Zahl & Variable: Definitionen Flashcards
Definitionen
Additive Zahlensysteme
Jedes Zeichen in einem solchen System, steht für einen bestimmten Wert.
Alle Zeichen werden zusammenaddiert. Dabei spielt es keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Zeichen stehen.
Nachteile von additiven Zahlensystemen
- Es sind immer neue Ziffernzeichen erforderlich
- es entstehen lange Zahlendarstellungen (fehlende Übersichtlichkeit)
- schriftliche Rechenverfahren erweisen sich als schwerfällig.
Stellenwertsysteme
Jede Ziffer übermittelt zwei Informationen:
- Den Zahlenwert
- Den Stellenwert
Vorteile von Stellenwertsystemen
- begrenzte Anzahl von Zeichen ist ausreichend
- es ergeben sich effiziente schriftliche Rechenverfahren
- eine Erweiterung auf Bruchzahlen ist möglich
Quersummen-Regel (9)
Der Neunerrest einer Zahl entspricht ihrer (vollständig reduzierten) Quersumme.
Wechselquersummen-Regel (11)
Der Elferrest einer Zahl entspricht ihrer (vollständig reduzierten) Wechselquersumme
Wechselquersumme
Zahlen werden im Wechsel addiert und subtrahiert (Start bei 1er Stelle, - 10er Stelle…):
Zu jeder Zahl an * 10^n + an-1 * 10^n-1 …
=> a0 - a1 + a2 - a3 …
Beispiel: 42313
3 - 1 + 3 - 2 + 4 = 7
kardinale Auffassung
Es geht um die anzahl, wie wir die bereits naiv als “Mächtigkeit von Mengen” kennen. Wir nutzen die natürlichen Zahlen um solche Mächtigkeiten anzugeben.
ordinale Auffassung
Hat das Zählen im Blick, das geordnete Aufeinanderfolgen der natürlichen Zahlen.
Codierauffassung
Kommt an verschiedenen Stellen vor, wenn man bestimmten Dingen einen Namen geben will (z.B. Autonummer, Telefonnummer..)
Axiome
Grundsätze oder Grundannahmen, aus denen eine mathematische Theorie Aufgebaut werden kann. Alle Sätze der Theorie müssen sich auf die Axiome zurückführen lassen. Die Axiome selbst sind nicht beweisbar.
Peano-Axiome
(Wesentliche Eigenschaften von natürlichen Zahlen)
P1: Ist n ein Element der natürlichen Zahlen, dann auch sein Nachfolger.
P2: Ist n ein Element der natürlichen Zahlen, dann ist sein Nachfolger von 0 verschieden.
P3: Sind für m, n in der Menge der natürlichen Zahlen die Nachfolger gleich, dann gilt m= n.
P4: Ist 0 ein Element von E und ist E eine Teilmenge der natürlichen Zahlen und ist für jedes n in E auch sein Nachfolger in E enthalten, dann ist E = natürliche Zahlen.
[P4 = Induktionsprinzip]
Zahlenmengen
N = Natürliche Zahlen
Z = Ganze Zahlen (inkl. negative)
Q = Rationale Zahlen (Bruchzahlen) [Q für Quotient]
R = irrationale / Reelle Zahlen (unendliche Nachkommastellen, mit nicht wiederholenden Zahlen -> kann sie nicht als Bruch schreiben)
C = Komplexe Zahlen
Perlenkettenmodell
Die natürlichen Zahlen können sich wie eine unendlich lange Perlenkette vorgestellt werden, die einen definierten Anfang hat.
Mengenmodell von Neumann
Iterative Mengen:
Die Menge 0 ist die leere Menge.
Die Menge 1 enthält alle bisherigen Mengen, also die Menge 0 (leere Menge).
Die Menge 2 enthält alle bisherigen Mengen, also die Menge 0 und 1.
Die Menge 3 enthält alle bisherigen Mengen, also die Menge 0, 1 und 2.
-> Werden die Mengen als eine Zahl interpretiert, so erfüllen diese die Paeno-Axiome (Menge 0 kann 0 genannt werden, Menge 1 kann 1 genannt werden…)
Endliche Dezimalbrüche
Enthält der Nenner eines gewöhnlichen vollständig gekürzten Bruchs nur 2en oder 5en in der Primfaktorzerlegung, so ist die Dezimalbruchzerlegung endlich.
