Zahl & Variable: Definitionen

Question 1

Additive Zahlensysteme

Answer 1

Jedes Zeichen in einem solchen System, steht für einen bestimmten Wert.
Alle Zeichen werden zusammenaddiert. Dabei spielt es keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Zeichen stehen.

Question 2

Nachteile von additiven Zahlensystemen

Answer 2

• Es sind immer neue Ziffernzeichen erforderlich
• es entstehen lange Zahlendarstellungen (fehlende Übersichtlichkeit)
• schriftliche Rechenverfahren erweisen sich als schwerfällig.

Question 3

Stellenwertsysteme

Answer 3

Jede Ziffer übermittelt zwei Informationen:
- Den Zahlenwert
- Den Stellenwert

Question 4

Vorteile von Stellenwertsystemen

Answer 4

• begrenzte Anzahl von Zeichen ist ausreichend
• es ergeben sich effiziente schriftliche Rechenverfahren
• eine Erweiterung auf Bruchzahlen ist möglich

Question 5

Quersummen-Regel (9)

Answer 5

Der Neunerrest einer Zahl entspricht ihrer (vollständig reduzierten) Quersumme.

Question 6

Wechselquersummen-Regel (11)

Answer 6

Der Elferrest einer Zahl entspricht ihrer (vollständig reduzierten) Wechselquersumme

Question 7

Wechselquersumme

Answer 7

Zahlen werden im Wechsel addiert und subtrahiert (Start bei 1er Stelle, - 10er Stelle…):
Zu jeder Zahl an * 10^n + an-1 * 10^n-1 …
=> a0 - a1 + a2 - a3 …

Beispiel: 42313
3 - 1 + 3 - 2 + 4 = 7

Question 8

kardinale Auffassung

Answer 8

Es geht um die anzahl, wie wir die bereits naiv als “Mächtigkeit von Mengen” kennen. Wir nutzen die natürlichen Zahlen um solche Mächtigkeiten anzugeben.

Question 9

ordinale Auffassung

Answer 9

Hat das Zählen im Blick, das geordnete Aufeinanderfolgen der natürlichen Zahlen.

Question 10

Codierauffassung

Answer 10

Kommt an verschiedenen Stellen vor, wenn man bestimmten Dingen einen Namen geben will (z.B. Autonummer, Telefonnummer..)

Question 11

Axiome

Answer 11

Grundsätze oder Grundannahmen, aus denen eine mathematische Theorie Aufgebaut werden kann. Alle Sätze der Theorie müssen sich auf die Axiome zurückführen lassen. Die Axiome selbst sind nicht beweisbar.

Question 12

Peano-Axiome
(Wesentliche Eigenschaften von natürlichen Zahlen)

Answer 12

P1: Ist n ein Element der natürlichen Zahlen, dann auch sein Nachfolger.
P2: Ist n ein Element der natürlichen Zahlen, dann ist sein Nachfolger von 0 verschieden.
P3: Sind für m, n in der Menge der natürlichen Zahlen die Nachfolger gleich, dann gilt m= n.
P4: Ist 0 ein Element von E und ist E eine Teilmenge der natürlichen Zahlen und ist für jedes n in E auch sein Nachfolger in E enthalten, dann ist E = natürliche Zahlen.
[P4 = Induktionsprinzip]

Question 13

Zahlenmengen

Answer 13

N = Natürliche Zahlen
Z = Ganze Zahlen (inkl. negative)
Q = Rationale Zahlen (Bruchzahlen) [Q für Quotient]
R = irrationale / Reelle Zahlen (unendliche Nachkommastellen, mit nicht wiederholenden Zahlen -> kann sie nicht als Bruch schreiben)
C = Komplexe Zahlen

Question 14

Perlenkettenmodell

Answer 14

Die natürlichen Zahlen können sich wie eine unendlich lange Perlenkette vorgestellt werden, die einen definierten Anfang hat.

Question 15

Mengenmodell von Neumann

Answer 15

Iterative Mengen:
Die Menge 0 ist die leere Menge.
Die Menge 1 enthält alle bisherigen Mengen, also die Menge 0 (leere Menge).
Die Menge 2 enthält alle bisherigen Mengen, also die Menge 0 und 1.
Die Menge 3 enthält alle bisherigen Mengen, also die Menge 0, 1 und 2.
-> Werden die Mengen als eine Zahl interpretiert, so erfüllen diese die Paeno-Axiome (Menge 0 kann 0 genannt werden, Menge 1 kann 1 genannt werden…)

Question 16

Endliche Dezimalbrüche

Answer 16

Enthält der Nenner eines gewöhnlichen vollständig gekürzten Bruchs nur 2en oder 5en in der Primfaktorzerlegung, so ist die Dezimalbruchzerlegung endlich.

