات جبری)*

Answer 65

.عباراتی که فقط شامل یک جمله هستند مثال‌ها (Examples): 5x −3x^2

Question 66

عبارات کسری (Rational Expressions) (عبارات جبری)*

Answer 66

.عبارات جبری که شامل نسبت (کسر) چندجمله‌ای‌ها هستند مثال‌ها (Examples): x^2 −1 / x+1 ********* 3x+2 / x−4

Question 67

عملگرهای جبری (Algebraic Operators) (عبارات جبری)*

Answer 67

عملیات جمع و تفریق(Addition and Subtraction): مثال (Example): x+8=2x+3−x+5 ****** عملیات ضرب (Multiplication): .ضرب چند جمله‌ای‌ها با یکدیگر مثال (Example): 3−x+2x^2=(1−x)(3+2x) ********** عملیات تقسیم (Division): .تقسیم یک عبارت جبری بر یک عبارت دیگر مثال (Example): 2+x=2x^2+4x / 2x

Question 68

خاصیت توزیعی (Distributive Property) (عبارات جبری)

Answer 68

.توزیع ضرب بر جمع و تفریق مثال (Example): a(b+c)=ab+ac 2(x+3)=2x+6

Question 69

تجزیه و فاکتورگیری (Factoring and Factorization)

Answer 69

شکستن یک عبارت چندجمله‌ای به حاصل‌ ضرب چند عبارت .ساده‌تر مثال‌ها (Examples): 9−𝑥^2 عبارت را می‌توان به صورت (3+x)(3-x) .تجزیه کرد ****** 6+5x+x^2 عبارت را می‌توان به صورت (3+x)(2+x) .تجزیه کرد

Question 70

جملات متشابه (Like Terms)

Answer 70

در جبر به جملاتی گفته می‌شود که دارای متغیرها و توان‌های .یکسانی باشند، حتی اگر ضرایب آنها متفاوت باشند

Question 71

ویژگی‌های جملات متشابه (Characteristics of Like Terms)

Answer 71

متغیرهای یکسان (Same Variables): .جملات باید دارای متغیرهای یکسان باشند توان‌های یکسان (Same Exponents): .توان‌های متغیرها باید یکسان باشد ضرایب (Coefficients): .ضرایب می‌توانند متفاوت باشند

Question 72

کاربرد جملات متشابه (Applications of Like Terms)

Answer 72

جملات متشابه در جبر نقش مهمی در ساده‌سازی عبارات جبری و حل معادلات ایفا می‌کنند. تشخیص و ترکیب جملات متشابه به ما کمک می‌کند تا عبارات جبری پیچیده را به شکل ساده‌تری .بنویسیم و تحلیل کنیم

Question 73

معادله‌های جبری (Algebraic Equations)

Answer 73

.برابری بین دو عبارت جبری مثال‌ها (Examples): معادله خطی (Linear Equation): 0=3+2x ****** معادله درجه دوم (Quadratic Equation): 0=4-x^2

Question 74

نامعادله‌های جبری (Algebraic Inequalities)

Answer 74

.نابرابری بین دو عبارت جبری مثال‌ها (Examples): 0<3+2x ************* نامعادله درجه دوم (Quadratic Inequality): 4−2x^2 ≤ 0

Question 75

عبارت () یعنی عمل ضرب خاصیت دارد............... (ab=ba)

Answer 75

جابجایی

Question 76

معادله جبری (Algebraic Equation)

Answer 76

یک عبارت جبری است که با یک علامت تساوی به عبارت جبری دیگر یا یک مقدار خاص برابر شده است. معادلات برای یافتن مقدار (یا مقادیر) متغیرهایی که تساوی را برقرار می‌کنند، .استفاده می‌شوند ساختار: دو عبارت جبری یا یک عبارت جبری و یک مقدار .خاص که توسط علامت تساوی (=) به هم مرتبط شده‌اند