Periodische Dezimalbrüche
Enthält der Nenner eines gewöhnlichen vollständig gekürzten Bruchs keine 2en oder 5en in der Primfaktorzerlegung, so ist die Dezimalbruchzerlegung periodisch.
Gemischt Periodische Dezimalbrüche
Enthält der Nenner eines gewöhnlichen vollständig gekürzten Bruchs sowohl mindestens eine 2 oder eine 5 und mindestens einen Primfaktor ungleich 2 oder 5 in der Primfaktorzerlegung, so ist die Dezimalbruchzerlegung gemischt periodisch.
Der kleine Satz von Gauss
Sei n >= eine natürliche Zahl, dann gilt: 1++2+3+…+n =
n / 2 * (n+1)
Zusammenhang Quadratzahl und natürliche Zahl
Das Quadrat einer natürlichen Zahl n ist genau dann gerade, wenn n es ist.
Summe dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen
Die Summe dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist durch drei teilbar.
Prinzip der vollständigen Induktion
v1: Zeige, dass die Aussage für n = 1 gilt.
v2: Zeige, dass die Implikation gilt: Wenn die Aussage für eine bestimmte Zahl n = k
gültig ist, dann auch für die nächste Zahl n = k + 1
Direkter Beweis
Der direkte Beweis zeichnet sich dadurch aus, dass er aus bereits bekannten oder vorausgesetzten
Sachverhalten durch eine Kette logischer Schlüsse und korrekten Umformungen
die Behauptung erreicht.
Widerspruchsbeweis | indirekter Beweis
Der indirekte Beweis, auch Widerspruchsbeweis genannt oder reductio ad absurdum, geht
von der Annahme aus, die zu beweisende Behauptung gälte nicht und weist nach, dass
diese Annahme zwingend zu einem Widerspruch führt. Folglich ist die Annahme falsch
und ihr Gegenteil (= die Behauptung) richtig gemäss dem logischen Prinzip des ausgeschlossenen
Dritten („Tertium non datur“).
Beweis durch Gegenbeispiel
Der Beweisakt besteht lediglich in der Präsentation eines Beispiels, das der Behauptung zuwiderläuft.
Formale Zahlbereichserweiterung
Ziel einer Zahlbereichserweiterung ist nicht, dass man einfach neue Zahlen und Rechenregeln „dazu
erfindet“, sondern dass man neue Zahlobjekte aus bereits bestehendem baut, so dass diese auf
natürliche Art und Weise die gewünschten Eigenschaften haben. Diese Zahlbereichserweiterungen
geschehen formal immer auf eine sehr ähnlich
Ausgangspunkt ist, dass wir die Subtraktion auf den natürlichen Zahlen nicht uneingeschränkt durchführen können. Wir wissen zum Beispiel nicht, was die Rechnung 3−4 =? mathematische zu bedeuten hat. Unser Ziel ist nun die Bedeutung dieses Ergebnisses zu klären.
Äquivalenzklasse
Wir fassen also in unserem Modell alle Pfeile, die die gleiche Richtung und Länge haben zusammen – man spricht hier von einer Äquivalenzklasse. Jede Äquivalenzklasse repräsentiert eine Zahl.
Welchen Vertreter (Repräsentanten) man für eine ganze Zahl auswählt, spielt mathematisch keine
Rolle: (2; 6) ist genauso gut geeignet wie (4; 8), da beide Vertreter äquivalent sind.
Allgemein sind zwei Zahlenpaare/Zahlenpfeile (a; b) und (c; d) also äquivalent, wenn sie differenzengleich sind
Wohldefiniertheit
Wenn eine Definition einer Rechenoperation diese beiden Bedingungen erfüllt (Verträglichkeit mit der alten Rechenoperation und Unabhängigkeit vom Repräsentanten), dann ist sie wohldefiniert.