Question 17

Periodische Dezimalbrüche

Answer 17

Enthält der Nenner eines gewöhnlichen vollständig gekürzten Bruchs keine 2en oder 5en in der Primfaktorzerlegung, so ist die Dezimalbruchzerlegung periodisch.

Question 18

Gemischt Periodische Dezimalbrüche

Answer 18

Enthält der Nenner eines gewöhnlichen vollständig gekürzten Bruchs sowohl mindestens eine 2 oder eine 5 und mindestens einen Primfaktor ungleich 2 oder 5 in der Primfaktorzerlegung, so ist die Dezimalbruchzerlegung gemischt periodisch.

Question 19

Der kleine Satz von Gauss

Answer 19

Sei n >= eine natürliche Zahl, dann gilt: 1++2+3+…+n =
n / 2 * (n+1)

Question 20

Zusammenhang Quadratzahl und natürliche Zahl

Answer 20

Das Quadrat einer natürlichen Zahl n ist genau dann gerade, wenn n es ist.

Question 21

Summe dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen

Answer 21

Die Summe dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist durch drei teilbar.

Question 22

Prinzip der vollständigen Induktion

Answer 22

v1: Zeige, dass die Aussage für n = 1 gilt.

v2: Zeige, dass die Implikation gilt: Wenn die Aussage für eine bestimmte Zahl n = k
gültig ist, dann auch für die nächste Zahl n = k + 1

Question 23

Direkter Beweis

Answer 23

Der direkte Beweis zeichnet sich dadurch aus, dass er aus bereits bekannten oder vorausgesetzten
Sachverhalten durch eine Kette logischer Schlüsse und korrekten Umformungen
die Behauptung erreicht.

Question 24

Widerspruchsbeweis | indirekter Beweis

Answer 24

Der indirekte Beweis, auch Widerspruchsbeweis genannt oder reductio ad absurdum, geht
von der Annahme aus, die zu beweisende Behauptung gälte nicht und weist nach, dass
diese Annahme zwingend zu einem Widerspruch führt. Folglich ist die Annahme falsch
und ihr Gegenteil (= die Behauptung) richtig gemäss dem logischen Prinzip des ausgeschlossenen
Dritten („Tertium non datur“).

Question 25

Beweis durch Gegenbeispiel

Answer 25

Der Beweisakt besteht lediglich in der Präsentation eines Beispiels, das der Behauptung zuwiderläuft.

Question 26

Formale Zahlbereichserweiterung

Answer 26

Ziel einer Zahlbereichserweiterung ist nicht, dass man einfach neue Zahlen und Rechenregeln „dazu
erfindet“, sondern dass man neue Zahlobjekte aus bereits bestehendem baut, so dass diese auf
natürliche Art und Weise die gewünschten Eigenschaften haben. Diese Zahlbereichserweiterungen
geschehen formal immer auf eine sehr ähnlich
Ausgangspunkt ist, dass wir die Subtraktion auf den natürlichen Zahlen nicht uneingeschränkt durchführen können. Wir wissen zum Beispiel nicht, was die Rechnung 3−4 =? mathematische zu bedeuten hat. Unser Ziel ist nun die Bedeutung dieses Ergebnisses zu klären.

Question 27

Äquivalenzklasse

Answer 27

Wir fassen also in unserem Modell alle Pfeile, die die gleiche Richtung und Länge haben zusammen – man spricht hier von einer Äquivalenzklasse. Jede Äquivalenzklasse repräsentiert eine Zahl.
Welchen Vertreter (Repräsentanten) man für eine ganze Zahl auswählt, spielt mathematisch keine
Rolle: (2; 6) ist genauso gut geeignet wie (4; 8), da beide Vertreter äquivalent sind.

Allgemein sind zwei Zahlenpaare/Zahlenpfeile (a; b) und (c; d) also äquivalent, wenn sie differenzengleich sind

Question 28

Wohldefiniertheit

Answer 28

Wenn eine Definition einer Rechenoperation diese beiden Bedingungen erfüllt (Verträglichkeit mit der alten Rechenoperation und Unabhängigkeit vom Repräsentanten), dann ist sie wohldefiniert.