Question 77

به یک تساوی جبری که به ازای بعضی از عدد ها به یک تساوی عددی تبدیل .شود.......... می گویند

Answer 77

معادله

Question 78

انواع معادله ی جبری

Answer 78

1. معادلات خطی (درجه اول) 2. معادلات درجه دوم 3. معادلات درجه سوم 4. معادلات درجه چهارم 5. معادلات چندجمله‌ای 6. معادلات کسری (Rational Equations) 7. معادلات رادیکالی (Radical Equations) 8. معادلات نمایی (Exponential Equations) 9. معادلات لگاریتمی (Logarithmic Equations)

Question 79

تفاوت معادله جبری با عبارت جبری

Answer 79

ساختار: عبارت جبری: شامل اعداد، متغیرها و عملگرها است اما هیچ .علامت تساوی ندارد معادله جبری: شامل دو عبارت جبری یا یک عبارت جبری و .یک مقدار است که توسط علامت تساوی به هم مرتبط شده‌اند *********** هدف: عبارت جبری: بیان یک مقدار یا ترکیب جبری بدون نیاز به حل .کردن چیزی معادله جبری: برای یافتن مقادیر متغیرهایی که تساوی را برقرار .می‌کنند (حل معادله) ************ حل کردن: عبارت جبری: نیازی به حل کردن ندارد، فقط بیان یک ترکیب .جبری است معادله جبری: نیاز به حل کردن دارد تا مقادیر متغیرهایی که .تساوی را برقرار می‌کنند، پیدا شوند

Question 80

قوانین اولیه یا اصول اساسی برای حل معادلات ساده

Answer 80

قانون ترتیب عملیاتی (Order of Operations): در حل معادلات، باید عملیات را به ترتیب صحیح انجام دهید، که عبارتند از: حل پرانتزها محاسبه توان‌ها انجام عملیات ضرب و تقسیم انجام عملیات جمع و تفریق ******************* قانون تراز کردن (Equality Principle): رای حفظ تساوی در یک معادله، هر عملی که بر روی یک طرف معادله انجام می‌دهید، باید بر روی طرف دیگر معادله نیز انجام دهید. این عمل می‌تواند شامل جمع، تفریق، ضرب، یا تقسیم .باشد ************************* قانون معکوس (Inverse Principle): برای حل یک معادله، از عملیات معکوس برای حذف اعداد و متغیرها استفاده می‌کنیم. این عملیات معکوس می‌تواند شامل .معکوس جمع (تفریق)، معکوس ضرب (تقسیم)، و غیره باشد ******************* قانون تفکیک (Separation Principle): این قانون شامل جدا کردن متغیرها و ثابت‌ها به دو طرف مختلف .معادله است تا متغیر به تنهایی بماند ********************** قانون ساده‌سازی (Simplification Principle): برای حل یک معادله، می‌توانید با ساده کردن هر طرف معادله، حل آن را آسان‌تر کنید. این می‌تواند شامل ترکیب جملات متشابه، حذف پرانتزها، یا استفاده از خواص توزیعی (توزیع ضرب بر .جمع) باشد

Question 81

تشکیل یک معادله

Answer 81

تشکیل یک معادله به معنای تنظیم یک بیان ریاضی است که دو طرف آن با استفاده از علامت مساوی .برابر هستند معادلات برای مدل‌سازی موقعیت‌ها یا مسائل واقعی و حل آنها استفاده می‌شوند. معادله شامل متغیرها، ضرایب و ثابت‌ها است .که به گونه‌ای تنظیم شده‌اند که دو طرف معادله برابر باشند