Funktion des Minuszeichens
- Vorzeichen, das Bestandteil des Namens negativer Zahlen ist
- Rechenzeichen, um die zweistellige Rechenoperation “Subtraktion zu notieren (a-b=c)
- Rechenzeichen, um die einstellige Operation “Gegenzahlbildung” zu notieren (-a = b)
Intervallhalbierung
Wurzel-Ziehen: Es wird abgeschätzt in welchem Intervall eine Wurzel liegt.
z.B. Wurzel 10: Wir wissen, Wurzel 9 = 3, Wurzel 16 = 4. Entsprechend muss Wurzel 10 dazwischen liegen.
Jetzt wird das Intervall halbiert = 3.5 und damit ausgerechnet ob dies Wurzel 10 entspricht. so geht es weiter: 3.25… damit wird die Näherung immer besser.
Intervallzehntelung
Intervalle werden nicht halbiert, sondern in 10 gleich grosse Teile aufgeteilt. Damit ist die erste Nachkommastelle bekannt. Dieses wird wieder in 10 Teile geteilt. usw.
Heron-Verfahren
Ausrechnen der Wurzel: Verfahren bei dem in jedem Schritt die Anzahl der Nachkommastellen verdoppelt werden
xn + 1 = 1/2 (xn + a/xn)
Vollständigkeitsaxiom
Eine Folge reeller Zahlen konvergiert (hat einen Grenzwert) genau dann, wenn der Abstand |xn − xm| zwischen den Folgengliedern immer kleiner wird, falls nur die Indizes n und m genügend gross
gewählt werden.
ChatGPT:
Das Vollständigkeitsaxiom besagt, dass jeder nichtleere Teilmenge der reellen Zahlen eine kleinste obere Schranke hat.
bijektiv
bijektiv ist, wenn es zwischen zwei Mengen A und B zu jedem b ist Element von B genau ein a ist Element von A gibt.
(Jedem Element in der Menge B kann genau ein Element in der Menge A zugeordnet werden).
b = f(a)
gleichmächtig
Es gibt eine bijektive Abbildung.
Also wenn Jedem Element in der Menge B genau ein Element in der Menge A zugeordnet werden kann.
Abzählbarkeit
Eine Menge die gleichmächtig zu den natürlichen Zahlen ist, nennen wir abzählbar.
Also wenn jeder natürlichen Zahl genau eine Zahl aus einer anderen Menge zugewiesen werden kann.
Überabzählbarkeit
Eine Menge die nicht abzählbar ist (nicht gleichmächtig ist) nennen wir überabzählbar.
Kardinalzahl
Gibt die Mächtigkeit einer Menge an.
Bsp. eine Menge M die 6 Elemente enthält hat die Kardinalität 6. card(m) = 6.
unendliche Kardinalität:
- Kardinalität der natürlichen Zahlen = Alef.
- Kardinalität der Reellen Zahlen = c. (c für Continuum).
Kontinuumshypothese
Vermutung dass Kardinalität der Potenzmenge der natürlichen Zahlen (Alef 1) entspricht der Kardinalität der Reellen zahlen (c):
Alef 1 = c
-> kann weder widerlegt noch bewiesen werden kann.
Potenzmenge
Die Potenzmenge von A ist die Menge aller Teilmengen von A.
Damit gilt: Die Kardinalität der Menge A ist kleiner als die Kardinalität der Potenzmenge A.
Variable
Eine Variable ist ein Name für eine Leerstelle in einem logischen oder mathematischen Ausdruck
Wortvariable
Wörter die als Variablen fungieren, z.B. “Länge”.
Wortformel
Eine Formel die nicht in Variablen sondern in Wortvariablen ausgedrückt wird, z.B. Länge * Breite
Explorationsinstrument
Hier ist mir nur wichtig, dass Ihnen bewusst ist, dass die algebraische Sprache als Werkzeug genutzt werden kann um Erkundungen und Untersuchungen einer Situation zu machen.
Funktionale Betrachtung
Funktionale zusammenhänge mathematisch Beschreiben.
Bsp. Zusammenhang zwischen A und S:
S(A) = 1.1025 * A
Problem der Gegenstandsauffassung
Die Variable selbst wird als Repräsentation von “etwas” (einem Gegenstand wie z.B. Kugeln) verstanden und nicht als Anzahl des “etwas”.