Question 29

Funktion des Minuszeichens

Answer 29

• Vorzeichen, das Bestandteil des Namens negativer Zahlen ist
• Rechenzeichen, um die zweistellige Rechenoperation “Subtraktion zu notieren (a-b=c)
• Rechenzeichen, um die einstellige Operation “Gegenzahlbildung” zu notieren (-a = b)

Question 30

Intervallhalbierung

Answer 30

Wurzel-Ziehen: Es wird abgeschätzt in welchem Intervall eine Wurzel liegt.
z.B. Wurzel 10: Wir wissen, Wurzel 9 = 3, Wurzel 16 = 4. Entsprechend muss Wurzel 10 dazwischen liegen.
Jetzt wird das Intervall halbiert = 3.5 und damit ausgerechnet ob dies Wurzel 10 entspricht. so geht es weiter: 3.25… damit wird die Näherung immer besser.

Question 31

Intervallzehntelung

Answer 31

Intervalle werden nicht halbiert, sondern in 10 gleich grosse Teile aufgeteilt. Damit ist die erste Nachkommastelle bekannt. Dieses wird wieder in 10 Teile geteilt. usw.

Question 32

Heron-Verfahren

Answer 32

Ausrechnen der Wurzel: Verfahren bei dem in jedem Schritt die Anzahl der Nachkommastellen verdoppelt werden

xn + 1 = 1/2 (xn + a/xn)

Question 33

Vollständigkeitsaxiom

Answer 33

Eine Folge reeller Zahlen konvergiert (hat einen Grenzwert) genau dann, wenn der Abstand |xn − xm| zwischen den Folgengliedern immer kleiner wird, falls nur die Indizes n und m genügend gross
gewählt werden.

ChatGPT:
Das Vollständigkeitsaxiom besagt, dass jeder nichtleere Teilmenge der reellen Zahlen eine kleinste obere Schranke hat.

Question 34

bijektiv

Answer 34

bijektiv ist, wenn es zwischen zwei Mengen A und B zu jedem b ist Element von B genau ein a ist Element von A gibt.
(Jedem Element in der Menge B kann genau ein Element in der Menge A zugeordnet werden).
b = f(a)

Question 35

gleichmächtig

Answer 35

Es gibt eine bijektive Abbildung.

Also wenn Jedem Element in der Menge B genau ein Element in der Menge A zugeordnet werden kann.

Question 36

Abzählbarkeit

Answer 36

Eine Menge die gleichmächtig zu den natürlichen Zahlen ist, nennen wir abzählbar.

Also wenn jeder natürlichen Zahl genau eine Zahl aus einer anderen Menge zugewiesen werden kann.

Question 37

Überabzählbarkeit

Answer 37

Eine Menge die nicht abzählbar ist (nicht gleichmächtig ist) nennen wir überabzählbar.

Question 38

Kardinalzahl

Answer 38

Gibt die Mächtigkeit einer Menge an.
Bsp. eine Menge M die 6 Elemente enthält hat die Kardinalität 6. card(m) = 6.

unendliche Kardinalität:
- Kardinalität der natürlichen Zahlen = Alef.
- Kardinalität der Reellen Zahlen = c. (c für Continuum).

Question 39

Kontinuumshypothese

Answer 39

Vermutung dass Kardinalität der Potenzmenge der natürlichen Zahlen (Alef 1) entspricht der Kardinalität der Reellen zahlen (c):
Alef 1 = c
-> kann weder widerlegt noch bewiesen werden kann.

Question 40

Potenzmenge

Answer 40

Die Potenzmenge von A ist die Menge aller Teilmengen von A.

Damit gilt: Die Kardinalität der Menge A ist kleiner als die Kardinalität der Potenzmenge A.

Question 41

Variable

Answer 41

Eine Variable ist ein Name für eine Leerstelle in einem logischen oder mathematischen Ausdruck

Question 42

Wortvariable

Answer 42

Wörter die als Variablen fungieren, z.B. “Länge”.

Question 43

Wortformel

Answer 43

Eine Formel die nicht in Variablen sondern in Wortvariablen ausgedrückt wird, z.B. Länge * Breite

Question 44

Explorationsinstrument

Answer 44

Hier ist mir nur wichtig, dass Ihnen bewusst ist, dass die algebraische Sprache als Werkzeug genutzt werden kann um Erkundungen und Untersuchungen einer Situation zu machen.

Question 45

Funktionale Betrachtung

Answer 45

Funktionale zusammenhänge mathematisch Beschreiben.
Bsp. Zusammenhang zwischen A und S:
S(A) = 1.1025 * A

Question 46

Problem der Gegenstandsauffassung

Answer 46

Die Variable selbst wird als Repräsentation von “etwas” (einem Gegenstand wie z.B. Kugeln) verstanden und nicht als Anzahl des “etwas”.