Question 82

مراحل تشکیل یک معادله

Answer 82

:شناسایی متغیرها متغیرها نمایانگر مقادیر نامعلوم هستند که می‌خواهید پیدا کنید. به .معمولاً به عنوان متغیر استفاده می‌شوند 𝑦 و 𝑥 ،عنوان مثال *********** :درک مسئله یا موقعیت مشکل یا موقعیت را به دقت مطالعه کنید تا بفهمید چه اطلاعاتی داده شده و چه چیزی باید پیدا شود. این اطلاعات شامل مقادیر .عددی، روابط بین مقادیر و شرایط مسئله است ***************** :تنظیم روابط ریاضی روابط ریاضی بین مقادیر را مشخص کنید و از نمادهای ریاضی .(جمع، تفریق، ضرب، تقسیم) برای بیان این روابط استفاده کنید ********************** :تشکیل معادله روابط ریاضی را به شکل یک معادله تنظیم کنید که دو طرف آن .با استفاده از علامت مساوی برابر باشند

Question 83

بیان جبری الگوها (Algebraic Expression of Patterns)

Answer 83

بیان جبری الگوها به معنای استفاده از عبارات جبری برای توصیف و مدل‌سازی الگوهای عددی یا روابط ریاضی است. الگوهای عددی می‌توانند به صورت ترتیبی، هندسی یا دیگر الگوها نمایان شوند و با استفاده از عبارات جبری، می‌توان آنها را به صورت عمومی بیان کرد.

Question 84

مراحل تشکیل بیان جبری برای الگوها (Steps to Formulate Algebraic Expressions for Patterns)

Answer 84

شناسایی الگو (Identify the Pattern) ابتدا الگوی عددی یا رابطه‌ای را که مشاهده کرده‌اید، شناسایی کنید. الگو می‌تواند ترتیبی از اعداد، شکل‌ها، یا روابط بین اعداد باشد. تشخیص رابطه بین اعضای الگو (Determine the Relationship Between Terms) رابطه‌ای که بین اعضای مختلف الگو وجود دارد را پیدا کنید. این رابطه می‌تواند جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، یا ترکیبی از این عملیات باشد. استفاده از متغیرها (Use Variables) .برای نشان دادن جایگاه هر عضو در الگو استفاده کنید (𝑛 از یک متغیر (معمولاً .معمولاً نشان‌دهنده شماره عضو در الگو است 𝑛 تشکیل عبارت جبری (Formulate the Algebraic Expression) رابطه شناسایی شده را به صورت یک عبارت جبری بیان کنید که .را به مقدار عضو مربوطه در الگو مرتبط کند 𝑛

Question 85

کاربردهای بیان جبری الگوها (Applications of Algebraic Expression of Patterns)

Answer 85

حل مسائل ریاضی (Solving Mathematical Problems): استفاده از عبارات جبری برای حل مسائل مختلف و پیدا کردن اعضای بعدی یا قبلی .الگوها مدل‌سازی ریاضی (Mathematical Modeling): مدل‌سازی موقعیت‌های واقعی با استفاده از الگوهای عددی و عبارات جبری برای .پیش‌بینی و تحلیل داده‌ها آموزش ریاضی (Mathematics Education): .کمک به درک بهتر مفاهیم ریاضی و روابط بین اعداد برای دانش‌آموزان و دانشجویان

Question 86

زاویه متمم چیست؟

Answer 86

.دو زاویه ای می باشد که مجموع اندازه‌های آن‌ها برابر با ۹۰ درجه باشد

Question 87

نصف متمم زاویه 2 چقدر است ؟ زاویه۲=۵۰

Answer 87

۲۰

Question 88

زاویه های مکمل را توضیح دهید؟

Answer 88

هرگاه مجموع اندازه‌های دو زاویه برابر با ۱۸۰ درجه باشد، آن دو زاویه مکمل یکدیگرند.

Question 89

.زاویه حاده (تند)و منفرجه(باز) و قائم(راست) را توضیح دهید

Answer 89

زاویه تند: زاویه را تند (حاده) می‌گوییم هرگاه اندازه اش کمتر از ۹۰ در جه باشد. زاویه راست: زاویه را راست (قائم )می‌گوییم هرگاه اندازه آن برابر ۹۰ در جه باشد. زاویه باز: زاویه را باز (منفرجه) می‌گوییم هرگاه بزرگتر از ۹۰ درجه و کمتر از ۱۸۰ درجه باشد.