Konkatenation
Das bedeutet allgemein eine “Verkettung von Zeichen”
In der Algebra bedeutet “3a” =”3·a”, d.h. wir lassen das Malzeichen weg.
In der Arithmetik gibt es auch solche “Konkatenationen”/”Verkürzten Schreibweisen”: “1 1/2”=1+1/2 oder “35”= 3 Zehner + 5 Einer.
Term
Ein Term bezeichnet einen sinnvollen Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen und Klammern enthalten kann. Terme sind syntaktisch korrekt gebildete Wörter oder Wortgruppen in der formalen Sprache der Mathematik.
Binomische Formel
- (a + b)^2
- (a - b)^2
- (a + b) * (a - b)
Operationszeichen
Zeichen zur Verknüpfung mathematischer Objekte.
In der Algebra wird das Operationszeichen zu einem Bestandteil des Zahlnamens.
Sinn von Termen
- kompakt, eindeutig und prägnant formulieren
- ein Term kann für Verschiedenes stehen
- Terme erleichtern die Organisation von Rechnungen
Gleichung
Gleichwertige Terme
Äquivalenzumformung
Es handelt sich um Umformungsregeln, welche die Lösungsmenge
einer gegebenen Gleichung nicht verändern.
Namentlich beinhalten die
Äquivalenzumformung: Addition, Subtraktion, Multiplikation (ohne 0), Division (ohne 0)
Al-Khwarizmi
Gelehrter; Namensgeber für das Wort Algebra (Lateinische Übersetzung seines Namens)
Einrenken und ausgleichen
Lösungsverfahren für Quadratische Gleichungen in Worten ausgedrückt.
Primzahl
Eine natürliche Zahl heisst Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler hat.
Primzahlzwilling
Zwei aufeinanderfolgende Primzahlen pn und pn+1 mit pn+1-pn = 2 bezeichnet man als Primzahlzwillinge.
Bsp. 11 und 13 oder 137 und 139
Fermat-Zahlen
Vermutung dass alle Zahlen der Form 2^2^n + 1 Primzahlen sind
Mersenne-Zahlen
Vermutung dass alle Zahlen der Form 2^n - 1 Primzahlen sind
Modulo-Arithmetik
Das Rechnen mit Resten wird gern mit der kompakten Modulo-Schreibweise durchgeführt.
Bsp.:
365 = 1 (mod 7)
Die Schreibweise drückt aus, dass 365 und 1 denselben 7er-Rest (also 1) besitzen.
Kongruenz
Allgemein gilt, dass zwei Zahlen a und b kongruent modulo d sind, falls sie bei Division
durch d den gleichen Rest hinterlassen.
Reduzieren
Wir reduzieren eine Zahl modulo d, wenn wir fortlaufend d subtrahieren.
ggT
grösster gemeinsamer Teiler: grösste natürliche Zahl die sowohl Zahl a als auch Zahl b teilt.
kgV
kleinstes gemeinsames Vielfaches: kleinste natürliche Zahl, die sowohl ein Vielfaches von a als auch von b ist.
Julianischer Kalender
Im julianischen Kalender (46 v. Chr. eingeführt) Wird eine Kalenderperiode von 4 Jahren mit 3 „Gemeinejahre“
und einem Schaltjahr eingeführt. Damit dauert ein Jahr durchschnittlich (3 · 365 + 1 · 366) : 4 = 365:25 Tage, also etwas länger als das tropische Jahr.N
Gregorianischer Kalender
Als Folge des Auseinanderlaufens von tropischem und Julianischem Kalender wurde 1582 die Gregorianische
Kalenderreform durchgeführt. Auf Donnerstag, den 4. Oktober, folgte unmittelbar Freitag,
der 15. Oktober. Ausserdem wurde eine erweiterte Schaltjahresregel eingeführt: Jedes durch 4
teilbare Jahr ist ein Schaltjahr; nicht aber die vollen Jahrhunderte (z. B. 1900), ausser sie sind durch 400 teilbar (2000 war ein SJ).