Question 47

Konkatenation

Answer 47

Das bedeutet allgemein eine “Verkettung von Zeichen”
In der Algebra bedeutet “3a” =”3·a”, d.h. wir lassen das Malzeichen weg.
In der Arithmetik gibt es auch solche “Konkatenationen”/”Verkürzten Schreibweisen”: “1 1/2”=1+1/2 oder “35”= 3 Zehner + 5 Einer.

Question 48

Term

Answer 48

Ein Term bezeichnet einen sinnvollen Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen und Klammern enthalten kann. Terme sind syntaktisch korrekt gebildete Wörter oder Wortgruppen in der formalen Sprache der Mathematik.

Question 49

Binomische Formel

Answer 49

1. (a + b)^2
2. (a - b)^2
3. (a + b) * (a - b)

Question 50

Operationszeichen

Answer 50

Zeichen zur Verknüpfung mathematischer Objekte.

In der Algebra wird das Operationszeichen zu einem Bestandteil des Zahlnamens.

Question 51

Sinn von Termen

Answer 51

• kompakt, eindeutig und prägnant formulieren
• ein Term kann für Verschiedenes stehen
• Terme erleichtern die Organisation von Rechnungen

Question 52

Gleichung

Answer 52

Gleichwertige Terme

Question 53

Äquivalenzumformung

Answer 53

Es handelt sich um Umformungsregeln, welche die Lösungsmenge
einer gegebenen Gleichung nicht verändern.
Namentlich beinhalten die
Äquivalenzumformung: Addition, Subtraktion, Multiplikation (ohne 0), Division (ohne 0)

Question 54

Al-Khwarizmi

Answer 54

Gelehrter; Namensgeber für das Wort Algebra (Lateinische Übersetzung seines Namens)

Question 55

Einrenken und ausgleichen

Answer 55

Lösungsverfahren für Quadratische Gleichungen in Worten ausgedrückt.

Question 56

Primzahl

Answer 56

Eine natürliche Zahl heisst Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler hat.

Question 57

Primzahlzwilling

Answer 57

Zwei aufeinanderfolgende Primzahlen pn und pn+1 mit pn+1-pn = 2 bezeichnet man als Primzahlzwillinge.
Bsp. 11 und 13 oder 137 und 139

Question 58

Fermat-Zahlen

Answer 58

Vermutung dass alle Zahlen der Form 2^2^n + 1 Primzahlen sind

Question 59

Mersenne-Zahlen

Answer 59

Vermutung dass alle Zahlen der Form 2^n - 1 Primzahlen sind

Question 60

Modulo-Arithmetik

Answer 60

Das Rechnen mit Resten wird gern mit der kompakten Modulo-Schreibweise durchgeführt.
Bsp.:
365 = 1 (mod 7)
Die Schreibweise drückt aus, dass 365 und 1 denselben 7er-Rest (also 1) besitzen.

Question 61

Kongruenz

Answer 61

Allgemein gilt, dass zwei Zahlen a und b kongruent modulo d sind, falls sie bei Division
durch d den gleichen Rest hinterlassen.

Question 62

Reduzieren

Answer 62

Wir reduzieren eine Zahl modulo d, wenn wir fortlaufend d subtrahieren.

Question 63

ggT

Answer 63

grösster gemeinsamer Teiler: grösste natürliche Zahl die sowohl Zahl a als auch Zahl b teilt.

Question 64

kgV

Answer 64

kleinstes gemeinsames Vielfaches: kleinste natürliche Zahl, die sowohl ein Vielfaches von a als auch von b ist.

Question 65

Julianischer Kalender

Answer 65

Im julianischen Kalender (46 v. Chr. eingeführt) Wird eine Kalenderperiode von 4 Jahren mit 3 „Gemeinejahre“
und einem Schaltjahr eingeführt. Damit dauert ein Jahr durchschnittlich (3 · 365 + 1 · 366) : 4 = 365:25 Tage, also etwas länger als das tropische Jahr.N

Question 66

Gregorianischer Kalender

Answer 66

Als Folge des Auseinanderlaufens von tropischem und Julianischem Kalender wurde 1582 die Gregorianische
Kalenderreform durchgeführt. Auf Donnerstag, den 4. Oktober, folgte unmittelbar Freitag,
der 15. Oktober. Ausserdem wurde eine erweiterte Schaltjahresregel eingeführt: Jedes durch 4
teilbare Jahr ist ein Schaltjahr; nicht aber die vollen Jahrhunderte (z. B. 1900), ausser sie sind durch 400 teilbar (2000 war ein SJ).