Question 90

نیم ساز زاویه چیست؟

Answer 90

نیم ساز زاویه را به دوقسمت مساوی تقسیم میکند

Question 91

دو زاویه که اضلاع آنها در امتداد یکدیگر بوده و در رأس مشترک باشند دو زاویه ..................... نامیده می شوند.

Answer 91

متقابل به راس

Question 92

به خط شکسته بسته که اضالع همدیگر را قطع .نکنند.......................... نامیده می شود

Answer 92

چند ضلعی

Question 93

چند ضلعی منتظم

Answer 93

به چند ضلعی که همه ضلع ها با هم و همه زاویه ها با هم برابر باشند چند ضلعی منتظم .گوییم مثل مربع

Question 94

درچند ضلعی های منتظم با افزایش ضلع زاویه ها ............... و شکل به ........ .نزدیکتر میشود

Answer 94

بزرگتر - دایره

Question 95

درچند ضلعی های منتظم با افزایش ضلع ها زاویه ها ......... می شوند

Answer 95

بزرگتر

Question 96

در دو شکل هندسی ............... اجزاء متناظر دو به دو با هم برابرند

Answer 96

هم نهشت

Question 97

فرمول اندازه ی زاویه های داخلی و خارجی چند ضلعی ها

Answer 97

N=تعداد ضلع ها اندازه ی زاویه های داخلی=n-2*180 n*180=اندازه ی زاویه های خارجی

Question 98

.تعداد قطر های ۸ ضلعی و ۶ ضلعی را به ترتیب بگویید

Answer 98

۴ ۳ تعداد قطر ها نصف تعداد ضلع ها است

Question 99

چند ضلعی محدب

Answer 99

چند ضلعی محدب یا کوژ چند ضلعی ای است که از هر دو نقطه دلخواه درون آن پاره خطی به هم وصل کنیم ، آن پاره خط از داخل چند ضلعی عبورمی کند. یا به عبارت .دیگر چند ضلعی که هیچ یک از زاویه های آن بیشتر از 180 درجه نباشد

Question 100

چند ضلعی مقعر

Answer 100

به چند ضلعی ای که دست کم یک زاویه ی بزرگ تر از 180 درجه داشته باشد چند .ضلعی مقعر(کاو) می گوییم

Question 101

انواع چندضلعی‌ها (Types of Polygons)

Answer 101

. شکلی با سه ضلع و سه زاویه : (Triangle) مثلث .چهارضلعی که همه اضلاع و زوایای آن برابرند : (Square) مربع .چهارضلعی که زوایای آن قائمه و اضلاع مقابل آن برابرند : (Rectangle)مستطیل :(Rhombus) لوزی .چهارضلعی که همه اضلاع آن برابرند ولی زوایای آن قائمه نیستند :(Trapezoid/Trapezium) ذوزنقه .چهارضلعی که دو ضلع آن موازی و دو ضلع دیگر غیرموازی هستند

Question 102

انواع مثلث‌ها بر اساس زوایا

Answer 102

مثلث قائم‌الزاویه (Right Triangle) مثلث تندزاویه (Acute Triangle) مثلث منفرجه (Obtuse Triangle)

Question 103

انواع مثلث‌ها بر اساس اضلاع

Answer 103

مثلث متساوی‌الاضلاع (Equilateral Triangle) مثلث متساوی‌الساقین (Isosceles Triangle) مثلث مختلف‌الاضلاع (Scalene Triangle)

Question 104

شرایط اندازه ضلع در ساخت مثلث

Answer 104

جمع دوضلع کوچک از ضلع بزرگ بیشتر باشد

Question 105

در کدام يک از گزينه های زير نمی توان مثلث را رسم کرد ؟ الف ( يک زاويه تند ويک زاويه باز ب ( يک زاويه باز ويک زاويه قائمه ج( سه زاويه تند