Monoalphabetische Verschlüsselung
Monoalphabetische Verschlüsselung bestehen darin, das Klartextalphapet zu permutieren, d.h. die Buchstabenanordnung zu vertauschen.
(Eineindeutige Zuordnung)
Häufigkeitsanalyse
Aus der Häufigkeit
bestimmter Buchstaben im verschlüsselten Text lässt sich damit auf den Buchstaben im Klartext
schliessen.
Additive Verschlüsselung
Gegeben ist ein nummerisches Alphabet {0,…,25} und ein Schlüssel k ∈ {0,…,25}. Die Verschlüsselung erfolgt mithilfe der Funktion:
f(x) = x + k (mod 26)
Der verschlüsselte Text lässt sich dann mit der nachfolgenden Funktion wieder entschlüsseln:
g(x) = x + l (mod 26) mit k + l = 0 (mod 26)
Multiplikative Verschlüsselung
Gegeben ist ein nummerisches Alphabet {0,…,25} und ein Schlüssel k ∈ {0,…,25} mit ggT(k, 26). Die Verschlüsselung erfolgt mithilfe der Funktion:
f(x) = x * k (mod 26).
Der verschlüsselte Text lässt sich dann mit der nachfolgenden Funktion wieder entschlüsseln:
g(x) = x * l (mod 26) mit k * l = 1 (mod 26)
Potenzverschlüsselung (RSA)
Gegeben ist ein nummerisches Alphabet {0,…,25} und ein Schlüssel k ∈ [0, 1, …, p-1} mit ggT (k, p-1)=1. Die Verschlüsselung erfolgt mithilfe der Funktion f(x) = x^k mod p
Der verschlüsselte Text lässt sich dann mit der nachfolgenden Funktion wieder entschlüsseln:
g(x)=k^l mod p mit k*l=1 mod (p-1)
Polyalphabetische Verschlüsselung
Bei der polyalphabetische Verschlüsselung existieren mehrere Geheimalphabete. Je nach Position des Buchstaben im Klartext wird dieser auf unterschiedliche Buchstaben im Geheimalphabet
abgebildet.
Vigenere-Verfahren
Verfahren bei dem Mittels Vigenere-Quadrat blockweise verschlüsselt wird.
Additives Inverses
Das additive Inverse hebt eine Addition auf, es ist jeweils die Gegenzahl. Beispiel von 5 ist das additive Inverse -5
Multiplikatives Inverses
Das multiplikative Inverse ergibt in der Multiplikation mit einer Zahl 1; es ist jeweils die Zahl als Nenner und 1 als Zähler. Beispiel von 5 ist das multiplikative Inverse 1/5.
RSA-Zahlen
Grosse Zahlen, die nur aus zwei Primzahlen p und q zusammengesetzt sind und zur Verschlüsselung
benutzt werden, nennt man RSA-Zahlen.
Eulersche Phi-Funktion
Phi nicht Pi ;)
Phi(n) ist die Anzahl von Zahlen k von 1 bis n mit ggT (k, n) = 1
-> Zahlen die Teilerfremd zueinander sind.
Hauptsatz der Artithmetik
Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von endlich vielen Primzahlen darstellen. Ordnet man diese Primzahlen der Grösse nach, so ist diese Darstellung sogar eindeutig.
Multiplikative Rest-Schreibweise
a = q * b + r
[a : b = q Rest r]
Paradoxon der klassischen Kryptographie
Will man ein Geheimnis austauschen, muss man vorher schon ein Geheimnis ausgetauscht haben.
Zahlenkörper
Eine Teilmenge der reellen Zahlen heisst Zahlenkörper, wenn sie die Zahlen 0 und 1 enthält und die arithmetischen Grundoperationen ohne Einschränkung und gemäss den bekannten
Regeln ausführbar sind (natürlich ohne Division durch null).
Körpererweiterung
Wenn wir zu allen rationalen Zahlen eine Quadratwurzel hinzufügen und zusätzliche alle Linearkombinationen,
erhalten wir eine Körpererweiterung, die nur aus konstruierbaren Zahlen besteht.
Körperturm
Sequenz von Körpererweiterungen, bei der jeder Körper ein Erweiterungskörper des vorhergehenden ist.