Question 67

Monoalphabetische Verschlüsselung

Answer 67

Monoalphabetische Verschlüsselung bestehen darin, das Klartextalphapet zu permutieren, d.h. die Buchstabenanordnung zu vertauschen.
(Eineindeutige Zuordnung)

Question 68

Häufigkeitsanalyse

Answer 68

Aus der Häufigkeit
bestimmter Buchstaben im verschlüsselten Text lässt sich damit auf den Buchstaben im Klartext
schliessen.

Question 69

Additive Verschlüsselung

Answer 69

Gegeben ist ein nummerisches Alphabet {0,…,25} und ein Schlüssel k ∈ {0,…,25}. Die Verschlüsselung erfolgt mithilfe der Funktion:
f(x) = x + k (mod 26)

Der verschlüsselte Text lässt sich dann mit der nachfolgenden Funktion wieder entschlüsseln:
g(x) = x + l (mod 26) mit k + l = 0 (mod 26)

Question 70

Multiplikative Verschlüsselung

Answer 70

Gegeben ist ein nummerisches Alphabet {0,…,25} und ein Schlüssel k ∈ {0,…,25} mit ggT(k, 26). Die Verschlüsselung erfolgt mithilfe der Funktion:
f(x) = x * k (mod 26).

Der verschlüsselte Text lässt sich dann mit der nachfolgenden Funktion wieder entschlüsseln:
g(x) = x * l (mod 26) mit k * l = 1 (mod 26)

Question 71

Potenzverschlüsselung (RSA)

Answer 71

Gegeben ist ein nummerisches Alphabet {0,…,25} und ein Schlüssel k ∈ [0, 1, …, p-1} mit ggT (k, p-1)=1. Die Verschlüsselung erfolgt mithilfe der Funktion f(x) = x^k mod p

Der verschlüsselte Text lässt sich dann mit der nachfolgenden Funktion wieder entschlüsseln:
g(x)=k^l mod p mit k*l=1 mod (p-1)

Question 72

Polyalphabetische Verschlüsselung

Answer 72

Bei der polyalphabetische Verschlüsselung existieren mehrere Geheimalphabete. Je nach Position des Buchstaben im Klartext wird dieser auf unterschiedliche Buchstaben im Geheimalphabet
abgebildet.

Question 73

Vigenere-Verfahren

Answer 73

Verfahren bei dem Mittels Vigenere-Quadrat blockweise verschlüsselt wird.

Question 74

Additives Inverses

Answer 74

Das additive Inverse hebt eine Addition auf, es ist jeweils die Gegenzahl. Beispiel von 5 ist das additive Inverse -5

Question 75

Multiplikatives Inverses

Answer 75

Das multiplikative Inverse ergibt in der Multiplikation mit einer Zahl 1; es ist jeweils die Zahl als Nenner und 1 als Zähler. Beispiel von 5 ist das multiplikative Inverse 1/5.

Question 76

RSA-Zahlen

Answer 76

Grosse Zahlen, die nur aus zwei Primzahlen p und q zusammengesetzt sind und zur Verschlüsselung
benutzt werden, nennt man RSA-Zahlen.

Question 77

Eulersche Phi-Funktion
Phi nicht Pi ;)

Answer 77

Phi(n) ist die Anzahl von Zahlen k von 1 bis n mit ggT (k, n) = 1

-> Zahlen die Teilerfremd zueinander sind.

Question 78

Hauptsatz der Artithmetik

Answer 78

Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von endlich vielen Primzahlen darstellen. Ordnet man diese Primzahlen der Grösse nach, so ist diese Darstellung sogar eindeutig.

Question 79

Multiplikative Rest-Schreibweise

Answer 79

a = q * b + r
[a : b = q Rest r]

Question 80

Paradoxon der klassischen Kryptographie

Answer 80

Will man ein Geheimnis austauschen, muss man vorher schon ein Geheimnis ausgetauscht haben.

Question 81

Zahlenkörper

Answer 81

Eine Teilmenge der reellen Zahlen heisst Zahlenkörper, wenn sie die Zahlen 0 und 1 enthält und die arithmetischen Grundoperationen ohne Einschränkung und gemäss den bekannten
Regeln ausführbar sind (natürlich ohne Division durch null).

Question 82

Körpererweiterung

Answer 82

Wenn wir zu allen rationalen Zahlen eine Quadratwurzel hinzufügen und zusätzliche alle Linearkombinationen,
erhalten wir eine Körpererweiterung, die nur aus konstruierbaren Zahlen besteht.

Question 83

Körperturm

Answer 83

Sequenz von Körpererweiterungen, bei der jeder Körper ein Erweiterungskörper des vorhergehenden ist.