Answer 105

ب ( يک زاويه باز ويک زاويه قائمه

Question 106

دایره (Circle) شعاع (Radius) قطر (Diameter)

Answer 106

.مجموعه‌ای از نقاط که فاصله ثابتی از یک نقطه مرکزی دارند شعاع) :فاصله از مرکز دایره تا محیط آن ) قطر):پاره‌خطی که از مرکز دایره می‌گذرد و دو نقطه از محیط دایره را به هم وصل ) .می‌کند

Question 107

حجم و مساحت سطح (Volume and Surface Area)

Answer 107

حجم (Volume): .میزان فضای داخلی یک جسم سه‌بعدی مساحت سطح (Surface Area): .مجموع مساحت تمام سطوح خارجی یک جسم سه‌بعدی

Question 108

شباهت و تجانس (Similarity and Congruence) در اشکال هندسی

Answer 108

شباهت (Similarity): دو شکل زمانی مشابه‌اند که اندازه‌های زاویه‌های متناظر آنها برابر و نسبت اضلاع .متناظرشان ثابت باشد تجانس (Congruence): .دو شکل زمانی متجانس‌اند که شکل و اندازه آنها دقیقا برابر باشد

Question 109

نسبت‌ها و تناسب‌ها (Ratios and Proportions) در اشکال هندسی

Answer 109

.مقایسه دو مقدار با تقسیم یکی بر دیگری:(Ratio)نسبت .رابطه‌ای که بیان می‌کند دو نسبت برابرند : (Proportion)تناسب

Question 110

تبدیلات هندسی (Geometric Transformations)

Answer 110

تبدیل‌ها (Transformations): :تغییراتی که می‌توان بر روی اشکال هندسی اعمال کرد. انواع تبدیل‌ها شامل .جابجایی یک شکل بدون تغییر در اندازه یا جهت : (Translation)انتقال .چرخش یک شکل حول یک نقطه : (Rotation)چرخش . بازتاب یک شکل نسبت به یک خط : (Reflection)انعکاس .تغییر اندازه یک شکل با حفظ نسبت‌های آن : (Scaling)تغییر مقیاس

Question 111

وقتی شکلی را روی صفحه انتقال می دهیم تصویر به دست آمده مساوی و........... شکل اولیه است

Answer 111

هم جهت

Question 112

.در دوران .................... درجه به تعیین جهت نیاز نداریم

Answer 112

۱۸۰

Question 113

بردارها (Vectors) در هندسه

Answer 113

بردار (Vector): برای نمایش جابجایی ها استفاده میشود

Question 114

مختصات دکارتی (Cartesian Coordinates)

Answer 114

سیستمی برای تعیین موقعیت نقاط در صفحه با استفاده از دو محور متعامد .(y محور x محور)

Question 115

عدد اول (Prime numbers)

Answer 115

عدد اول عددی طبیعی بزرگتر از ۱ است که فقط بر خودش و ۱ بخش‌پذیر است. به عبارت دیگر، چنین عددی هیچ مقسومی به .جز ۱ و خودش ندارد به عددهایی مثل ١٣ و ٧ که فقط ٢ شمارنده دارند و آن دو شمارنده، عدد یک و خود آن عدد است، عدد اول میگویند.

Question 116

عدد مرکب(composite number)

Answer 116

عدد مرکب عدد طبیعی بزرگتر از 1 است که حداقل یک مقسوم‌علیه به جز 1 و خودش دارد. به عبارت دیگر، این عدد .قابل تقسیم بر عددی به غیر از 1 و خودش است عدد مرکب عددی طبیعی به جز یک (یک نه مرکب است نه اول) .است که اول نباشد یا به عبارت دیگر اعدادی طبیعی که بتوان به صورت ضرب .حداقل دو عدد طبیعی بزرگتر از یک نوشت

Question 117

عدد یک

Answer 117

عدد 1 یک عدد خاص در ریاضیات است و به عنوان عدد اول یا .عدد مرکب دسته‌بندی نمی‌شود عدد 1 فقط یک مقسوم‌علیه دارد (خودش)، بنابراین به هیچ یک .از این دسته‌ها تعلق ندارد عدد 1 به عنوان یک عدد واحد و پایه‌ای در بسیاری از .سیستم‌های عددی و مفاهیم ریاضی مورد استفاده قرار می‌گیرد

Question 118

شمارنده‌ها (یا مقسوم‌علیه‌ها)

Answer 118

شمارنده‌ها (یا مقسوم‌علیه‌ها) اعداد صحیحی هستند که یک عدد داده شده بر آنها بدون باقی‌مانده تقسیم می‌شود. به عبارت دیگر، 𝑑 باید بر 𝑛 باشد 𝑛 یک شمارنده برای عدد 𝑑 اگر 𝑛 ÷ 𝑑 بخش‌پذیر باشد، یعنی .باید یک عدد صحیح باشد مثال‌هایی از شمارنده‌ها: شمارنده‌های عدد 6: 1 (چون 6 بر 1 بخش‌پذیر است) 2 (چون 6 بر 2 بخش‌پذیر است) 3 (چون 6 بر 3 بخش‌پذیر است) 6 (چون 6 بر 6 بخش‌پذیر است) بنابراین، شمارنده‌های عدد 6 عبارتند از: 1، 2، 3 و 6.

Question 119

شمارنده‌های اول (یا مقسوم‌علیه‌های اول)

Answer 119

شمارنده‌های اول (یا مقسوم‌علیه‌های اول) یک عدد، شمارنده‌هایی هستند که خودشان عدد اول باشند. به عبارت دیگر، اینها اعدادی هستند که عدد مورد نظر بر آن‌ها بخش‌پذیر است و این اعداد خودشان تنها بر 1 و خودشان بخش‌پذیرند. برای یافتن شمارنده‌های اول یک عدد، ابتدا باید همه شمارنده‌های آن عدد را پیدا کرده و سپس آنهایی را که اول هستند مشخص کنیم. مثال‌: شمارنده‌های اول عدد 12: شمارنده‌های عدد 12: 1، 2، 3، 4، 6، 12 شمارنده‌های اول: 2 و 3 (زیرا فقط 2 و 3 از بین شمارنده‌های 12 عدد اول هستند) بنابراین، شمارنده‌های اول عدد 12 عبارتند از: 2 و 3. شمارنده های اول، عددهای اولی هستند که با استفاده از حاصل ضرب و تکرار آنها، میتوان عددهای مختلفی را بهدست آورد؛ مانند: ٢ × ٢ × ٣ = ١٢

Question 120

مجموع دو عدد طبیعی فرد همیشه عددی ___________ است

Answer 120

زوج

Question 121

مجموع دو عدد طبیعی زوج همیشه عددی ___________ است

Answer 121

زوج

Question 122

مجموع یک عدد زوج و یک عدد فرد همیشه عددی ___________ است.

Answer 122

فرد

Question 123

آیا حاصل جمع دو عدد اول همواره یک عدد اول است؟

Answer 123

خیر مثلا ۷ و ۳ ؛جمعش میشه ۱۰

Question 124

بزرگ ترین مقسوم علیه مشترک (ب؛م؛م)

Answer 124

بزرگترین شمارندۀ مشترک دو عدد همان بزرگترین .مقسوم علیه مشترک است که به اختصار آن را ب.م .م مینویسند برای یافتن ب.م.م. دو عدد، می‌توان از روش‌های مختلفی استفاده :کرد 1. روش تجزیه به عوامل اول در این روش، هر عدد را به عوامل اول تجزیه می‌کنیم و سپس عوامل مشترک با کمترین توان را انتخاب می‌کنیم. مثال: پیدا کردن ب.م.م. 48 و 60 تجزیه به عوامل اول: 48 = ۳*۲*۲*۲*۲ 60 = ۵*۳*۲*۲ انتخاب عوامل مشترک: (3,3) (2,2) (2,2) بنابراین، ب.م.م. 48 و 60 برابر است با: 2*2*3=12 2-روش الگوریتم اقلیدس: این الگوریتم یکی از کارآمدترین روش‌ها برای یافتن ب.م.م. دو عدد است. این روش بر اساس تفریق‌های متوالی یا تقسیم‌های .متوالی عمل می‌کند روش: 𝑏 و 𝑎 اگر اعداد مورد نظر باشند، عدد بزرگ‌تر را بر عدد کوچک‌تر .تقسیم کرده و باقی‌مانده را پیدا کنید . عدد کوچک‌تر و باقی‌مانده را جایگزین این روند کنید تا زمانی که باقی‌مانده صفر شود تکرار کنید. آخرین .عدد غیر صفر ب.م.م. است مثال: :برای یافتن ب.م.م. 36 و 60 با الگوریتم اقلیدس 60÷36=(۱) ۲۴ باقی‌مانده 36÷24=(1) ۱۲ باقی‌مانده 24÷12=(2) باقیمانده ۰ آخرین عدد غیر صفر 12 است، پس ب.م.م. 36 و 60 برابر با 12 است. ************** هر دو روش نتایج یکسانی را ارائه می‌دهند و می‌توانید از هر کدام که برایتان راحت‌تر است استفاده کنید.

Question 125

کوچکترین مضرب مشترک (یا به اختصار ک.م.م.)

Answer 125

ک.م.م مخفف "کوچک‌ترین مضرب مشترک" است. این عدد، کوچک‌ترین عددی است که همزمان مضرب همه اعداد مورد نظر است. مثلاً، برای اعداد 4 و 6، ک.م.م برابر است با 12، چون 12 کوچک‌ترین عددی است که هم مضرب 4 و هم .مضرب 6 است و به صورت [6,4]=12 . نمایش میدهند

Question 126

اگر عددی بر عدد دیگر بخشپذیر باشد، عدد بزرگتر ......... دو .عدد است

Answer 126

ک.م.م

Question 127

اگر ب.م.م دو عدد یک باشد، ک.م.م دو عدد، برابر .است .............

Answer 127

حاصل ضرب دو عدد

Question 128

. ک.م.م دو عدد اول برابر ........ آنهاست

Answer 128

حاصل ضرب

Question 129

مضرب

Answer 129

مضرب یک عدد، عددی است که می‌توان با ضرب کردن آن . عدد در یک عدد صحیح دیگر به دست آورد مثلاً، 12 یکی از مضرب‌های 3 است، چون 3×4=12.

Question 130

کاربردهای ب.م.م:

Answer 130

ساد‌ه‌سازی کسور: برای ساده کردن یک کسر، از ب.م.م صورت و مخرج آن .استفاده می‌شود تقسیم‌بندی: وقتی می‌خواهیم یک مقدار یا تعداد به بخش‌های کوچکتر تقسیم .کنیم، ب.م.م کمک می‌کند تا بخش‌ها به طور مساوی تقسیم شوند

Question 131

کاربردهای ک.م.م:

Answer 131

جمع و تفریق کسور: برای جمع یا تفریق کسورها با مخرج‌های متفاوت، نیاز به ک.م.م .مخرج‌ها داریم زمان‌بندی: برای هماهنگ کردن زمان‌بندی‌های مختلف، ک.م.م کمک می‌کند تا زمان مشترکی پیدا شود. مثلاً اگر یک رویداد هر 4 روز و یک رویداد دیگر هر 6 روز اتفاق بیفتد، هر دو رویداد هر 12 .روز با هم هم‌زمان می‌شوند